外接圓

幾何學 에서 外接圓 (外接圓, 英語 : circumscribed circle, circumcircle )은 주어진 多角形 의 모든 꼭짓點을 지나는 원 이다. 外心 (外心, 英語 : circumcenter )은 外接圓의 中心을 일컫는다. 모든 三角形 과 正多角形 은 外接圓을 갖는다. 그러나 모든 多角形에 外接圓이 存在하는 것은 아니다.

正義 [ 編輯 ]

多角形 의 모든 꼭짓點을 지나는 원 이 存在한다면, 이 원을 이 多角形의 外接圓 이라고 한다. 多角形의 外接圓의 中心을 이 多角形의 外心 이라고 한다. 外接圓을 갖는 (볼록) 多角形을 內接多角形 (內接多角形, 英語 : cyclic polygon, inscribed polygon )이라고 한다. 特히 外接圓을 갖는 (볼록) 四角形 을 內接四角形 이라고 한다.

性質 [ 編輯 ]

多角形이 外接圓을 갖는다면, 그 外審은 모든 邊의 垂直二等分線 의 交點이며, 外心과 多角形의 各 꼭짓點 사이의 距離는 外接圓의 半지름이므로 모두 같다.

모든 三角形과 正多角形 은 外接圓을 갖는다. 卽, 모든 三角形과 正多角形은 內接多角形이다.

銳角·直角·鈍角三角形의 外心 [ 編輯 ]

銳角三角形 의 外心은 三角形의 內部에 屬한다. 直角三角形 의 外心은 빗邊의 重點 이다. 鈍角三角形 의 外心은 三角形의 外部에 屬한다.

半지름 [ 編輯 ]

三角形 $ABC$ 의 外接圓의 半지름을 $R$ 라고 하고, 세 邊의 길이를 $a=BC$ , $b=CA$ , $c=AB$ 라고 하자. 그렇다면 다음 等式들이 成立한다 ( 사인 法則 ).

{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R

三角形의 넓이를 $S$ 라고 하자. 그렇다면 다음이 成立한다.

S={\frac {abc}{4R}}

證明:

三角形의 넓이는 한 邊의 길이 $a$ 와 그 邊 위의 높이 $b\sin C$ 의 곱의 1/2이므로, 사인 法則에 따라

S={\frac {1}{2}}ab\sin C={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}={\frac {abc}{4R}}

이다.

三角形의 內接圓 의 半지름을 $r$ 라고 하자. 그렇다면 外心 $O$ 와 內心 $I$ 사이의 距離는 다음과 같다 ( 오일러 三角形整理 ).

OI={\sqrt {R^{2}-2Rr}}

特히 다음 不等式이 成立한다 ( 오일러 不等式 ).

R\geq 2r

오일러 直線 [ 編輯 ]

三角形의 外心, 무게 中心 , 水深 , 九點圓 의 中心은 한 直線 위의 點이며, 正三角形이 아닐 境遇 이 네 中心을 지나는 直線은 唯一하게 存在한다. 이를 주어진 三角形의 오일러 直線 이라고 한다.

四角形 [ 編輯 ]

(볼록) 四角形 $ABCD$ 에 對하여, 다음 條件들이 서로 同治 이다.

內接四角形 이다. (卽, 外接圓을 갖는다.)
(두 大覺의 合은 $180^{\circ }$ ) $\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ }$
( 圓周角 ) $\angle ACB=\angle ADB$
( 方冪整理 ) 두 對角線 $AC$ , $BD$ 의 交點을 $E$ 라고 할 때, $EA\cdot EC=EB\cdot ED$
( 프톨레마이오스 整理 ) $AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD$

미켈 整理 [ 編輯 ]

三角形 $ABC$ 및 直線 $BC$ , $CA$ , $AB$ 위의 點 $D$ , $E$ , $F$ 가 주어졌다고 하자. 미켈 整理 ( 英語 : Miquel theorem )에 따르면, 三角形 $AEF$ , $BFD$ , $CDE$ 의 外接圓은 한 點 $P$ 에서 만난다. 이 境遇點 $P$ 를 三角形 $ABC$ 에 對한 點 $D$ , $E$ , $F$ 의 미켈 點 ( 英語 : Miquel point )이라고 한다. 萬若 $D$ , $E$ , $F$ 가 한 直線 위의 點이 아닐 境遇, 三角形 $DEF$ 를 三角形 $ABC$ 에 對한 點 $P$ 의 한 미켈 三角形 ( 英語 : Miquel triangle )이라고 한다.

證明:

便宜上 $D$ , $E$ , $F$ 가 便 $BC$ , $CA$ , $AB$ 위의 點이며, 三角形 $AEF$ , $BFD$ 의 外接圓의 다른 한 交點 $P$ 가 三角形 $ABC$ 의 內部에 屬한다고 하자 (그 밖의 境遇의 證明은 類似하다). 그렇다면 四角形 $AEPF$ , $BDPF$ 는 內接四角形이므로

\angle CEP=\angle AFP=\angle BDP

이다. 따라서 四角形 $CDPE$ 亦是內接四角形이다.

네 直選으로 構成된 네 三角形의 外接圓은 한 點에서 만난다. 이는 미켈 定理에서 $D$ , $E$ , $F$ 가 한 直線 위의 點인 특수한 境遇이다.

