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物理 宇宙論
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分類 天文學 포털
v t e

르메트르-톨먼 計量 (Lemaitre-Tolman metric)은 르메트르-톨먼-본디 計量 (Lemaitre-Tolman-Bondi metric) 또는 톨먼 計量 이라고도 하는데, 物理學에서 아인슈타인 腸 方程式의 嚴密해 에 기초하는 로런츠 計量 의 하나이다. 이 해에 依해서 均質 하지 않은 等方性 膨脹 또는 收縮하는 宇宙 가 說明되므로, ^{[1] [2]} 宇宙論 에서 宇宙 膨脹 을 모델링하기 위해 標準 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 計量 의 代案으로 使用되기도 한다. ^{[3] [4] [5]} 또한 宇宙의 加速 膨脹 을 說明하기 위해 物質의 프랙탈 分布를 갖는 宇宙를 모델링하는 데에도 使用되었다. ^[6]

이 해는 1933年 조르주 르메트르 ^[7] 와 1934年 리처드 톨먼 에 依해 最初로 救해졌는데, ^[1] 그 後 1947年 헤르만 본디 에 依해 硏究되었다. ^[8]

詳細 [ 編輯 ]

一般 相對性理論
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$
槪論 歷史 數學的 公式化 ( 槪論 ) 檢證
基礎 槪念 等價原理 特需相對論 世界線 리만 幾何學
關聯 現象 케플러 問題 重力렌즈 重力波 틀 끌림 測地效果 事件의 地平線 特異點 블랙홀 時空間 施工도 민코프스키 空間 아인슈타인?로젠 다리 半 더시터르 空間
方程式 形式 方程式 重力 線形化 아인슈타인 方程式 프리드만 方程式 測地 마티손?파파페트로禹?딕슨 方程式 해밀턴?야코비?아인슈타인 方程式 形式化 ADM BSSN PPN 高級 學說 칼累差?클레인 理論 兩者重力 아인슈타인-카르탕 理論
해 슈바르츠실트 라이스너?노르드스트룀 괴델 커 커?뉴먼 카스너 르메트르?톨먼 타브-넛 밀런 로버트슨?워커 pp-波動 판 스토쿰 먼지
學者 아인슈타인 로런츠 힐베르트 푸앵카레 카르탕 슈바르츠실트 더 시터르 라이스너 노르드스트룀 바일 에딩턴 프리드만 밀른 츠비키 르메트르 괴델 휠러 로버트슨 바딘 워커 커 찬드라세카르 엘러스 펜로즈 호킹 라이車우드후리 테일러 헐스 판 스토쿰 타우브 뉴먼 야우 손 그 外
物理學 포털     分類: 一般 相對性理論
v t e

${\displaystyle g_{00}=1}$ 그리고 ${\displaystyle g_{0\alpha }=0}$人 動機된 基準系에서 時間 座標 ${\displaystyle x^{0}=t}$ ( ${\displaystyle G=c=1}$ 로 設定됨) 亦是 固有 時間 ${\displaystyle \tau ={\sqrt {g_{00}}}x^{0}}$ 이고, 모든 支店의 時計는 同期化 될 수 있다. 壓力이 0人 먼지와 같은 媒體의 境遇, 먼지 粒子는 測地線을 따라 자유롭게 移動하므로 動機된 프레임은 4가지 速度의 構成 要素 ${\displaystyle u^{i}=dx^{i}/ds}$ 가 ${\displaystyle u^{0}=1,\,u^{\alpha }=0}$ 로 되는 공邊 프레임이기도 하다.

腸 方程式의 해는 ^[9] 아래와 같이,

${\displaystyle ds^{2}=d\tau ^{2}-e^{\lambda (\tau ,R)}dR^{2}-r^{2}(\tau ,R)(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})}$

인데, 여기서 ${\displaystyle r}$ 은 半徑이 ${\displaystyle r}$ 人 球의 表面的이 ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$ 이 된다는 意味에서 '半徑' 또는 ' 광도 거리 '이며, ${\displaystyle R}$ 은 라그랑誌안 座標로 解釋되며 ${\displaystyle 1+f>0}$ 그리고 ${\displaystyle F>0}$ 人 條件 下에서

${\displaystyle e^{\lambda }={\frac {r'^{2}}{1+f(R)}},\quad \left({\frac {\partial r}{\partial \tau }}\right)^{2}=f(R)+{\frac {F(R)}{r}},\quad 4\pi r^{2}\rho ={\frac {F'(R)}{2r'}}}$

이 된다. 여기서 ${\displaystyle f(R)}$ 및 ${\displaystyle F(R)}$ 은 任意의 函數이고 ${\displaystyle \rho }$ 는 物質의 密度이다.

또한 ${\displaystyle F'>0}$ 그리고 ${\displaystyle r'>0}$ 를 假定하면 이러한 運動 中에 物質 粒子가 交叉하는 境遇가 除外된다. 粒子 各各에는 ${\displaystyle R}$, 函數 ${\displaystyle r(\tau ,R)}$가 주어지고, 그 時間 微分에 依하여 그 運動 法則과 放射 方向의 速度가 주어진다. 위에서 說明한 해의 흥미로운 特徵으로는 ${\displaystyle f(R)}$ 및 ${\displaystyle F(R)}$ 이 ${\displaystyle R}$의 函數로 都市되면, ${\displaystyle R\in [0,R_{0}]}$ 範圍에서 圖示된 이러한 函數의 形態가 ${\displaystyle R>R_{0}}$ 에서 都市되는 函數의 模樣과 無關하다는 點이다 . 이러한 豫測은 뉴턴의 理論과 明確히 類似하다.

