數學 에서 順序雙 (順序雙, 英語 : ordered pair )이란 두 個의 數學的 對象 을 順序를 定하여 짝지어 나타낸 雙이다. 두 對象 a , b 로부터 順序를 생각하여 만든 雙을 흔히 ( a , b )로 적는다. 이는 a 와 b 가 같지 않는 限, ( b , a )와 다른 順序雙이다. 順序雙은 2-튜플 , 또는 두짝 ( 英語 : 2-tuple )이라고도 불린다. 順序雙 ( a , b )에서의 a , b 를 各各 첫 番째, 두 番째 成分 ( 英語 : first (second) entry )이라고 한다. 때로는 첫 番째, 두 番째 座標 ( 英語 : first (second) coordinate )라고도 한다.

두 順序雙이 같을 必要充分條件 銀, 두 順序雙의 첫째와 둘째 成分이 各各 같은 것이다. 集合論 에서는 이 性質을 具現하기 위해 ( a , b ) := {{ a }, { a , b }}와 같은 定義를 자주 使用한다.

順序雙의 成分은 스칼라 이거나(2 次元 벡터 ), 다른 順序雙日 수 있다. 이로써, 順序雙을 利用해 順序있는 n-튜플 을 歸納的으로 定義하는 것이 可能하다. 例를 들어, 順序雙 ( a , b , c )는 ( a , ( b , c ))로 定義할 수 있다.

곱集合 , 函數 를 비롯한 二項關係 와 같은 數學 槪念은 順序雙을 利用하여 定義되었다.

性質 [ 編輯 ]

順序雙의 가장 基本的인 性質은, 두 順序雙이 같을 必要充分條件이 두 成分이 各各 같은 것이라는 것이다. 卽,

${\displaystyle (a,b)=(c,d)\ \iff \ a=c\wedge b=d}$

이러한 性質을 順序雙을 定義내리는 데에 使用할 수 있다.

첫 番째 成分을 集合 ${\displaystyle A}$, 두 番째 成分을 集合 ${\displaystyle B}$에서 醉한 모든 順序雙의 集合을 곱集合 이라고 하고 ${\displaystyle A\times B}$로 表記한다. 集合 ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$ 사이의 關係 는 ${\displaystyle A\times B}$의 部分集合 이다.

順序雙의 通常的인 表記法은 ${\displaystyle (a,b)}$ 꼴이지만, 開區間 等의 表記와 混同하지 않기 爲해 ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$로 나타내기도 한다.

集合論的 定義 [ 編輯 ]

順序雙의 位 性質은 順序雙의 本質을 보여주고 있다. 이 本質的인 性質을 공리 로 두어 順序雙을 無定義 用語 로 取扱할 수 있다. 이는 니콜라 부르바키 團體의 1954年 出刊된 《集合論》에서 使用된 處理法이다. 1970年 出刊된 2 판에서 쿠라토프스키 의 正義가 追加되었다.

數學基礎論 의 一員인 功利的 集合論 에서는 모든 槪念을 集合으로서 定義한다. ^{[1] [2]} 順序雙의 集合論的 正義의 例로는 다음의 것들이 있다.

위너의 正義 [ 編輯 ]

順序雙의 最初 集合論的 定義는 1914年 盧버트 위너 에 依해 提案되었다. ^[3]

${\displaystyle (a,\,b):=\{\{\{a\},\,\emptyset \},\,\{\{b\}\}\}}$

그에 依하면 이러한 定義는 《 數學 原理 》의 모든 類型 을 集合으로 定義될 수 있게 한다. (《數學 原理》의 關係 를 비롯한 類型들은 本來 모두 定義내리지 않는 遠視 槪念 이다.)

그는 正義와 類型 理論 이 兩立하게 하기 위해(즉, 集合의 元素가 모두 같은 類型이어야 한다), ${\displaystyle \{b\}}$가 아닌 ${\displaystyle \{\{b\}\}}$를 使用하였다, 이렇게 하면 ${\displaystyle \{\{b\}\}}$는 ${\displaystyle \{\{a\},\,\emptyset \}}$와 같은 類型이 된다.

