世上이 온통 手로 가득했던 數學者 피타고라스는 存在하는 數字를 모두 所重히 여겨 一一이 意味를 附與했다. 日常 속에 숨어 있는 數의 패턴을 發見하는 것은 그의 삶 自體였다. 어느 날 그가 대장間 近處를 지나갈 때 일이다. 平凡한 망치질 소리였지만 그의 귀에는 數學的 秩序가 느껴졌다. 金屬이 부딪히는 不規則한 騷音들이 各其 다른 音을 내면서 調和를 이루고 있는 것이었다. 豫想치 못하게 찾아온 生活 音樂이었다. 仔細히 살펴보니 망치 무게 사이의 정수비(比率의 값이 正數로 나타나는 것)에 따라 어떤 소리는 듣기 좋게 났고, 어떤 소리는 귀가 아프기도 했다. 周波數가 2倍 差異가 나는 1個 音 사이 음정인 옥타브의 發見이었다. 

勿論 너무 오래된 逸話라 事實이 아닐 蓋然性도 크다. 망치 質量만으로 音程 差異를 正確하게 만드는 건 어렵기 때문이다. 하지만 망치질 소리에서 靈感을 얻은 피타고라스가 振動하는 끈처럼 絃이 하나로 된 裝置를 만들어 다시 實驗해봤다면 아마 비슷한 結論을 내렸을 것이다. 

絃의 振動을 利用해 소리를 내는 樂器를 하나 準備해보자. 길이에 따라 다른 소리가 날 텐데, 萬若 絃의 길이가 정수비를 이룬다면 듣기 좋은 아름다운 소리가 날 것이다. 이때 귀에 便安하게 들리는 소리는 協和音, 그렇지 않은 騷音은 不協和音이라고 한다. 좋고 나쁜 소리는 個人 趣向에 따라 好不好가 갈리는 건 아닐까 생각할 수도 있겠지만, 이건 明白한 數學的 秩序다. 피타고라스는 便安한 協和音을 만들어내기 위해 振動하는 絃의 길이를 2 對 1, 3 對 2, 4 對 3 比率로 맞췄다. 그리고 옥타브 다음으로 單純한 ‘完全5度’ 音程의 比率인 3 對 2를 繼續 쌓아 올린 音높이의 相對的 關係를 ‘피타고라스 音律’이라고 부른다. 기타의 原理를 보면 確實해진다. 기타 줄의 兩 끝을 基準으로 大略 2分의 1, 3分의 2, 4分의 3 地點에 周邊보다 높게 突出된 金屬 部分이 있다. 이걸 프렛(fret)이라고 하는데, 여기에 其他 줄이 닿도록 눌러주면 그냥 칠 때와는 달리 일정한 比率로 높은 소리가 난다. 옥타브가 만들어지는 것이다. 가끔 筒기타 한 대로 입이 떡 벌어질 만큼 絢爛한 音樂을 만들어내는 音樂家를 볼 때면 그 담백함에 마음을 빼앗긴다. 數學이 있기에 비로소 可能한 아름다움이다.

不協和音을 對하는 數學者의 姿勢

아주 오래前부터 數學은 自然의 原理와 世上의 眞理를 담고 있었다. 自然에서 만들어진 協和音 亦是 天上의 膳物처럼 느껴졌을 것이다. 數學과 音樂은 같은 脈絡에서 探究 對象이었고, 天體의 움직임 亦是 數學人 同時에 音樂이었다. 過去 地球가 宇宙의 中心이라는 天動說을 믿던 時節, 天體나 行星의 運動은 따로 獨立된 形態가 아니었다. 句처럼 보이는 하늘에 乾葡萄처럼 별이 박혀 있으며, 하늘이 回轉하면 레코드板처럼 거기 놓인 별들도 함께 돌아야 했다. 그렇다면 或是 實際 레코드板을 턴테이블에 넣고 돌리면 소리가 나듯이, 天體의 運動도 마찬가지로 소리가 나지 않을까. 萬若 멋들어진 하모니가 宇宙에서 만들어진다면 數學的으로도 優雅하게 맞아떨어질 것 같았다. 卽 地球를 中心으로 回轉하는 行星들의 速度와 間隔은 音樂的으로도 解釋이 可能한 패턴日 것이라는 結論에 到達했다. 이제 地球 觀點에 따라 定한 順序대로 달, 水星, 錦城, 太陽, 華城, 木星, 土星에 對應되는 소리를 찾아낼 次例였다. 많은 觀測과 硏究 끝에 天體가 보여주는 固有한 運動에 따라 道, 레, 美, 파, 솔, 라, 詩라는 固有한 音이 만들어졌고, 비로소 數學的 思考와 天文學의 融合을 基盤으로 本格的인 西洋 音樂 理論이 始作됐다. 

事實 피타고라스가 만든 音律은 豫想과 달리 音程의 振動數 間隔이 일정하지 않았다. 피아노 鍵盤에서 音의 配列을 確認할 수 있는데, 半音 間隔으로 配列하면 12個 音이 羅列된다. 各 音 사이 比率을 單純하게 만든 音律을 純正律이라고 하며, 이를 理論的으로 接近한 것이 바로 피타고라스 音律이다. 하지만 이 音律에서는 各 音이 같은 間隔으로 놓여 있지 않아, 여러 番 겹치면 不協和音이 繼續해서 생겨났다. 이를 補完하고자 나선 이가 바로 프랑스 數學者 마랭 메르센이다. 