여기서 ${\displaystyle R=R_{0}}$ 人 區의 內部 總 質量은

${\displaystyle m=4\pi \int _{0}^{r(\tau ,R_{0})}\rho r^{2}dr=4\pi \int _{0}^{R_{0}}\rho r'r^{2}dR={\frac {F(R_{0})}{2}}}$

이 되는데, 이 式은 슈바르츠실트 半徑 이 ${\displaystyle r_{s}=2m=F(R_{0})}$ 로 주어진다는 것을 意味한다.

函數 ${\displaystyle r(\tau ,R)}$ 은 積分에 依하여 求할 수도 있는데, 媒介變數 ${\displaystyle \eta }$ 를 가지는 媒介變數 形式으로는 아래의 세 가지의 해,

${\displaystyle f>0:~~~~~~~~r={\frac {F}{2f}}(\cosh \eta -1),\quad \tau _{0}-\tau ={\frac {F}{2f^{3/2}}}(\sinh \eta -\eta ),}$

${\displaystyle f<0:~~~~~~~~r={\frac {F}{-2f}}(1-\cosh \eta ),\quad \tau _{0}-\tau ={\frac {F}{2(-f)^{3/2}}}(\eta -\sinh \eta )}$

${\displaystyle f=0:~~~~~~~~r=\left({\frac {9F}{4}}\right)^{1/3}(\tau _{0}-\tau )^{2/3}}$

가 可能한데, 여기서 ${\displaystyle \tau _{0}(R)}$ 가 또 다른 任意의 函數로 登場한다. 그러나 우리는 中心 對稱의 物質 分布가 最大 두 가지 函數, 卽 密度 分布와 物質의 지름方向 速度로 說明될 수 있다는 것을 알고 있는데, 이는 세 가지 函數 ${\displaystyle f,F,\tau _{0}}$ 中에서 單 2個만이 獨立이라는 것을 意味한다. 事實 라그랑誌 座標 ${\displaystyle R}$ 을 特別히 選擇하지 않았고 如前히 任意의 變換을 適用할 수 있으므로, 두個의 函數만이 任意的이라는 것을 알 수 있다. ^[10] 먼지와 같은 媒體의 境遇에는 ${\displaystyle r=r(\tau )}$ 그리고 獨立的인 ${\displaystyle R}$이 되는 또다른 해가 있지만, 이러한 해는 有限한 物體의 崩壞에 該當하지는 않는다. ^[11]

슈바르츠실트 해 [ 編輯 ]

${\displaystyle F=r_{s}=}$ const. 裏面, ${\displaystyle \rho =0}$ 가 되고, 따라서 해는 中央에 點 質量이 있는 빈 空間에 該當한다. 追加로 ${\displaystyle f=0}$ 그리고 ${\displaystyle \tau _{0}=R}$로 限定하면, 이 해는 르메트르 座標로 表現된 슈바르츠실트 해 로 還元된다.

重力崩壞 [ 編輯 ]

重力 崩壞는 ${\displaystyle \tau }$ 가 ${\displaystyle \tau _{0}'>0}$이면서 ${\displaystyle \tau _{0}(R)}$ 에 到達하면 發生한다. ${\displaystyle \tau =\tau _{0}(R)}$ 일 때는 라그랑주 座標 ${\displaystyle R}$로 標示되는 物質의 中心點 到達에 該當한다. ${\displaystyle \tau \rightarrow \tau _{0}(R)}$ 가 되면 세 가지의 모든 境遇에서 그 漸近적 擧動은 아래와 같이

${\displaystyle r\approx \left({\frac {9F}{4}}\right)^{1/3}(\tau _{0}-\tau )^{2/3},\quad e^{\lambda /2}\approx \left({\frac {2F}{3}}\right)^{1/3}{\frac {\tau _{0}'}{\sqrt {1+f}}}(\tau _{0}-\tau )^{-1/3},\quad 4\pi \rho \approx {\frac {F'}{3F\tau _{0}'(\tau _{0}-\tau )}}}$

로 주어지며, 여기서 처음 두 關係式은 공邊界에서 모든 지름方向의 거리가 無限大에 가까워지는 傾向이 있고 接線 距離가 ${\displaystyle \tau -\tau _{0}}$ 처럼 0에 接近한다는 것을 나타낸다. 反面에 세 番째 關係式은 物質 密度가 ${\displaystyle 1/(\tau _{0}-\tau )}$와 같이 增加함을 보여준다. ${\displaystyle \tau _{0}(R)=}$ 常數이어서 모든 物質 粒子의 崩壞 時間이 同一한 특별한 境遇에는, 그 漸近적 擧動은 相異하여,

${\displaystyle r\approx \left({\frac {9F}{3}}\right)^{1/3}(\tau _{0}-\tau )^{2/3},\quad e^{\lambda /2}\approx \left({\frac {2}{3}}\right)^{1/3}{\frac {F'}{2F^{2/3}{\sqrt {1+f}}}}(\tau _{0}-\tau )^{2/3},\quad 4\pi \rho \approx {\frac {2}{3(\tau _{0}-\tau )^{2}}}}$

로 된다.

여기서 接線 거리와 지름 距離 모두 ${\displaystyle (\tau _{0}-\tau )^{2/3}}$와 같이 0이 되는데, 反面에 物質 密度는 ${\displaystyle 1/(\tau _{0}-\tau )^{2}}$ 와 같이 增加하게 된다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 르메트르 座標
• 一般 相對性 理論의 數學 入門
• 스트레스-에너지 텐서
• 計量 텐서 (一般 相對性 理論)
• 相對論的 角運動量
• 不均一 宇宙論

參考 資料 [ 編輯 ]