하우스도르프의 正義 [ 編輯 ]

위너와 비슷한 時期에(1914), 펠릭스 하우스도르프 는 다른 定義를 提案하였다.

${\displaystyle (a,\,b):=\{\{a,\,1\},\,\{b,\,2\}\}}$

여기서 1, 2(1 ≠ 2)는 a , b 와 다른 對象이다. ^[3]

쿠라토프스키의 正義 [ 編輯 ]

오늘날에 쓰이는 正義는 카地미에시 쿠라토프스키 가 1912年에 提示하였다. ^{[3] [4]}

${\displaystyle (a,\ b)_{K}=\{\{a\},\ \{a,\ b\}\}}$

이 定義는 두 成分이 같은 境遇에 쓰여도 無妨하다.

${\displaystyle (x,\ x)_{K}=\{\{x\},\ \{x,\ x\}=\{\{x\},\ \{x\}\}=\{\{x\}\}}$

任意의 順序雙 ${\displaystyle p}$의 첫 番째 成分은 다음 條件들의 同齒性 에 依해 抽出할 수 있다.

• ${\displaystyle a}$는 順序雙 ${\displaystyle p}$의 첫 番째 成分이다.
• ${\displaystyle \forall Y\in p:a\in Y}$
• ${\displaystyle a=\bigcup \bigcap p}$

비슷한 結論이 두 番째 成分에 對해서도 存在한다.

• ${\displaystyle b}$는 順序雙 ${\displaystyle p}$의 두 番째 成分이다.
• ${\displaystyle (\exists Y\in p:b\in Y)\wedge (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:(Y_{1}\neq Y_{2})\rightarrow (b\notin Y_{1}\vee b\notin Y_{2}))}$
• ${\displaystyle b=\bigcup \{x\in \bigcup p|\bigcup p\neq \bigcap p\rightarrow x\notin \bigcup p\}}$

變形 正義 [ 編輯 ]

위 定義는 順序雙의 基本 性質을 反映하기에 充分하다, 卽 ${\displaystyle (a,\,b)=(x,\,y)\leftrightarrow (a=x)\wedge (b=y)}$. 順序性을 反映하는 데에도 充分하다, 卽 ${\displaystyle a\neq b\rightarrow (a,\,b)\neq (b,\,a)}$. 아래의 비슷한 定義들도 順序雙을 構成하기에 充分하다.

• ${\displaystyle (a,\,b)_{\text{reverse}}:=\{\{b\},\,\{a,\,b\}\}}$
• ${\displaystyle (a,\,b)_{\text{short}}:=\{a,\,\{a,\,b\}\}}$
• ${\displaystyle (a,\,b)_{01}:=\{\{0,\,a\},\,\{1,\,b\}\}}$^[5]

reverse 定義는 쿠라토프스키의 正義의 自明한 變形이며, 따로 論할 價値가 없다. short 定義는 括弧 를 두 雙만 使用한다는 點에서 이름을 땄다. short 定義는 몇가지 缺點을 가진다. 첫째, 基本 性質을 만족함을 證明하기 위해 체르멜로-프렝켈 集合論 의 正則性 公理 를 使用해야 한다. 둘째, 自然數 의 폰 노이만 正義 를 採用했을 때, ${\displaystyle 2=\{0,\,1\}=\{0,\,\{0\}\}=(0,\,0)_{\text{short}}}$와 같은 부자연스러운 結果를 낳는다. 셋째, short 順序雙의 元素는 恒常 類型이 다르다. 그러나 short 正義에서의 順序雙은 모두 2를 旗手로 한다는 點, 또 미자르 시스템 의 基礎인 타르스키-그로텐디크 集合論 에서 使用된다는 點에 注意할 必要 있다.

