數理物理學 에서 민코프스키 時空間 ( 英語 : Minkowski spacetime )은 아인슈타인 의 特殊 相對性 理論 을 잘 記述하는 時空間 의 數學的 모델이다. 이 空間에서는 一般的인 3次元 空間(場所)과 1次元의 時間 이 서로 組合되어 時空間 의 4次元 多樣體 를 表現하여 幾何學的으로 統合된 觀點으로 다룬다. 數學에서 민코프스키 空間 ( 英語 : Minkowski space )은 扇形 空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$에 特定한 雙線形 形式
${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$
가 주어진 數學的 構造 ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{4},\eta )}$이다. 또한 簡單한 준 리만 多樣體 의 例示이기도 하다.

이 空間의 이름은 이 空間을 導入한 獨逸의 數學者 헤르만 민코프스키 에서 따왔다.

4次元 유클리드 空間과 민코프스키 空間은 모두 4次元 空間이지만, 두 空間에 주어진 거리 가 다르다.(민코프스키 空間에 주어진 距離는 事實 거리의 性質을 모두 가지지는 않는다.) 민코프스키 空間은 物理的으로 物體들이 움직이는 空間으로 解釋되는 3次元과 物理的으로 時間으로 解釋되는 次元을 하나 가지고 있다. 이 두 次元은 物理學的으로 다른 意味를 가진다. 유클리드 空間의 對稱軍 은 유클리드 軍 , 민코프스키 空間의 對稱軍은 푸앵카레 軍 에 屬한다.

歷史 [ 編輯 ]

1907年 獨逸 數學者 헤르만 민코프스키 가 導入하였다. ^[1] 처음에는 電磁氣學 의 맥스웰 方程式 에 어울리는 背景을 만들고자 硏究를 始作하였으나, 特殊 相對性 理論이 알려지면서 민코프스키는 自身의 硏究成果가 特殊 相對性 理論을 가장 잘 形式化하는 일임을 깨달았다. 이는 偶然의 一致는 아닌데, 왜냐면 特殊 相對性 理論 自體가 맥스웰 方程式 과 갈릴레이 變換 의 不協和音을 解消하고자 하는 바람에서 硏究되었고 決定的 端緖들을 提供했기 때문이다.

민코프스키 는 時間과 空間(場所)를 따로 보는 觀念은 그림자처럼 사라지고 時空間 統一體 만이 獨立的 實體로 남을 것이라고 하였다. ^[2] 時間과 場所를 幾何學的으로 密接하게 統合한 最初의 事例이자 時空間 의 (비 유클리드)幾何學 이라는 話頭를 던짐으로써 物理學的 패러다임 轉換을 이뤄내었고 人類가 時空間에 對한 더 깊은 理解를 하도록 이끌었다.

또한 數學者들이 비 유클리드 幾何學 을 만든지 約 100年 동안 數學밖에서 아무런 聯關이 없었는데, 민코프스키 空間 은 비 유클리드 幾何學 이 最初로 數學이 아닌 곳과 깊은 聯關性을 보인 事例이기도 하다.

민코프스키의 業績이 알려지기 始作하였을 때 알베르트 아인슈타인 은 論文을 통해 公式的으로 懷疑的 視角을 드러내었고, 不必要한 博識함 이라고 無視하기도 했다. ^[3] 그러나 一般 相對性 理論 을 硏究하면서 민코프스키의 幾何學的 接近이 必須的임을 깨닫게 되었다고 한다. 實際로, 一般相對性 理論 에서 時空間 은 휘어진 민코프스키 時空間으로 본다.

救助 [ 編輯 ]

민코프스키 空間은 計量 釜戶首 가 ${\displaystyle (-,+,+,+)}$人 非退化 雙線形 形式 이 갖추어진 4次元 失手 벡터 空間 이다. (間或, (+,?,?,?)를 釜戶首로 使用하기도 한다.) 바꿔 말하면, 민코프스키 空間은 k = 3人 4次元 類似 유클리드 空間 이다. 記號로는 計量 釜戶首를 强調하기 위해 R ^1,3 으로 나타낸다. 또한, M ⁴ 또는 簡單히 M 으로 表記하기도 한다.

민코프스키 空間의 元素는 事件 또는 四次元 벡터 라고 불린다. 민코프스키 空間은 준 리만 多樣體 中 가장 簡單한 例 中의 하나이다.

