數學
學問名	數學
學問 分野	自然科學
關聯 職業	數學者

數學 ( 韓國 漢字 : 數學, 英語 : mathematics , math )은 수 , 量 , 救助 , 空間 , 變化 等의 槪念 을 다루는 學問 이다. ^[1] 널리 받아들여지는 明確한 定義는 없으나 ^[2] 現代 數學은 一般的으로 嚴密한 論理 에 根據하여 抽象的 對象 을 探究하며, 이는 規則의 發見과 問題의 提示 및 解決의 過程으로 이루어진다. ^[3] 數學은 그 發展 過程에 있어서 哲學 , 科學 과 깊은 聯關을 맺고 있으며, 嚴密한 論理와 特有의 抽象性, 普遍性에 依해 다른 學問들과 區別된다. 特히 數學은 科學의 여느 分野들과는 달리 自然系에서 觀測되지 않는 槪念들에 對해서까지 理論 을 抽象化시키는 特徵을 보이는데, 數學者 들은 그러한 槪念들에 對한 推測 을 提示하고 適切하게 選擇된 正義 와 공리 로부터 嚴密한 演繹 을 거쳐 그 眞僞를 把握한다.

數學의 槪念들은 紀元前 600年 頃에 活動하며 最初의 數學者로도 여겨지는 탈레스 의 記錄은 勿論, 다른 古代 文明들에서도 찾아볼 수 있으며 人類의 文明과 함께 發展해 왔다. 오늘날 數學은 自然科學 , 社會科學 , 工學 , 醫學 等 거의 모든 學問에서도 核心的인 役割을 하며 다양한 方式으로 應用 된다.

數學을 意味하는 mathematics라는 單語는 '아는 모든 것', '배우는 모든 것'이라는 뜻의 古代 그리스어 'math?ma'(μ?θημα) 및 그 活用形 math?matikos(μαθηματικ??)에서 由來되었다.

歷史 [ 編輯 ]

歷史的으로 古代부터 現代에 이르기까지 文明에 必須的인 建築 , 天文學 , 政治 , 商業 等에 數學的 槪念들이 應用되어 왔다. 交易·分配·課稅 等 人類의 社會 生活에 必要한 모든 計算에 數學이 關與해 왔고, 農耕 生活에 必須的인 天文 觀測과 달曆의 制定, 土地의 測量 또한 數學이 直接的으로 使用된 分野이다. 古代 數學을 크게 발전시킨 文明으로는 메소포타미아 , 이집트 , 印度 , 中國 , 그리스 等이 있다.

特히 古代 그리스 文明에서는 처음으로 方程式 에서 變數 를 文字로 쓰는 等 抽象化가 發展하였고 유클리드의 原論 에서는 最初로 嚴密한 論證에 根據한 數學이 나타난다. 數學의 發展은 以後로도 繼續되어 16世紀 의 르네상스 에 이르러서는 科學的 方法 과의 相互 作用 을 통해 數學과 自然科學에 있어서 革命的인 硏究들이 進陟되었고, 이는 人類 文明 發達에 큰 影響을 미치게 되었다.

細部 分野 [ 編輯 ]

數學의 各 分野들은 商業에 必要한 計算을 하기 위해, 數字들의 關係를 理解하기 위해, 土地를 測量하기 위해, 그리고 天文學 적 事件들을 豫見하기 위해 發展되어왔다. 이 네 가지 目的은 大略的으로 數學이 다루는 對象인 양, 構造, 空間 및 變化에 對應되며, 이들을 다루는 數學의 分野를 各各 算術 , 代數學 , 幾何學 , 解析學 理라 한다. 또한 이 밖에도 近代 以後에 나타난 數學基礎論 과 離散數學 및 應用數學 等이 있다.

算術 [ 編輯 ]

算術은 自然數 와 精髓 및 이에 對한 四則演算 에 對한 硏究로서 始作했다. 數論 은 이런 主題들을 보다 깊게 다루는 學問으로, 그 結果로는 페르마의 마지막 整理 等이 有名하다. 또한 雙둥이 少數 推測 과 골드바흐 推測 等을 비롯해 오랜 歲月 동안 解決되지 않고 남아있는 問題들도 여럿 있다.

數의 體系가 보다 發展하면서, 整數의 集合을 有理數 의 集合의 部分集合 으로 여기게 되었다. 또한 有理數의 集合은 失手 의 集合의 部分集合이며, 이는 또다시 複素數 集合의 一部分으로 볼 수 있다. 여기에서 더 나아가면 四元數 와 팔元帥 等의 槪念을 생각할 수도 있다. 이와는 若干 다른 方向으로, 自然水를 無限大까지 세어나간다는 槪念을 形式化하여 順序數 의 槪念을 얻으며, 集合의 크기 比較를 利用하여 無限大를 다루기 위한 또다른 方法으로는 期數 의 槪念도 있다.

