원 (幾何學)

幾何學 에서 원 (圓, 英語 : circle )은 平面 위의 한 點 에 이르는 거리 가 一定한 平面 위의 點들의 集合 으로 定義되는 圖形이다. 이러한 點을 원의 中心 이라고 하고, 中心과 圓 위의 點을 잇는 線分 또는 이들의 共通된 길이를 원의 半지름 이라고 한다.

원은 二次曲線 의 一種인 楕圓 에서 離心率 이 0인 境遇이다.

用語 [ 編輯 ]

원과 關聯된 基本的인 用語들은 다음과 같다.

單位元 : 半지름이 1인 원
同心圓 : 中心이 같은 두 원
半圓 : 中心角이 平角人 부채꼴(활꼴)
半지름 : 圓의 中心과 그 圓 위의 點 을 잇는 線分 또는 그 線分의 길이. 半지름의 길이는 지름의 2分의 1이다.
부채꼴 : 두 個의 半지름과 하나의 弧로 둘러싸인 領域
四分圓 : 中心角이 直角人 부채꼴
原州 : 圓의 둘레
圓周角 : 한 끝點을 共有하는 두 玄이 圓內部에서 이루는 角. 크기는 이에 對應하는 中心角의 1/2이다.
圓板 : 圓으로 둘러싸인 圖形
圓環 : 두 同心圓 으로 둘러싸인 圖形
接線 : 원과 한 點에서 만나는 直線
椄玄覺 : 원의 縣과 玄의 한 끝點에서의 接線이 이루는 各
中心 : 圓 위의 任意의 點에 이르는 距離가 일정한 그 圓을 包含하는 平面 위의 點
中心角 : 湖의 두 끝點을 지나는 半지름이 號와 같은 쪽에서 이루는 角. 크기는 이에 對應하는 圓周角의 2倍이다.
지름 : 圓의 中心을 지나는 絃 또는 그 길이. 길이는 半지름의 2倍이다.
켤레弧 : 원의 合하여 原州全體를 이루는 두 號
割線 : 원과 두 點에서 만나는 直線
現 : 圓 위의 두 點을 잇는 線分
號 : 圓의 一部가 되는 曲線
활꼴 : 같은 끝點을 갖는 號와 縣으로 둘러싸인 領域
時 : 할選의 重點을 垂線의 발로 하는 線

歷史 [ 編輯 ]

紀元前 5世紀警 안티폰 은 正多角形 의 便數를 繼續 늘려가면 結局엔 원이 된다고 생각했다. 이에 15世紀獨逸의 神學者 니콜라우스 는 아무리 變을 늘려도 원이 될 수는 없다는 思想으로 反駁했다.

解釋的性質 [ 編輯 ]

둘레와 넓이 [ 編輯 ]

어떤 圓의 半지름의 길이를 $r$ 라고 하고, 지름의 길이를 $d$ 라고 하면, 원의 둘레 는

C=2\pi r=\pi d

이다. 여기서 $\pi$ 는 圓周率 이다. 이는 約 3.1415…를 값으로 하는 超越數 이다.

어떤 圓의 半지름의 길이를 $r$ 라고 하고, 지름의 길이를 $d$ 라고 하고, 둘레를 $C$ 라고 하면, 원(으로 둘러싸인 圖形 )의 넓이 는

A=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}={\frac {C^{2}}{4\pi }}

이다. 燈住不等式 에 따르면, 이는 둘레가 $C$ 人 닫힌 曲線으로 둘러싸인 圖形이 가질 수 있는 最大 넓이이다.

方程式 [ 編輯 ]

데카르트 座標系 [ 編輯 ]

2次元 데카르트 座標系 위의 中心이 $(a,b)$ 이고 半지름이 $r$ 인 원의 方程式은

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

이다. ^[1]^{:22, §3} 이는 피타고라스 整理 를 통해 誘導된다.

2次元 데카르트 座標系 위의 원의 方程式의 一般的인 꼴은

x^{2}+y^{2}+dx+ey+f=0

이다. 單, $d,e,f$ 는 失手 이며,

d^{2}+e^{2}-f>0

이어야 한다. ^[1]^{:23, §3.2} 左邊은 半지름의 4倍에 對應하며, '=0'일 境遇 한元素集合 이 되고, '<0'일 境遇空集合 이 된다. ^[1]^{:24, §3.2, Example 3.2}

平面 위의 모든 圓은 適切한 데카르트 座標系를 取했을 때

x^{2}+y^{2}=r^{2}

와 같은 標準的인 方程式으로 表現된다. 單, $r>0$ 이어야 한다. 이러한 꼴의 方程式을 얻으려면 圓의 中心을 座標系의 原點으로 삼기만 하면 된다.