그는 한 옥타브를 12個의 똑같은 半音으로 나눠 振動數가 대충 無理數의 倍가 되도록 했다. 이렇게 하면 어느 造成에서든 모든 音이 같은 音程을 갖게 되고 변조도 자유롭다. 徹底하게 數學的 構造와 패턴을 基盤으로 純正律을 補完한 平均率은 이렇게 誕生했으며, 德分에 수많은 名曲이 世上에 나올 수 있었다. 勿論 平均率度 短點은 있다. 事實上 完全한 協和音을 만들어낼 수는 없기에, 純正律만큼 아름다운 調和가 나오지는 못한다. 純正律에서는 最高의 完全5度와 함께 아쉬운 完全5度가 共存하는데, 平均律에서는 그럭저럭 괜찮은 完全5度만 存在한다. 쉽게 比喩하자면 手製 버거의 맛은 料理師의 狀況에 따라 달라지지만 가끔 大박日 때가 있고, 프랜차이즈 버거 가게는 늘 安定的으로 일정한 맛이 나는 格이다. 

普通 큰 差異를 느끼지는 못하기 때문에 大部分 平均率 조율로 作曲을 하고, 가끔 小規模 連奏에서만 純正律을 쓴다. 메르센은 音樂的 經驗을 바탕으로 絃樂器의 音程을 決定하는 세 가지 要素인 絃의 길이, 張力, 質量 사이의 相互關係를 나타낸 法則도 만들었다. 이를 ‘메르센의 法則’이라고 부른다.

數學과 音樂이 모두 아름다운 理由

當然하겠지만 ‘數抛者’는 흔한 反面, ‘音胞子’는 없다. 오래된 記憶을 되살려보면 正確함을 要求하는 粹學은 늘 머리가 아팠지만, 直觀的인 아름다움을 追求하는 音樂 授業은 늘 신났었다. 하지만 窮極의 本質로 가면 이 두 分野는 하나의 길로 합쳐질 수 있다. 이미 始作부터 그랬다. 

最近 放映 中인 서바이벌 오디션프로그램에 나오는 無名 歌手들의 實力에 感歎詞가 절로 나온다. 타고난 天才性에서 비롯된 것일 수도 있고, 徹底한 苦悶과 計算에서 나온 것일 수도 있지만, 確實한 건 온몸을 戰慄케 하는 完璧한 아름다움이 많은 사람에게 感動을 줬고 그 基盤에 數學이 있다는 點이다. 멋들어진 編曲은 旣存 歌手의 노래가 全혀 기억나지 않을 만큼 魅力的으로 다가온다. 그 過程은 和音을 利用한 構造的 再構成의 妙味에서 오는데, 마치 어려운 數學 問題를 檢算해나가는 것처럼 微細한 調整이 完璧하게 맞아떨어지고, 編曲者에게 짜릿한 快感을 준다. 勿論 그 結果物이 審査委員과 視聽者에게까지 고스란히 傳達되리라는 事實은 두말할 必要도 없다. 

反對로 天文學에 音樂 原理를 適用하려 했던 獨逸 天文學者 요하네스 케플러는 行星들이 하늘에 박혀 함께 도는 것이 아니라, 太陽을 中心으로 各各 楕圓 軌道를 돈다는 事實을 發見했다. 思考 過程에서 그는 같은 時間 동안 太陽과 行星을 連結하는 線이 지나가는 面積이 늘 일정하다는 것을 밝혀냈다. 이러한 關係를 바탕으로 音樂的 比率을 發見하고자 애썼고, 行星들의 回轉 速度를 計算해 純正律로 換算하면 太陽系 運動 全體에 對한 調和로운 音程이 나오리라 생각했다. 아쉽게도 期待한 目的을 達成하진 못했지만, 行星의 公轉 週期의 제곱이 그 行星의 楕圓 軌道 긴半지름의 세제곱에 比例한다는 그의 세 番째 法則에는 ‘調和(하모니)의 法則’이라는 至極히 音樂的인 이름까지 붙었다. 音樂과 數學을 椄木한 發想에서 나온 케플러의 이 業績은 向後 萬有引力의 法則으로까지 이어지는 歷史的 成果였다. 

偉大한 數學者 레온하르트 오일러는 音程과 和音에 對한 苦悶을 통해 數 理論을 定立했다. 뉴턴은 色相의 스펙트럼을 定義하기 위해 音樂을 使用했다. 獨逸 物理學者 막스 플랑크는 오케스트라를 指揮하거나 作曲하면서 餘暇를 보냈고, 世紀의 天才 아인슈타인은 5歲부터 바이올린을 배웠다. 科學者들의 數學 사랑만 있는 건 아니다. 現代音樂의 巨匠 이고리 스트라빈스키 亦是 音樂에 數學的 連結고리가 있다고 믿고 獨創的인 音樂의 土臺로 삼았다. 피아노 鍵盤에는 피보나치 數列이 適用돼 있으며, 音樂 亦是 數學처럼 記號로 된 音標를 모르면 아무것도 읽을 수 없다. 새로운 音樂的 發見을 旣存 音樂과 椄木하려는 試圖 過程은 마치 斬新한 法則을 찾아 冒險을 떠나는 數學者들의 旅程과 비슷하다. 

英國 數學者 제임스 조지프 실베스터는 이렇게 말했다. “數學과 音樂은 둘 다 自然系의 아름다움을 찾는 過程이라는 點에서 共通點을 갖는다.” 結局 둘 다 人類에게 새로운 아름다움을 傳하는 일이다.

_{軌道_ 연세대 天文宇宙學科 學部 및 大學院을 卒業하고 韓國天文硏究院 宇宙監視센터와 연세대 宇宙飛行制御硏究室에서 勤務했다. ‘軌道’라는 藝名으로 팟캐스트 ‘課長窓’, 유튜브 ‘안될과학’과 ‘투머치사이언스’를 進行 中이며, 著書로는 ‘軌道의 科學 虛勢’가 있다.}