代數學 [ 編輯 ]

數 代身 文字를 써서 問題解決을 쉽게 하는 것과, 마찬가지로 數學的 法則을 一般的이고 簡明하게 나타내는 것을 包含한다. 苦戰代數學은 代數方程式 및 聯立方程式의 解法에서 始作하여 軍, 환, 체 等의 抽象代數學을 거쳐 現代에 와서는 代數系의 構造를 보는 것을 中心으로 하는 線型代數學으로 展開되었다. 數의 集合이나 函數와 같은 많은 數學的 對象들은 內在的인 構造를 보인다. 이러한 對象들의 構造的 特性들이 群論 , 環論 , 체論 그리고 그 外의 數많은 代數的 構造들을 硏究하면서 다루어지며, 그것들 하나하나가 內在的 構造를 지닌 數學的 對象이다. 이 分野에서 重要한 槪念은 벡터, 벡터 空間 으로의 一般化, 그리고 線型代數學 에서의 知識들이다. 벡터의 硏究에는 算術 , 臺數 , 幾何 라는 數學의 重要한 세個의 分野가 組合되어 있다. 벡터 微積分學 은 여기에 解析學의 領域이 追加된다. 텐서 微積分學은 對稱性과 回轉軸의 影響 아래에서 벡터의 움직임을 硏究한다. 눈금없는 者와 컴퍼스와 關聯된 많은 古代의 未解決 問題들이 갈루아 理論 을 使用하여 비로소 解決되었다.

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  群論
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  數論
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  그래프 理論
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  順序論

幾何學 [ 編輯 ]

空間에 對한 硏究는 幾何學 에서 始作되었고, 特히 유클리드 幾何學 에서 비롯되었다. 三角法 은 空間과 數들을 結合하였고, 잘 알려진 피타고라스의 整理 를 包含한다. 現代에 와서 空間에 對한 硏究는, 이러한 槪念들은 더 높은 次元의 幾何學을 다루기 위해 非유클리드 幾何學 (相對性理論에서 核心的인 役割을 函)과 位相數學 으로 一般化되었다. 數論과 空間에 對한 理解는 모두 解釋 幾何學, 微分幾何學 , 代數幾何學 에 重要한 役割을 한다. 里 軍 도 空間과 救助, 變化를 다루는데 使用된다. 位相數學은 20世紀 數學의 다양한 支流속에서 刮目할만한 成長을 한 分野이며, 푸앵카레 推測 과 人間에 依해서 證明되지 못하고 오직 컴퓨터로만 證明된 4色整理 를 包含한다.

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  位相數學
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  三角法
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  微分幾何學
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  프랙털 幾何學

解析學 [ 編輯 ]

變化에 對한 理解와 描寫는 自然科學 에 있어서 一般的인 主題이며, 微積分學 은 變化를 探究하는 强力한 道具로서 發展되었다. 函數 는 變化하는 量을 描寫함에 있어서 中樞的인 槪念으로써 떠오르게 된다. 失手와 實變數로 構成된 函數의 嚴密한 探究가 실解釋學 이라는 分野로 알려지게 되었고, 複素數 에 對한 이와 같은 探究 分野는 複素解釋學 이라고 한다. 函數解析學 은 函數의 空間(特히 無限次元)의 探究에 注目한다. 函數解析學의 많은 應用分野 中 하나가 量子力學 이다. 많은 問題들이 자연스럽게 量과 그 量의 變化率의 關係로 歸着되고, 이러한 問題들이 微分方程式 으로 다루어진다. 自然의 많은 現象들이 動力學系로 記述될 수 있다. 混沌 理論 은 이러한 豫測 不可能한 現象을 探究하는 데 相當한 寄與를 한다.

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  微積分學
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  벡터 微積分學
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  微分方程式
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  動力學界
• 
  混沌 理論

數學基礎論 關聯 分野 [ 編輯 ]

數學의 基礎를 確實히 세우기 위해, 數理論理學과 集合論이 發展하였고, 이와 더불어 範疇論이 最近에도 發展되고 있다. “根本 危機”라는 말은 大略 1900年에서 1930年 사이에 일어난, 數學의 嚴密한 基礎에 對한 探究를 象徵的으로 보여주는 말이다. 數學의 嚴密한 基礎에 對한 몇 가지 意見 不一致는 오늘날에도 繼續되고 있다. 數學의 基礎에 對한 危機는 그 當時 수많은 論爭에 依해 觸發되었으며, 그 論爭에는 칸토어의 集合論과 브라우어-힐베르트 論爭이 包含되었다.