민코프스키 內的 [ 編輯 ]

이 內的은 유클리드 空間의 內的 과 비슷하지만 민코프스키 空間의 相對性理論 과 關聯된 다른 幾何學을 記述하기 위해 다른 點이 있다. M 을 4次元 失手 벡터 空間 理라 하자. 민코프스키 內的은 다음과 같은 性質을 滿足하는 思想 η: M × M → R 이다. (卽, 주어진 空間 M 의 任意의 두 벡터 v , w 에 對해 失手를 주는 函數 η( v , w )를 定義할 수 있다.)

任意의 失手 a와 민코프스키 空間의 벡터 u , v , w 에 對해,

민코프스키 內的은 羊의 정부호 가 아니기 때문에, 嚴密히 말하면 內的이 아니다. 卽, 벡터 v 의 민코프스키 노름 은 || v || ² = η( v , v )로 表現은 하지만, 恒常 양수일 必要는 없다. 李 孃의 정부호 條件은 조금 더 弱한 條件인 비겹砧聲으로 代替될 수 있다. (모든 羊의 정부호 形態는 비겹침이지만, 驛은 거짓이다.) 이러한 內的은 否定( indefinite )이라고 한다.

유클리드 空間 에서처럼, 두 벡터 v , w 가 η( v , w ) = 0 을 滿足하면 두 벡터는 直交 하다라고 한다. 여기에는 민코프스키 空間의 패러다임의 轉換 이 들어있는데, η( v , w ) < 0 인 쌍곡적 直交 인 事件들이 그것이다. 이 새로운 패러다임으로의 轉換은 一般的인 複素平面 의 유클리드 構造와 分割 複素數 의 構造가 比較 되면서 明白해졌다.

민코프스키 空間에서 單位 벡터 는 η( v , v ) = ±1 을 滿足하는 벡터 v 를 말한다. 또한, 相互的으로 直交人 單位벡터로 構成된 민코프스키 空間의 基底는 正規 直交 基底 라 불린다.

다음과 같은 整理가 있다 : 위 條件을 滿足하는 아무 內的 空間 이나 恒常 正規 直交 基底 를 가진다. 게다가 이 整理는 어떤 基底에서 量의 單位벡터와 音의 單位 벡터의 數는 固定되어 있음을 말한다. 이 數의 짝을 內的의 釜戶首 라 한다.

그러면, ${\displaystyle \eta }$에 對한 네 番째 條件은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

標準 基底 [ 編輯 ]

민코프스키 空間의 標準 基底 는 相互的으로 直交人 다음과 같은 4個의 벡터( ${\displaystyle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$)이다.

${\displaystyle -(\mathbf {e} _{0})^{2}=(\mathbf {e} _{1})^{2}=(\mathbf {e} _{2})^{2}=(\mathbf {e} _{3})^{2}=1}$

이 條件은 다음과 같이 簡單히 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \langle \mathbf {e} _{\mu },\mathbf {e} _{\nu }\rangle =\eta _{\mu \nu }}$

여기서 ${\displaystyle \mu ,\nu }$는 (0, 1, 2, 3)中 하나의 數字를 갖는 인덱스를 뜻하고 行列 ${\displaystyle \eta }$은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

이 標準 基底를 使用해 벡터 ${\displaystyle \mathbf {v} }$의 成分은 普通 ${\displaystyle (v_{0},v_{1},v_{2},v_{3})}$로 쓴다. 또한, 아인슈타인 表記法 을 使用하면 簡單히 이 成分들을 ${\displaystyle \mathbf {v} =v^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }}$로 나타낼 수 있다. 成分 ${\displaystyle v^{0}}$는 ${\displaystyle \mathbf {v} }$의 時間的 成分 이라고 말하고, 나머지 3個의 成分은 空間的 成分 이라 말한다.

成分을 使用해 두 벡터 ${\displaystyle \mathbf {v,w} }$의 민코프스키 內的을 表現하면 다음과 같다. 中間部分에는 아인슈타인 表記法 이 使用되었다.

${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\eta _{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }=-v^{0}w^{0}+v^{1}w^{1}+v^{2}w^{2}+v^{3}w^{3}}$

벡터 ${\displaystyle \mathbf {v} }$의 민코프스키 노름에 제곱을 取한것도 다음과 같이 成分으로 나타낸다.

${\displaystyle ||\mathbf {v} ||^{2}=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }=-v^{0}v^{0}+v^{1}v^{1}+v^{2}v^{2}+v^{3}v^{3}}$

各州 [ 編輯 ]

같이 보기 [ 編輯 ]

• 特殊 相對性 理論
• 因果 構造
• 막스 플랑크 의 플랑크 壁 (Planck wall)
• 준 리만 多樣體
• 헤르만 민코프스키
• 時空間 臺數
• 複素 時空間