2次元 데카르트 座標系 위의 中心이 $(a,b)$ 이고 半지름이 $r$ 인 원은 다음과 같은 媒介變數方程式 을 갖는다. ^[1]^{:23, §3.2, (3.5)}

{\begin{matrix}x=a+r\cos t\\y=b+r\sin t\end{matrix}}\qquad (0\leq t<2\pi )

여기서 $\cos ,\sin$ 은 各各 코사인 函數 와 사인 函數 이고, $t$ 는 媒介變數이다.

極座標界 [ 編輯 ]

데카르트 座標 $(x,y)$ 代身極座標 $(r,\theta )$ 를 使用할 수도 있다. 卽, 極座標界 위의 中心이 $(r_{0},\theta _{0})$ 이고 半지름이 $R$ 인 원의 方程式은

r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\theta _{0})+r_{0}^{2}=R^{2}

이다.

複素平面 [ 編輯 ]

데카르트 座標나 極座標를 複素數 $z$ 로 代身하면, 원과 直線 의 統一된 方程式을 얻을 수 있다.

複素平面 위에서, 中心이 $z_{0}$ 이고 半지름이 $r>0$ 인 원의 方程式은

|z-z_{0}|=r

이다. 여기서 $|\cdot |$ 는 複素數의 絶對값 이다.

또한 複素平面 위의 원의 方程式의 一般的인 꼴은

Az{\bar {z}}+{\bar {B}}z+B{\bar {z}}+C=0

이다. 여기서 ${\bar {}}$ 는 켤레 複素數 이다. 單, $A,C$ 는 失手 이고, $B$ 는 複素數이며,

|B|^{2}-AC>0

A\neq 0

이어야 한다. 또한, $A\neq 0$ 代身 $A=0$ 을 取하고 다른 條件을 그대로 두면 複素平面 위의 直線의 方程式의 一般的인 꼴을 얻는다. 卽, $A\neq 0$ 이라는 條件을 除去하고 다른 條件을 그대로 두면 一般化 원 의 方程式의 一般的인 꼴을 얻는다.

接線의 方程式 [ 編輯 ]

2次元 데카르트 座標系 위에서, 員

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

의 $(x_{0},y_{0})$ 을 接點으로 하는 接線 의 方程式은

(x_{0}-a)(x-a)+(y_{0}-b)(y-b)=r^{2}

이다.

원

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

의 기울기가 $m$ 人接線의 方程式은

y-b=m(x-a)\pm r{\sqrt {m^{2}+1}}

이다.

幾何적 性質 [ 編輯 ]

對稱 [ 編輯 ]

원은 지름에 對한 反射 와 圓의 中心에 對한 回戰 에 對하여 對稱이다. ^[2]^{:227, §20.1, Theorem 20.3}
- 卽, 원의 對稱軍 은 2次元直交群 $\operatorname {O} (2,\mathbb {R} )$ 이다.
任意의 두 圓은 서로 中心 닮음 이며, 同心圓 이 아닐 境遇 두 圓의 中心을 잇는 線分의 半지름의 비에 따른 內分點 및 外分點을 닮음 中心 으로 갖는다. ^[3]^{:19, §25}

半지름의 길이가 같은 모든 圓은 서로 合同 이다. ^[4]^{:23, §1F}
공先占 이 아닌 세 點을 지나는 圓은 恒常唯一하게 存在한다. ^[4]^{:23, §1F, Theorem 1.15}
- 卽, 모든 三角形 의 外接圓 은 唯一하게 存在한다.
- 卽, 任意의 세 點을 지나는 一般化 원 은 恒常唯一하게 存在한다.

號와 現 [ 編輯 ]

玄의 垂直二等分線 은 圓의 中心을 지난다. ^[2]^{:227, §20.1, Theorem 20.2}
- 卽, 縣에 垂直인 지름은 弦을 二等分한다. ^[2]^{:227, §20.1, Theorem 20.2}
- 卽, 지름이 아닌 弦을 二等分하는 지름은 縣에 垂直이다. ^[2]^{:227, §20.1, Theorem 20.2}
지름은 圓의 가장 긴 縣이다. ^[4]^{:23, §1F}
( 方冪整理 ) 圓 위에 있지 않은 點 $P$ 를 지나는 두 直線 가운데 하나는 圓과 點 $A$ 와 $B$ 에서 만나고, 다른 하나는 圓과 點 $C$ 와 $D$ 에서 만난다고 하면, $PA\cdot PB=PC\cdot PD$ 이다. ^[4]^{:47, §1H, Theorem 1.35}
圓 위의 點과 現 사이의 距離와 지름의 곱은 點과 玄의 兩 끝點 사이의 距離의 곱과 같다. ^[3]^{:71, §101}