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  集合論
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  範疇論
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  數理論理學

離散數學 [ 編輯 ]

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  組合론
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  計算 理論
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  暗號學
• 
  그래프 理論

應用數學 [ 編輯 ]

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  數理物理學
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  流體力學
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  數値解析學
• 
  最適化 理論
• 
  確率論
• 
  統計學
• 
  金融數學
• 
  게임 理論

影響 [ 編輯 ]

오늘날 數學은 自然科學 , 工學 뿐만 아니라, 經濟學 等의 社會科學 에서도 重要한 道具로 使用된다. 例를 들어, 程度의 差異는 있으나, 微積分學 과 線型代數學 은 自然科學 과 工學 , 經濟學 을 하는데에 必須的 科目으로 여겨지며, 確率論 은 計量經濟學 에 應用된다. 統計學 은 社會科學 理論에 根據를 마련하는데 必須的이다. 16世紀에 갈릴레오 갈릴레이 가 "自然이라는 冊은 數學이라는 言語로 記錄되어 있다."는 主張과 함께 物理學에 數學的 方法을 導入하였고, 17世紀에 아이작 뉴턴 이 古典 力學 의 基本 物理學 法則들을 數學的으로 記述하고 定立하여 物理學 理論에서 數學的 모델링 은 必須的 要素가 되었다. 또한 이 時期는 科學的 方法 이 定立되는 時期이기도 한데, 많은 科學的 現象들이 數學的 關係가 있음이 드러나면서 科學的 方法 에도 數學은 重要한 役割을 하고 있다. 노벨 物理學賞 受賞者 유진 위그너 는 그의 에세이 "The unreasonable effectiveness of mathematics in natural sciences"에서 人間 世上과 동떨어져있고 現實과 아무 關聯이 없다고 여겨지던 數學 中 極히 一部는 뜻밖에도 自然科學과 聯關性이 드러나고 科學理論에 效果的인 土臺를 마련해 주는데에 對한 놀라움을 表現하였다. ^[4] 例를 들어, 非유클리드 幾何學 과 3次元 以上의 任意의 次元에서 幾何學을 探究했던 微分 幾何學 은 當時에는 現實과 聯關性을 가지지 않았으나 먼 後날 一般相對性理論 이 4次元 幾何學을 必要로 함에 따라, 物理的 世上과 聯關이 있음이 밝혀졌다. 또한 게이지理論 , 兩者章論 등에도 微分 幾何學 은 必須的이다.

또한 數學은 音樂 이나 美術 等 藝術과도 關聯이 있다. 피타고라스 는 두 整數의 比率이 듣기 좋은 소리가 난다는 點을 가지고 피타고라스 音階 를 만들었다. 中世時代에도 音樂과 數學을 密接하게 聯關시켰으며 聖 빅토르의 後考는 “音樂은 調和다”라고 했고, 性 트론드의 루돌프는 “音樂은 調和의 土臺(ratio)다”라고 쓴 바 있다. 調和가 반드시 소리로 表現될 必要는 없고 소리의 音樂은 音樂의 形式 中 하나에 不過했다. 소리에 對해 다루었던 中世의 著述家들이 있는가 하면, 調和와 比例의 抽象的 理論만을 다루고 소리에는 거의 關心을 보이지 않았던 著述家들度 있었다. 聽覺的인 面과 抽象的인 面이라는 音樂의 이런 二重的 側面은 古代의 音樂理論보다는 中世의 音樂理論에서 큰 特徵이 되었다. ^[5] 또한 現代 音樂 을 軍(群,group)같은 數學的 對象을 利用해 分析하기도 한다. 遠近法 은 射影 幾何學 에 該當한다. 美術 思潮 中 하나인 立體派 도 幾何學의 影響을 받았다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 整數論
• 幾何學
• 代數學
• 解析學
• 算學
• 大韓民國의 高等學校 數學 敎科目
• 離散數學
• 應用數學
• 數學者
• 科學 碩士

各州 [ 編輯 ]

外部 링크 [ 編輯 ]

• 위키미디어 公用에 數學 關聯 미디어 分類가 있습니다.
• 數學 포털
• 대한수학회(KMS)
• (英語) Mathworld
• (英語) The MacTutor History of Mathematics archive