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數學 에서 無限 集合 (無限集合, 英語 : infinite set )은 元素의 個數가 無限히 많은 集合 으로, 元素의 個數가 有限한 有限 集合 이 아닌 모든 集合이다. 無限 集合은 크게 加算 無限 集合 과 非加算 集合 으로 나눌 수 있다.

正義 [ 編輯 ]

嚴密한 定義로는 集合 ${\displaystyle A}$의 適當한 眞部分 集合 ${\displaystyle S}$가 存在해, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle S}$ 사이의 一對一 對應 이 存在하면 ${\displaystyle A}$를 無限 集合이라 한다.

選擇 公理 를 追加한 체르멜로-프렝켈 集合論 에서는 集合 ${\displaystyle S}$에 對하여 다음 條件들이 서로 同治 이며, 이를 만족시키는 集合을 無限 集合 이라고 한다.

• ${\displaystyle S}$는 두 個 以上의 元素를 가지며, ${\displaystyle S}$와 ${\displaystyle S^{2}}$ 사이에 全單射 函數 가 存在한다.
• ${\displaystyle S}$와 그 眞部分 集合 ${\displaystyle T\subsetneq S}$ 사이에 全單射 函數 가 存在한다.
• 丹沙 函數 이지만 戰死 函數 가 아닌 函數 ${\displaystyle S\to S}$가 存在한다.
• 戰死 函數 이지만 丹沙 函數 가 아닌 函數 ${\displaystyle S\to S}$가 存在한다.
• 丹沙 函數 ${\displaystyle \mathbb {N} \to S}$가 存在한다.
• 戰死 函數 ${\displaystyle S\to \mathbb {N} }$이 存在한다.

萬若 選擇 公理 를 假定하지 않으면, 이 條件들 가운데 一部는 童穉이지 않을 수 있다.

性質 [ 編輯 ]

任意의 集合 ${\displaystyle S}$에 對하여, 다음 條件들이 서로 同治 이다.

• ${\displaystyle S}$는 無限 集合이다.
• ${\displaystyle S^{2}}$는 無限 集合이다.
• 冪集合 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$는 無限 集合이다.

無限 공리 를 除外한 체르멜로-프렝켈 集合論 에서는 無限 集合의 存在를 證明할 수 없다. 卽, 無限 공리의 存在를 보이려면 無限 공리 가 必要하다.

예 [ 編輯 ]

自然數 의 集合 · 精髓 의 集合 · 有理數 의 集合은 加算 無限 集合 이다. 失手 의 集合 · 複素數 의 集合은 非加算 集合 이다.

分類 [ 編輯 ]

• 無限 集合
  • 加算 無限 集合
    • 自然數의 集合
    • 整數의 集合
    • 有理數의 集合
  • 非加算 無限 集合
    • 實數의 集合
    • 複素數의 集合

같이 보기 [ 編輯 ]

• 알레프 수
• 有限 集合

外部 링크 [ 編輯 ]

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Infinite set” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• “Infinite set” . 《nLab》 (英語).  

이 글은 數學에 關한 토막글 입니다. 여러분의 知識으로 알차게 文書를 完成해 갑시다.