三角形 $ABC$ 및 直線 $BC$ , $CA$ , $AB$ 위의 點 $D$ , $E$ , $F$ 및 點 $P$ 에 對하여, 三角形 $DEF$ 가 點 $P$ 의 미켈 三角形日必要充分條件은 有香角 $\angle PFA$ , $\angle PDB$ , $\angle PEC$ 의 크기가 같은 것이다. 이에 따라, 주어진 點의 미켈 三角形은 無限히 많이 存在한다. 手足三角形 은 미켈 三角形의 특수한 境遇이다.

三角形 $ABC$ 및 直線 $BC$ , $CA$ , $AB$ 위의 點 $D$ , $E$ , $F$ 및 미켈 點 $P$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 成立한다. ^[1]^{:133, §VII.186}

\angle BPC=\angle BAC+\angle EDF

\angle CPA=\angle CBA+\angle FED

\angle APB=\angle ACB+\angle DFE

여기서 모든 角度는 有香角이다.

證明:

便宜上 $D$ , $E$ , $F$ 가 便 $BC$ , $CA$ , $AB$ 위의 點이며, 三角形 $AEF$ , $BFD$ 의 外接圓의 다른 한 交點 $P$ 가 三角形 $ABC$ 의 內部에 屬한다고 하자 (그 밖의 境遇의 證明은 類似하다). 그렇다면 四角形 $BDPF$ , $CDPE$ 는 內接四角形이므로

\angle BPC=\angle BPD+\angle DPC=\angle BFD+\angle DEC=\angle BAC+\angle EDF

이다.

주어진 點의 모든 미켈 三角形은 닮음 이다. 具體的으로, 三角形 $ABC$ 에 對한 點 $P$ 의 모든 미켈 三角形은 $P$ 를 固定點 으로 하는 方向保存 닮음 變換에 對하여 닮음이다. ^[1]^{:134, §VII.188}

證明:

위 等式에 따라 三角形 $ABC$ 에 對한 點 $P$ 의 미켈 三角形 $DEF$ 의 세 內閣의 크기

\angle EDF=\angle BPC-\angle BAC

\angle FED=\angle CPA-\angle CBA

\angle DFE=\angle APB-\angle ACB

는 미켈 三角形 $DEF$ 의 選擇과 無關하므로, 모든 미켈 三角形은 (方向保存 닮음 變換에 對하여) 닮음이다. 또한

\angle PDE=\angle PCA

\angle PEF=\angle PAB

\angle PFD=\angle PBC

亦是 미켈 三角形의 選擇과 無關하므로, 닮음 變換은 $P$ 를 固定點으로 갖는다.

키페르트 抛物線과의 關係 [ 編輯 ]

三角形의 모든 內接抛物線 의 焦點 은 外接圓 위의 點이다. ^[2]^{:47, §5.5} 特히 三角形의 키페르트 抛物線( 英語 : Kiepert’s parabola )의 焦點은 外接圓 위의 點이다. 이는 綜合幾何學의 方法을 통해 다음과 같이 證明할 수 있다.

證明:

內接抛物線의 焦點 $F$ 가 外接圓 위의 點이라는 條件은 焦點 $F$ 를 지나는 三角形의 세 邊의 垂線의 발이 한 直線 위의 點인 것과 童穉이다 ( 심슨 直線 ). 따라서 焦點 $F$ 를 지나는, 抛物線位任意의 點 $P$ 에서의 接線의 垂線의 發이 恒常抛物線의 꼭짓點 $V$ 에서의 接線 위의 點임을 보이는 것으로 充分하다.

點 $P$ 또는 焦點 $F$ 를 지나는 準線 의 垂線의 발을 $D$ , $E$ 라고 하고, 꼭짓點 $V$ 에서의 接線과 $DF$ 의 交點을 $M$ 이라고 하자. 그렇다면 抛物線의 꼭짓點 $V$ 는 線分 $EF$ 의 重點이며, $VM$ 과 $DE$ 는 平行하므로 $M$ 은 線分 $DF$ 의 重點이다. $PD=PF$ 이므로 $PM$ 은 $DF$ 의 修繕이자 $\angle DPF$ 의 二等分線이다. 이에 따라 光線 $FP$ 가 直線 $PM$ 에 反射된 光線은 $DP$ 의 延長線이다. 抛物線의 性質에 따라 焦點을 지나는 光線 $FP$ 가 抛物線에 反射된 光線은 $DP$ 의 延長線이므로, $PM$ 은 抛物線의 $P$ 에서의 接線이다.

參考文獻 [ 編輯 ]

↑ ^가 ^나 Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (英語). New York, N. Y.: Dover Publications.
↑ Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (英語) 37 . Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5 .

外部 링크 [ 編輯 ]

Weisstein, Eric Wolfgang. “Circumcircle” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Circumcenter” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Circumradius” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Miquel’s theorem” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Miquel point” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Miquel triangle” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Miquel circles” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.

[Johnson-1] 가 ^나 Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (英語). New York, N. Y.: Dover Publications.

[Honsberger-2] Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (英語) 37 . Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5 .

[1]

[2]

v t e 三角形의 中心
誤審	內心外心放心 무게 中心水深
다른 重要한 中心들	九點圓 의 中心對稱重點 제르곤 點 나겔 點 Mittenpunkt 슈피커 中心 포이어바흐 點 페르마 點 Isodynamic points Napoleon points Steiner point