圓과 直線의 位置關係 [ 編輯 ]

平面 위의 圓과 直線의 位置關係는 圓의 中心에서 直線까지의 距離 $d$ 와 圓의 半지름 $r$ 의 對蘇關係에 따라 다음과 같은 境遇로 나뉜다.

萬若 $d>r$ 라면, 圓과 直線은 만나지 않는다.
萬若 $d=r$ 라면, 圓과 直線은 한 點에서 만난다. 卽, 直線은 원의 接線 이다.
萬若 $d<r$ 라면, 圓과 直線은 두 點에서 만난다. 卽, 直線은 원의 割線 이다.

두 원의 位置關係 [ 編輯 ]

두 원의 位置關係는 두 圓의 半지름 $R,r$ 와 두 中心 사이의 距離 $d$ 에 따라 다음과 같은 境遇로 나뉜다.

萬若 $d>R+r$ $d>R+r$ 이거나 $d<|R-r|$ $d<|R-r|$ 라면, 두 圓은 만나지 않는다.
- 萬若 $d>R+r$ 라면, 두 圓은 서로의 外部에 놓이며, 交點을 가지지 않는다.
- 萬若 $d<|R-r|$ 라면, 작은 圓은 큰 圓의 內部에 놓이며, 交點을 가지지 않는다.
萬若 $d=R+r$ $d=R+r$ 이거나 $d=|R-r|$ $d=|R-r|$ 라면, 두 원은 한 點에서 만난다. 卽, 두 圓은 서로 接한다.
- 萬若 $d=R+r$ 라면, 두 圓은 서로의 外部에서 接한다. 卽, 두 圓은 外接한다.
- 萬若 $d=|R-r|$ 라면, 작은 원이 큰 圓의 內部에서 큰 圓에 接한다. 卽, 두 圓은 內接한다.
萬若 $|R-r|<d<R+r$ 라면, 두 원은 두 點에서 만난다.

中心角과 圓周角 [ 編輯 ]

주어진 號에 對한 圓周角 의 크기는 그 號에 對한 中心角 의 1/2이다. ^[4]^{:25, §1F, Theorem 1.16}
같은 號에 對한 두 圓周角의 크기는 서로 같다. ^[4]^{:25, §1F}
켤레弧 에 對한 두 中心角은 서로 보각 이다.
- 卽, 內接四角形 의 두 大覺은 서로 보각 이다. ^[4]^{:26, §1F, Corollary 1.17}
- 卽, 內接四角形의 外角의 크기는 內對角 과 같다.

( 탈레스 整理 ) 지름에 對한 圓周角은 直角이다.
- 卽, 三角形의 外心 이 邊 위에 있을 必要充分條件은 直角三角形 이다. ^[4]^{:30, §1F, Corollary 1.22}
圓의 두 玄이 圓內部에서 이루는 角의 크기는 이 各科 맞꼭지角 의 內部에 包含되는 두 弧에 對한 中心角의 合意 1/2이다. ^[4]^{:27, §1F, Corollary 1.19}
圓의 두 할線이 원 外部에서 이루는 角의 크기는 이 角의 內部에 包含되는 두 弧에 對한 中心角의 車의 1/2이다. ^[4]^{:27, §1F, Corollary 1.18}

接線 [ 編輯 ]

