混沌 理論 (混沌理論) 또는 카오스 理論 ( 英語 : chaos theory )은 動力學界 理論 에서 特定 動力學系의 時間 變化가 初期 條件에 指數的으로 敏感하며, 時間 變化에 따른 軌道가 매우 複雜한 形態를 보이는 現象이다. 混沌 理論 (混沌理論, 英語 : chaos theory 케이오스 時어리 ^{[ * ]} ) 또는 카오스 理論 은 無秩序하게 보이는 混沌 狀態에도 論理的 法則이 存在한다는 理論으로, 混沌界를 硏究하는 數學 分野이다.

非線型 動力學界는 다음과 같은 다양한 現象을 보일 수 있다.

• 永久히 停止
• 永久히 膨脹( 卑屬朴系 에 한해서)
• 週期 運動
• 準週期 運動
• 混沌 運動

나타나는 行態의 種類는 系의 初期條件과 存在하는 媒介變數의 값에 따라서 決定된다. 混沌系의 境遇 (준)주기 軌道 · 膨脹 따위의 現象을 보이지 않으며 매우 複雜한 軌道를 보인다.

正義 [ 編輯 ]

混沌界 ( 英語 : chaotic dynamical system )는 다음 세 性質들을 만족시키는 動力學界 이다.

• 初期 條件에 敏感해야 한다.(즉, 初期 條件에서의 작은 變化가 結果에 큰 差異를 가져 오는) ^{[1] [2]}
• 位相 混合性을 보인다.
• 稠密 한 週期的 軌道들을 가진다.

各 條件은 具體的으로 다음과 같다.

初期 條件에 敏感 ( 英語 : sensitivity to initial conditions )하다는 것은 랴푸노프 指數 가 讓受라는 것이다. 랴푸노프 指數가 讓受이므로, 系의 時間 變化는 初期 條件에 指數的으로 依存한다. 흔히 이는 나비 效果 로 불리며 混沌系의 主要 性質로 일컬어지지만, 初期 條件에 對한 敏感性은 混沌界를 定義하는 세 條件 가운데 하나일 뿐이다. (例를 들어, ${\displaystyle x\mapsto 2x}$는 初期 條件에 敏感하지만, 混沌的이지 않다.)

位相 混合性 ( 英語 : topological mixing )이란 다음과 같다. 位相 空間 ${\displaystyle X}$ 위의 自己 連續 函數 ${\displaystyle f\colon X\to X}$로 주어지는 이山 時間 動力學界

${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$

에서, 任意의 열린集合 ${\displaystyle U,V\subseteq X}$에 對하여, 다음 條件을 만족시키는 自然數 ${\displaystyle N_{U,V}\in \mathbb {N} }$가 存在한다면, 이 離散 時間 動力學系가 位相 混合性을 보인다고 한다.

${\displaystyle \forall n\geq N_{U,V}\colon f^{n}(U)\cap V\neq \varnothing }$

卽, ${\displaystyle N_{U,V}}$ 以上의 時間이 지나면, ${\displaystyle U}$의 時間 變化는 ${\displaystyle V}$와 서로 混合되게 된다. 마찬가지로, 連續 時間 動力學界

${\displaystyle x\mapsto \phi _{t}(x)\qquad (t\in \mathbb {R} _{\geq 0})}$

의 境遇,

${\displaystyle \forall t\geq T_{U,V}\colon \phi _{t}(U)\cap V\neq \varnothing }$

가 되는 時間 ${\displaystyle T_{U,V}\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$이 存在하여야 한다.

動力學系의 軌道 ( 英語 : orbit )는 주어진 初期 條件의 時間 變化들로 構成된 部分 集合이다. 週期的 軌道 ( 英語 : periodic orbit )는 軌道 가운데, 일정한 時間이 지나면 原點으로 돌아오는 것이다. 稠密한 週期的 軌道들 ( 英語 : dense periodic orbits )을 갖는다는 것은 모든 週期的 軌道들의 合集合이 稠密 集合 을 이룬다는 것이다. 卽, 모든 初期 條件에 對하여, 이에 對하여 任意的으로 가까운 週期的 軌道가 存在한다.

性質 [ 編輯 ]

次元 [ 編輯 ]

連續 時間 動力學系의 境遇, 푸앵카레-벤딕손 整理 에 따라서 2次元 以下의 契는 混沌을 보일 수 없다. 卽, 混沌界는 3次元 以上이어야 한다.

