論理學 에서 樣相 論理 (樣相論理, 英語 : modal logic )는 論理 體系의 一種으로, 命題 의 必然性·可能性·不可能性과 같은 樣相(modality)을 敍述할 수 있는 論理이다. 예컨대 眞理 樣相 論理에서 記號 □는 命題가 반드시 참임(必然性)을, ◇는 命題가 참일 수 있음(가능성)을 나타낸다.

正義 [ 編輯 ]

統辭論 [ 編輯 ]

樣相 論理는 一般 命題 論理 의 記號 ( ${\displaystyle \land }$, ${\displaystyle \lor }$, ${\displaystyle \lnot }$, ${\displaystyle \implies }$ 等) 以外에도 다음과 같은 두 記號를 갖는다.

${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle \Diamond }$

이들 사이에는 다음과 같은 關係가 있다.

${\displaystyle \lnot \Box \lnot =\Diamond }$

${\displaystyle \lnot \Diamond \lnot =\Box }$

이 두 記號는 여러 가지로 解釋할 수 있으나, 一般的인 眞理 樣相 論理(alethic logic)에서는 다음과 같이 解釋한다.

• ${\displaystyle \Box P}$: 命題 ${\displaystyle P}$는 必然的으로 참이다. 卽, ${\displaystyle P}$는 모든 可能한 世界에서 참이다.
• ${\displaystyle \Diamond P}$: 命題 ${\displaystyle P}$는 蓋然的으로 참이다. 卽, ${\displaystyle P}$가 참인 世界가 存在한다.

이 밖에도, 다르게 解釋할 수도 있다. 例를 들어, ${\displaystyle \Box P}$를 다음과 같이 解釋할 수 있다.

• 證明可能性 論理( 英語 : provability logic )
  • ${\displaystyle \Box P}$: 命題 ${\displaystyle P}$는 證明할 수 있다.
  • ${\displaystyle \Diamond P}$: 命題 ${\displaystyle P}$는 反證할 수 없다.
• 認識論的 論理 ( 英語 : epistemic logic ):
  • ${\displaystyle \Box P}$: 命題 ${\displaystyle P}$가 참인 것을 안다.
  • ${\displaystyle \Diamond P}$: 命題 ${\displaystyle P}$가 거짓인 것을 알지 못한다.
• 義務論 敵 論理 ( 英語 : deontological logic ):
  • ${\displaystyle \Box P}$: 命題 ${\displaystyle P}$를 滿足시킬 義務가 있다.
  • ${\displaystyle \Diamond P}$: 命題 ${\displaystyle P}$를 만족시키는 것이 許容된다.

公理系 [ 編輯 ]

樣相 論理는 命題 論理 의 公理 및 前件 肯定의 形式 을 가진다. 이 밖에도, 樣相 論理 固有의 다음과 같은 公理들이 있다. 于先, 가장 基本的인 樣相 論理 K 는 命題 論理에 다음과 같은 두 公理를 追加하여 얻는다.

${\displaystyle P\vdash \Box P}$

${\displaystyle \Box (P\implies Q)\implies (\Box P\implies \Box Q)}$

이 밖에도, 다음과 같은 公理들을 생각할 수 있다.

(T公理) ${\displaystyle \Box P\implies P}$

間或 M公理로 불리기도 함

(4番 公理) ${\displaystyle \Box P\implies \Box \Box P}$

(5番 公理) ${\displaystyle \Diamond P\implies \Box \Diamond P}$

(B公理) ${\displaystyle P\implies \Box \Diamond P}$

브라우어르 (Brouwer)의 姓氏의 머리글字.

(D公理) ${\displaystyle \Box P\implies \Diamond P}$

主로 義務論的 論理에서 쓰임. 英語 deontology(義務論)의 머리글字.

(GL公理) ${\displaystyle \Box (\Box P\implies P)\implies \Box P}$

間或 L公理로 불리기도 함. 괴델-뢰브(Godel?Lob)의 弱者.

K 에 이 公理들 가운데 一部를 追加하면 다음과 같은 樣相 論理들을 얻는다.