基本 性質 成立 證明 [ 編輯 ]

다음은 ${\displaystyle (a,b)=(c,d)\iff a=c\wedge b=d}$ 性質의 證明이다.

• 쿠라토프스키
  1. 먼저, ${\displaystyle a=c\wedge b=d}$裏面,

     ${\displaystyle (a,b)_{K}=\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}=(c,d)_{K}}$

  2. 또한

     ${\displaystyle {\begin{array}{cl}&(a,b)_{K}=(c,d)_{K}\\\Rightarrow &\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}\\\Rightarrow &(\{a\}=\{c\})\vee (\{a\}=\{c,d\})\\\Rightarrow &(a=c)\vee (c=a\wedge d=a)\\\Rightarrow &a=c\\\end{array}}}$

  3. 그리고

     ${\displaystyle {\begin{array}{cl}&(a,b)_{K}=(c,d)_{K}\\\Rightarrow &\bigcup (a,b)_{K}=\bigcup (c,d)_{K}\\\Rightarrow &\{a,b\}=\{a,d\}\\\Rightarrow &(b=a\vee b=d)\wedge (d=a\vee d=b)\\\Rightarrow &(b=d)\vee (b=a\wedge d=a)\\\Rightarrow &b=d\\\end{array}}}$

• reverse 定義도 위와 비슷하게 基本 性質을 滿足한다는 것을 보일 수 있다.
• short 正義. 아래에서 ${\displaystyle (*)}$ 表記를 한 過程은 正則性 公理 를 使用하였다. ^[6]
  1. ${\displaystyle a=c\wedge b=d\Rightarrow \{a,\{a,b\}\}=\{c,\{c,d\}\}\Rightarrow (a,b)_{\text{short}}=(c,d)_{\text{short}}}$
  2. 順序雙의 같음 ⇒ a = c

     ${\displaystyle {\begin{array}{clc}&(a,b)_{\text{short}}=(c,d)_{\text{short}}&\\\Rightarrow &\{a,\{a,b\}\}=\{c,\{c,d\}\}&\\\Rightarrow &(a=c\ \vee \ a=\{c,d\})\ \wedge \ (c=a\ \vee \ c=\{a,b\})&\\\Rightarrow &(a=c)\ \vee \ (a=\{c,d\}\ \wedge \ c=\{a,b\})&\\\Rightarrow &(a=c)\ \vee \ (c\in a\ \wedge \ a\in c)&\\\Rightarrow &a=c&(*)\\\end{array}}}$

  3. 順序雙의 같음 ⇒ b = d

     ${\displaystyle {\begin{array}{clc}&(a,b)_{\text{short}}=(c,d)_{\text{short}}&\\\Rightarrow &\{a,\{a,b\}\}=\{a,\{a,d\}\}&\\\Rightarrow &a\cup \{a,b\}=a\cup \{a,d\}&\\\Rightarrow &(b\in a\ \vee \ b=a\ \vee \ b=d)\ \wedge \ (d\in a\ \vee \ d=a\ \vee \ d=b)&\\\Rightarrow &(b=a\ \vee \ b=d)\ \wedge \ (d=a\ \vee \ d=b)&(*)\\\Rightarrow &(b=d)\ \vee \ (b=a\ \wedge \ d=a)&\\\Rightarrow &b=d&\\\end{array}}}$

콰인-로서의 正義 [ 編輯 ]

1953年 로서 는 콰인 의 正義를 擴張하였다. 로서-콰인 定義는 自然數 의 先決的 正義를 必要로 한다. ${\displaystyle \mathbb {N} }$을 自然數의 集合으로 두고, ${\displaystyle x\setminus \mathbb {N} }$을 ${\displaystyle \mathbb {N} }$에 屬하지 않는 ${\displaystyle x}$의 元素들의 集合 이라고 하자. 먼저 函數 ${\displaystyle \varphi }$를 定義한다.