圓 위의 한 點을 지나는 圓의 接線은 唯一하게 存在하고, 이는 이 點을 지나는 半지름에 垂直이다. ^[2]^{:228, §20.1, Theorem 20.4}^[4]^{:30-31, §1F}
- 卽, 半지름의 半지름 끝點에서의 修繕은 圓에 接한다. ^[2]^{:228, §20.1, Theorem 20.4}
- 卽, 圓의 接線의 接點에서의 修繕은 圓의 中心을 지난다.
원 外部의 한 點을 지나는 圓의 接線은 正確히 2個이고, 이 點과 두 接點 사이의 距離는 같으며, 두 接線이 이루는 各科 두 接點을 지나는 半지름이 이루는 覺은 서로 補閣이다.
원의 椄玄覺 의 크기는 絃을 基準으로 이와 같은 쪽에 있는 號에 對한 中心角의 1/2이다. ^[4]^{:31, §1F, Theorem 1.23}
圓의 接線과 할線이 원 外部에서 이루는 覺은 角의 內部에 包含된 두 好意中心角의 車의 1/2이다. ^[4]^{:31, §1F, Corollary 1.24}
外接하는 두 원의 交點을 지나는 두 共通割線 사이의 두 玄은 서로 平行 한다. ^[4]^{:31, §1F, Problem 1.25}
(接線에 對한 方冪整理 )원 外部의 點 $P$ 를 지나는 두 直線 가운데 하나는 원과 $A$ 와 $B$ 에서 만나고, 하나는 원에 點 $T$ 에서 接한다고 하면, $PA\cdot PB=PT^{2}$ 이다.

원의 直交 [ 編輯 ]

두 원의 交點에서의 두 接線이 서로 垂直 일 境遇 두 圓이 서로 直交 한다고 한다. ^[3]^{:33, §48}
두 圓의 半지름이 $r,r'$ 이고, 두 中心 사이의 距離가 $d$ 라고 할 때, 두 圓이 서로 直交할 必要充分條件은 $r^{2}+{r'}^{2}=d^{2}$ 이다. ^[3]^{:34, §48}
주어진 원에 直交하고 中心이 원 外部의 주어진 點인 원은 唯一하게 存在한다. ^[3]^{:34, §48}
주어진 원에 直交하고 圓의 지름이 아닌 絃의 두 끝點을 지나는 圓은 唯一하게 存在한다. ^[3]^{:34, §48}

作圖 [ 編輯 ]

공先占이 아닌 세 點을 지나는 원 [ 編輯 ]

공先占이 아닌 세 點 $A,B,C$ 를 지나는 圓은 컴퍼스와 자를 使用하여 다음과 같이 作圖 할 수 있다.

線分 $AB$ 의 垂直二等分線 을 그린다.
線分 $BC$ 의 垂直二等分線을 그린다.
線分 $AB$ 와 $BC$ 의 交點 $O$ 를 取한다.
點 $O$ 를 中心으로 하고 線分 $OA$ 를 半지름으로 하는 圓을 그린다. 이 境遇 원은 點 $A,B,C$ 를 지난다.

圓의 中心 [ 編輯 ]

주어진 圓의 中心은 컴퍼스와 자를 使用하여 다음과 같이 作圖할 수 있다.

圓 위의 두 點 $A,B$ 을 取한다.
線分 $AB$ 의 點 $B$ 에서의 修繕 $BP$ 를 그린다.
直線 $BP$ 와 원의 交點 $C$ 를 取한다. 이 境遇線分 $AC$ 는 圓의 지름이다.
또 다른 지름 $A'C'$ 을 作圖한다.
線分 $AC$ 와 $A'C'$ 의 交點 $O$ 를 取한다. 이 境遇點 $O$ 는 圓의 中心이다.

원적 問題 [ 編輯 ]

원적 問題 는 주어진 圓과 넓이가 같은 正四角形을 컴퍼스와 字로 作圖하는 問題를 일컫는다. 이는 圓周率 $\pi$ 가 超越數 이므로 不可能하다.

其他關聯主題 [ 編輯 ]

內接圓, 外接圓, 傍接圓 [ 編輯 ]

모든 三角形은 唯一한 內接圓 및 外接圓 과 正確히 3個의 傍接圓 을 갖는다. 그러나, 일一般的로 多角形 은 內接圓이나 外接圓을 가질 必要가 없다. 어떤 多角形이 모든 邊에 接하는 원을 가질 境遇, 이 多角形을 外接多角形 이라고 한다. 어떤 多角形이 모든 꼭짓點을 지나는 원을 가질 境遇, 이 多角形을 內接多角形 이라고 한다. 同時에 外接多角形이며 內接多角形인 多角形을 二重中心多角形 이라고 한다. 例를 들어, 모든 三角形과 모든 正多角形 은 이中中心多角形이다.

주어진 원의 內接 $n$ 角形 가운데 넓이가 가장 큰 것은 鄭 $n$ 角形이다. ^[4]^{:35, §1G}

文學 [ 編輯 ]

에드윈 A. 애보트의 公傷數學小說《 플랫랜드 》에서는 원이 聖職者 로 出現하며, 平面圖形들 中 가장 高貴한 階級으로 여겨진다.

같이 보기 [ 編輯 ]

各州 [ 編輯 ]

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원

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