T = K + T公理

K4 = K + 4番 公理

S4 = K + T公理 + 4番 公理

S5 = K + T公理 + 5番 公理 = S4 + 5番 公理 = S4 + B公理

D = K + D公理

D45 = K + D公理 + 4番 公理 + 5番 公理

GL = K + GL公理

다음을 보일 수 있다. 여기서는 모두 적어도 K 를 假定한다.

GL ? 4, ￢T

S5 ? 4, D

S4 + D ? 5

卽, S4 + D = S5 이다.

意味論 [ 編輯 ]

樣相 論理에서 가장 많이 쓰이는 意味論은 크립키 模型 ( 英語 : Kripke model )로, 이를 통해 各種 樣相 論理들의 模型을 定義할 수 있다. 크립키 意味論은 存在할 수 있는 世界인 '可能世界'를 假定하는 可能世界론 에 根據한다.

一般的인 樣相 論理 意味論에서는 順序雙 ${\displaystyle \langle G,R\rangle }$이 定義된다. 于先 構造로서 定義되는 G는 可能世界 (possible worlds)들의 (非公)集合이며, 接近可能性 關係 (accessibility relation)라 불리는 關係 R은 可能世界들 間의 二項關係이다. 例를 들어, w R u는 世界 u가 世界 w로부터 接近可能함을 뜻한다. 또한 現實世界 (the actual world)도 定義할 수 있는데, 이는 G 속의 한 불邊項 ${\displaystyle w*}$로 나타내어진다.

이제 可能 世界들과 量의 文字들(positive literals) 間의 關係 v를 定義하는데, 이는 위의 構造를 模型 으로 擴張시키기 위하여 G 속의 各 世界에 있어서 모든 命題들의 眞理값 을 특정하는 過程이다. 萬若 ${\displaystyle v(w,P)}$人 世界 w가 存在한다면, P는 w에 있어서 참이다. 이에 따라 模型은 ${\displaystyle \langle G,R,v\rangle }$가 된다.

이제 模型 안에서 世界 속의 論理式의 참을 再歸的으로 定義한다(iff는 必要充分條件):

• ${\displaystyle v(w,P)}$ 裏面 ${\displaystyle w\models P}$ 이다
• ${\displaystyle w\models \neg P}$ iff ${\displaystyle w\not \models P}$
• ${\displaystyle w\models (P\wedge Q)}$ iff ${\displaystyle w\models P}$ and ${\displaystyle w\models Q}$
• ${\displaystyle w\models \Box P}$ iff G 의 모든 元素 u 에 對하여 w R u 裏面 ${\displaystyle u\models P}$ 일 때
• ${\displaystyle w\models \Diamond P}$ iff G 一部 元素 u 에 對하여 w R u 이며 ${\displaystyle u\models P}$ 일 때
• ${\displaystyle \models P}$ iff ${\displaystyle w*\models P}$

그러니 이러한 樣相論理 意味論에서, 命題의 참 與否는 어떠한 可能世界 w 안에서만 決定될 수 있는 相對的 特性을 가진다. w에 接近可能한 모든 世界에 있어서 참이면 可能世界 w에서 必然的으로 참이고, w에 接近可能한 一部 世界에 있어서 참이면 可能世界 w에서 참임이 可能하다는 것이다.

樣相 論理의 體系들은 거기에 對應되는 接近可能性 關係의 特性에 依하여 區別된다. 어떠한 接近可能性 關係가:

• 反射的 (reflexive)이라 함은, G에 屬하는 모든 w에 對하여 wRw이라는 것이다.
• 對稱的 (symmetric)이라 함은, G에 屬하는 모든 w, u에 對하여 wRu 裏面 uRw이라는 것이다.
• 秋移籍 (transitive)이라 함은, G에 屬하는 모든 w,u,q에 對하여 wRu 이고 uRq 裏面 wRq이라는 것이다.
• 連續的 (serial)이라 함은, G에 屬하는 各 w에 對하여 wRu 人 (G에 屬하는) 어떤 u가 存在한다는 것이다.
• 유클리드的 (Euclidean)이라 함은, 모든 u,t,w에 對하여 wRu 이고 wRt 裏面 uRt이라는 것이다. 유클리드의 原論 의 公理 1에 對應되기에 이러한 이름이 붙었으며, 對稱性과 秋理性으로부터 導出될 수 있다.