離散 時間 動力學系의 境遇 이러한 制約이 없다. 例를 들어, 適切한 媒介 變數에서의 로지스틱 史上 은 1次元 離散 時間 混沌系이다.

샤르코우스키 整理와 리-요크 整理 [ 編輯 ]

리-요크 整理 ([李]-Yorke定理, 英語 : Li?Yorke theorem ) ^[3] 에 따르면, 周忌 3의 軌道를 갖는 1次元 離散 時間 動力學界

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

는 리-요크 混沌 ( 英語 : Li?Yorke chaos )이라는 現象을 보인다. 이는 위에서 定義한 一般的인 混沌의 正義보다 더 弱한 性質이다.

이와 關聯된 整理로 샤르코우스키 整理 (Шарковский定理, 英語 : Sharkovskii’s theorem )가 있다. 이는 올렉山드르 美콜라요비치 샤르코우스키( 우크라이나語 : Олекса?ндр Миколайович Шарко?вський , 러시아語 : Алекса?ндр Никола?евич Шарко?вский 알렉산드르 니콜라예비치 샤르콥스키 ^{[ * ]} )가 1964年에 證明하였다. ^[4]

끌개 [ 編輯 ]

混沌 運動 또는 어떤 形態의 運動이라도 視覺的으로 標示하는 方法 中 한가지는 運動의 位相도 를 그리는 것이다. 이러한 그림에서 時間은 內在되어 있으며 各 軸은 狀態의 한 次元을 나타낸다. 例를 들어 이런 位相度에서 停止해 있는 契는 點으로 그려질 것이며 週期 運動을 하는 契는 單一 閉曲線으로 그려질 것이다.

한 契의 位相도는 系의 初期條件에 (그리고 媒介變數의 값에) 따라 바뀌지만 大槪는 일정한 運動軌跡 周圍의 初期條件에 對해서는 마치 그 運動軌跡에 이끌리듯이 같은 軌跡에 到達하는 境遇가 많다. 이렇게 이끄는 運動은 適切하게도 그 系의 " 끌개 "라고 하며 强制된 흩어지기계(forced dissipative system)에서는 아주 흔하게 發見된다.

위에서 言及된 運動 形態 中 大部分은 點( 固定點 )이나 原形 曲線( 極限 周忌 軌道 )等의 아주 單純한 形態의 끌개를 보이지만 混沌 運動은 " 야릇한 끌개 "로 알려진 매우 細密하면서도 複雜한 形態의 끌개를 보인다. 例를 들어 에드워드 노턴 로렌즈 의 氣象計를 본뜬 單純한 3次元 본뜨기는 有名한 로렌즈 끌개 를 보인다. 로렌즈 끌개는 아마도 가장 잘 알려진 混沌系의 그림일 텐데 이는 이것이 最初의 끌개 그림 中 하나라는 것보다는 가장 複雜한 끌개 그림 中 하나이며 또한 나비의 날개 같은 매우 흥미로운 形態를 보이기 때문일 것이다. 또 다른 끌개로 로지스틱 본뜨기 처럼 주기배症의 混沌經路를 따르는 罍瑟러 본뜨기 가 있다.

야릇한 끌개는 프랙털 構造를 가지고 있다.

예 [ 編輯 ]

混沌系의 代表的인 例는 다음이 있다.

離散 時間 混沌界

• 로지스틱 史上 은 適切한 媒介 變數 값에서 混沌界를 이룬다.
• 아르놀트 고양이 思想 ( 英語 : Arnold cat map )
• 에농 史上 ( 英語 : Henon map )
• 말굽 史上( 英語 : horseshoe map )

連續 時間 混沌界

• 로렌즈 方程式
• 雛兒 回로
• 罍瑟러 끌개 ( 英語 : Rossler attractor )
• 판데르폴 振動子 ( 英語 : Van der Pol oscillator )
• 다양한 模樣의 平面 區域 위에서의 撞球 動力學界( 英語 : dynamical billiards ). 混沌系가 되는 撞球場의 模樣으로는 로런츠 機體( 英語 : Lorentz gas , 正四角形 속에서 원을 除去한 것)와 不니모비치 스타디움( 英語 : Bunimovich stadium , 直四角形 兩쪽에 半圓을 붙인 것) 等이 있다.
• 三體 問題 와 一般的인 다體 問題 는 一部 初期 條件에서 混沌을 보인다.