${\displaystyle \varphi (x)=(x\setminus \mathbb {N} )\cup \{n+1:n\in (x\cap \mathbb {N} )\}}$

이 變換은 ${\displaystyle x}$ 안의 모든 自然數를 1 增加시킨다. 또한 ${\displaystyle \varphi (x)}$는 0을 包含하지 않는다. 그러므로 모든 集合 ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$에 對해 다음이 成立한다.

${\displaystyle \varphi (x)\neq \{0\}\cup \varphi (y)}$

이제 順序雙 ${\displaystyle (A,B)}$를 定義한다.

${\displaystyle (A,B)=\{\varphi (a):a\in A\}\cup \{0\cup \varphi (b):b\in B\}}$

이렇게 定義된 順序雙에서도 첫째, 둘째 成分을 抽出할 수 있다. 첫째 成分 ${\displaystyle A}$는 順序雙의 元素 中, 0을 元素로 包含하지 않는 모든 集合들에 ${\displaystyle \varphi }$ 變換을 벗겨서 이루어진 集合이다. 둘째 成分 ${\displaystyle B}$는 順序雙의 元素 中, 0을 元素로 包含하는 모든 集合들에 適當한 變換을 加하여 이루어진 集合이다. 아래는 이의 公式化이다.

${\displaystyle A=\{\varphi ^{-1}(\alpha ):\alpha \in (A,B),0\notin \alpha \}}$

${\displaystyle B=\{\varphi ^{-1}(\beta \setminus \{0\}):\beta \in (A,B),0\in \beta \}}$

類型 理論 과 그의 갈래( 새基礎 集合論 等)에서, 콰인-로서 順序雙은 두 成分과 類型이 같다. 그렇기에 이 定義는 (一定 條件을 滿足하는 順序雙들로 이루어진 集合으로 定義된) 函數 가 變數보다 類型이 1 만큼만 크다는 長點이 있다. 이 定義는 自然數 集合이 無限할 때만 意味가 있다. NF 는 그러하지만, 類型 理論이나 NFU 는 그렇지 않다. 로서는 이러한 두 成分과 類型이 같은 順序雙의 存在性으로부터 無限 공리 를 類推할 수 있음을 證明하였다.

모스의 定義 [ 編輯 ]

모스-켈리 集合論 에서는 固有 모임 을 자유로이 使用할 수 있다. 모스 의 正義는 順序雙의 成分이 固有 모임일 수도 있게끔한다. 이는 쿠라토프스키 正義에서 許容되지 않는다. 그는 于先 集合을 成分으로 하는 順序雙을 쿠라토프스키의 方式으로 定義한 뒤, 順序雙을 다음과 같이 再定義하였다.

${\displaystyle (x,y)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))}$

여기서의 곱集合은 쿠라토프스키 順序雙의 集合이고,

${\displaystyle s(x)=\{\emptyset \}\cup \{\{t\}:t\in x\}}$

이다.

이는 固有 모임을 成分으로 하는 順序雙을 許容케 한다. 이는 위의 콰인-로서 定義도 마찬가지이다. 이와 비슷하게 歲짝 ( 英語 : 3-tuple, triple )을 다음과 같이 定義할 수 있다.

${\displaystyle (x,y,z)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))\cup (\{2\}\times s(z))}$

한元素 集合 으로 이루어진 集合 ${\displaystyle s(x)}$의 使用하여 定義한 튜플 은 一種의 唯一性을 附與받는다. 卽, 任意의 n -튜플 a 와 m -튜플 b 에 對해, 萬若 a = b 裏面, n = m 이다. 이는 順序雙을 利用해 再歸的으로 定義한 튜플에게는 없는 性質이다, ( a , b , c ) = ( a , ( b , c ))는 2-튜플이기도, 3-튜플이기도 하다.

範疇論 [ 編輯 ]

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같이 보기 [ 編輯 ]

• 튜플
• 곱 ^[6] 集合
• 二項關係
• 函數

各州 [ 編輯 ]