이러한 條件들에 依하여 樣相 공리 體系들을 說明하면:

• K  := 條件 없음
• D  := 連續的
• T  := 反射的
• B  := 反射的, 對稱的
• S4  := 反射的, 秋移籍
• S5  := 反射的, 유클리드的

S4의 境遇, 位相 空間 으로서 意味論을 定義할 수 있다. 이 境遇, 對應性은 다음과 같다.

S4 樣相 論理	位相數學
命題 ${\displaystyle \phi ,\chi }$	位相 空間의 部分集合 ${\displaystyle S,T\subset X}$
論理合 ${\displaystyle \phi \lor \chi }$	合集合 ${\displaystyle S\cup T}$
論理곱 ${\displaystyle \phi \land \chi }$	交集合 ${\displaystyle S\cap T}$
含意 ${\displaystyle \phi \to \chi }$	${\displaystyle (X\setminus S)\cup T}$
否定 ${\displaystyle \lnot \phi }$	${\displaystyle X\setminus S}$
${\displaystyle \Box \phi }$	內部 ${\displaystyle \operatorname {int} (S)}$
${\displaystyle \Diamond \phi }$	肺胞 ${\displaystyle \operatorname {cl} (S)}$

이 境遇, S4의 公理들은 內部와 肺胞의 性質로 解釋할 수 있다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 1次 論理
• 認識 論理

參考 文獻 [ 編輯 ]

• 여훈근 (2000年 6月 17日). 《論理哲學》 . 人文社會科學叢書 40 . 고려대학교 出版部. ISBN   89-7641-409-8 . 2016年 5月 28日에 原本 文書 에서 保存된 文書 . 2020年 1月 20日에 確認함 .  
• 김우진 (2012). 《樣相論理와 形而上學》 2板. 새들녘. ISBN   978-899624152-2 .   CS1 管理 - 追加 文句 ( 링크 )
• 신승철 (2004年 2月). “樣相 論理의 理解” (PDF) . 《프로그래밍言語論文地》 18 (1): R01. ISSN   1975-5961 .   ^{[ 깨진 링크 ( 過去 內容 찾기 )]}
• Blackburn, Patrick; Maarten de Rijke, Yde Venema (2001年 7月). 《Modal logic》. Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science (英語) 53 . Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9781107050884 . ISBN   978-052180200-0 . Zbl   0988.03006 .   더 以上 支援되지 않는 變數를 使用함 ( 도움말 )
• Chagrov, Aleksandr; Michael Zakharyaschev (1997). 《Modal logic》 (英語). Oxford University Press. ISBN   0-19-853779-4 .   더 以上 支援되지 않는 變數를 使用함 ( 도움말 )
• Chellas, B. F. (1980). 《Modal logic: an introduction》 (英語). Cambridge University Press. ISBN   0-521-22476-4 .  
• Fitting, Melvin; R. L. Mendelsohn (1998). 《First Order Modal Logic》 (英語). Kluwer. ISBN   0-7923-5335-8 .   더 以上 支援되지 않는 變數를 使用함 ( 도움말 )
• Garson, James W. (2013). 《Modal logic for philosophers》 (英語) 2板. Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9781139342117 . ISBN   978-110702955-2 .   CS1 管理 - 追加 文句 ( 링크 )
• Girle, Rod (2000). 《Modal logics and philosophy》 (英語). Acumen. ISBN   0-7735-2139-9 .  
• Hughes, G. E.; M. J. Cresswell (1996). 《A new introduction to modal logic》 (英語). Routledge. ISBN   0-415-12599-5 .   더 以上 支援되지 않는 變數를 使用함 ( 도움말 )
• Snyder, D. Paul "Modal Logic and its applications", Van Nostrand Reinhold Company, 1971
• Kracht, Marcus (1999) Tools and Techniques in Modal Logic , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics No. 142. North Holland.

外部 링크 [ 編輯 ]

• “Modal logic” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• Garson, James (2014年 5月 27日). “Modal logic” . 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》 (英語).  
• Ballarin, Roberta (2010年 11月 16日). “Modern origins of modal logic” . 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》 (英語). 2014年 10月 20日에 原本 文書 에서 保存된 文書 . 2014年 10月 15日에 確認함 .  
• Verbrugge, Rineke (2010年 11月 9日). “Provability logic” . 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》 (英語).