混沌系가 아닌 界 [ 編輯 ]

失手 指數 函數

${\displaystyle \phi _{t}(x)=x\exp(t)}$

는 羊의 랴푸노프 指數 1을 갖지만, 位相 混合性이나 稠密한 週期的 軌道를 갖지 않으므로 混沌系가 아니다.

應用 [ 編輯 ]

混沌 現象은 나비 效果 로 잘 알려져 있으며, 混沌 理論은 地球의 待機 , 판 構造論 , 經濟/人口 現象, 多重星界 의 軌道 變化 等에 應用된다. 이런 敏感性의 한 例가 所謂 " 나비 效果 "로 나비의 날갯짓에 依한 大氣의 微少한 變化가 時間이 흐름에 따라 增幅되어 토네이도 같이 劇的인 狀態를 惹起할 수 있음을 의미한다. 나비의 날갯짓이 나타내는 系의 初期條件에 對한 "작은" 差異가 一連의 事件을 거쳐 토네이도와 같은 巨視的인 現象을 일으킨다는 것이다. 萬若 나비가 날갯짓을 하지 않았다면 契의 位相 空間 위의 軌跡은 全혀 달랐을 것이다.

또 다른 混沌 運動의 잘 알려진 例로 染料 色의 섞임 現象과 空氣의 暖流 (亂流) 現象 等이 있다.

歷史 [ 編輯 ]

19世紀 [ 編輯 ]

混沌 理論의 始作은 19世紀까지 거슬러 올라간다. 앙리 푸앵카레 는 1880年代에 三體 問題 를 硏究하는 過程에서, 非週期城이면서도 永遠히 增加하지도, 또한 固定點에 到達하지도 않는 軌道가 있을 수 있다는 것을 發見하였다. 또한, 푸앵카레는 2次元에서는 混沌이 일어날 수 없다는 푸앵카레-벤딕손 整理 를 1892年에 發表하였으나, 이에 對한 嚴密한 證明을 提示하지 않았다. ^[5] 자크 아다마르 는 1898年에 종수 2의 리만 曲面 위의 測地線 을 硏究하면서, 이 動力學系가 (現代的인 用語로) 羊의 랴푸노프 指數를 갖는다는 것을 發見하였다. 以後 이바르 오토 벤딕손 이 1901年에 푸앵카레-벤딕손 整理 를 嚴密하게 證明하였다. ^[6]

20世紀 初 [ 編輯 ]

20世紀 初에 非線型 動力學系의 硏究가 發達하기 始作하였다. 이들은 草創期에는 大槪 物理學 · 工學에서 登場하는 非線型 微分 方程式들을 다루었지만, 이들이 共通的으로 보이는 性質들이 漸次 浮刻되기 始作하였다.

조지 데이비드 버코프 는 混沌과 密接하게 聯關된 에르고딕性 을 硏究하였고, 버코프 에르고딕 整理 를 證明하였다. 안드레이 콜모고로프 는 1941年에 流體 力學 의 暖流 를 硏究하였고, ^[7] 또 1954年에 微細한 非線型性에 對한 콜모고로프-아르놀트-모저 整理 를 導入하였다. ^[8] 메리 카트라이트 와 존 이든저 리틀우드 는 1945年에 無線 工學에서 자연스럽게 登場하는 판데르폴 振動子 를 硏究하였다. ^[9] 스티븐 스메일 은 1960年에 非線形 動力學界를 모스 理論 을 使用하여 分析하였다. ^[10]

20世紀 後半 [ 編輯 ]

에드워드 노턴 로렌즈 는 1961年에 氣象學 컴퓨터 시뮬레이션을 硏究하던 途中 로렌즈 方程式 의 야릇한 끌개 를 發見하였다. ^[11] 1963年에 브누아 망델브로 는 프랙털 幾何學을 導入하였으며, ^[12] 이는 야릇한 끌개 의 프랙털 性質을 糾明하는 理論的 基盤을 提供하였다. 1975年에 리톈옌( 中國語 : 李天岩 , 병음 : L? Ti?nyan , 漢字音 : 이천암, 英語 : Tien-Yien Li )과 제임스 요크( 英語 : James A. Yorke )는 "混沌"( 英語 : chaos 케이오스 ^{[ * ]} )이라는 用語를 專門 用語로 最初로 使用하였다. ^[3] 이는 古代 그리스어 : χ?ο? 카오스 ^{[ * ]} 에서 由來하며, 元來 그리스 神話 에서 宇宙 太初의 狀態 (또는 그 擬人化) 를 뜻한다. 1976年에 오토 에버하르트 罍瑟러( 獨逸語 : Otto Eberhard Rossler )는 連續 時間 混沌系인 罍瑟러 끌개 를 發表하였다. ^[13] 1978年에 미첼 파이겐바움 은 파이겐바움 常數 를 發見하였다.

1987年에 제임스 글리크( 英語 : James Gleick , IPA:  [d?e?mz ?liːk] )는 大衆 敎養 書籍 《카오스: 새로운 科學의 出現》( 英語 : Chaos: Making a New Science )을 出版하여, 混沌 理論을 大衆化하였다. ^{[14] [15]}

같이 보기 [ 編輯 ]

• 에르고딕性
• 分期 (動力學界)
• 兩者 混沌

各州 [ 編輯 ]

出處

參考 文獻

• 문희태 (2001年 2月 25日). 《카오스와 非線型動力學》 . 서울대학교 出版部. ISBN   978-89-521-0237-9 .   ^{[ 깨진 링크 ( 過去 內容 찾기 )]}
• 아이하라 가즈유키 (1994年 12月). 《카오스》. 과학세대 驛. 한뜻. ISBN   978-89-8571511-9 .  
  • 合原 一幸 (1990). 《カオス: カオス理論の基礎と?用》 (日本語). サイエンス社. ISBN   4-7819-0592-7 .  
• Alligood, K.T.; Sauer, T.; Yorke, J.A. (1997). 《Chaos: an introduction to dynamical systems》 (英語). Springer-Verlag. ISBN   0-387-94677-2 .  
• Wiggins, Stephen (2003). 《Introduction to Applied Dynamical Systems and Chaos》 (英語). Springer. ISBN   0-387-00177-8 .  
• Thompson, J. M. T.; Stewart, H. B. (2001). 《Nonlinear Dynamics And Chaos》 (英語). John Wiley and Sons Ltd. ISBN   0-471-87645-3 .  
• Tel, Tamas; Gruiz, Marton (2006). 《Chaotic dynamics: An introduction based on classical mechanics》 (英語). Cambridge University Press. ISBN   0-521-83912-2 .  
• Strogatz, Steven (2000). 《Nonlinear Dynamics and Chaos》 (英語). Perseus Publishing. ISBN   0-7382-0453-6 .  
• Gutzwiller, Martin (1990). 《Chaos in Classical and Quantum Mechanics》 (英語). Springer. ISBN   0-387-97173-4 .  
• Devaney, Robert L. (2003). 《An Introduction to Chaotic Dynamical Systems》 (英語) 2板. Westview Press. ISBN   0-8133-4085-3 .  
• Gollub, J. P.; Baker, G. L. (1996). 《Chaotic dynamics》 (英語). Cambridge University Press. ISBN   0-521-47685-2 .  
• 下條 隆嗣 (1992). 《カオス力?入門: 古典力?からカオス力?へ》. シミュレ?ション物理? (日本語) 6 . 近代科?社. ISBN   4-7649-2005-0 .  
• 早間 慧 (2002). 《カオス力?の基礎》 (日本語) 2板. 現代??社. ISBN   4-7687-0282-1 .  
• 森 肇; ?本 由紀 (2000年 11月 15日). 《散逸構造とカオス》 . 現代物理?叢書 (日本語). 岩波書店 . ISBN   4-00-006750-8 . 2013年 6月 20日에 原本 文書 에서 保存된 文書 . 2015年 10月 13日에 確認함 .  
• 船越 ?明 (2008年 9月 15日). 《カオス》 . 非線形科?入門 (日本語) 3 . 朝倉書店. ISBN   978-4-254-11613-7 . 2016年 3月 5日에 原本 文書 에서 保存된 文書 . 2015年 10月 13日에 確認함 .  

外部 링크 [ 編輯 ]

• “Chaos” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Universal behaviour in dynamical systems” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Routes to chaos” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Chaos” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Chaos theory” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Period three theorem” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Sharkovsky's theorem” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Bishop, Robert (2015年 10月 13日). Edward N. Zalta, 編輯. “Chaos” . 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》 (英語).  
• 김영태. “非線型 動力學 및 카오스 紹介” . 2016年 3月 4日에 原本 文書 에서 保存된 文書 . 2015年 10月 13日에 確認함 .