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槪念과 歷史
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게임理論 (game theory)은 相互 依存的이고 理性的인 意思決定 에 關한 數學的 理論이다. 個人 또는 企業이 어떠한 行爲를 했을 때, 그 結果가 게임에서와 같이 自身뿐만 아니라 다른 參加者의 行動에 依해서도 決定되는 狀況에서, 自身의 最大 利益에 符合하는 行動을 追求한다는 數學的 理論을 硏究한다.

게임(game)이란 效用 極大化를 追求하는 行爲者들이 일정한 戰略을 가지고 最高의 補償을 얻기 위해 벌이는 行爲를 말한다. 게임 理論은 社會 科學 , 特히 經濟學 에서 活用되는 應用 數學 의 한 分野이며, 生物學 , 政治學 , 컴퓨터 科學 , 哲學 에서도 많이 使用된다. 게임理論은 參加者들이 相互作用하면서 變化해 가는 狀況을 理解하는 데 도움을 주고, 그 相互作用이 어떻게 展開될 것인지, 每 瞬間 어떻게 行動하는 것이 더 利得이 되는지를 數學的으로 分析해 준다. ^[1]

槪要 [ 編輯 ]

歷史 [ 編輯 ]

葛藤과 對立의 戰略的 側面을 硏究했던 人物로 1921年 보렐 硏究가 있지만, 그 理論的인 基礎는 폰 노이만 (John von Neumann)에 依해 達成되었다. 노이만은 1928年 에 論文 等의 理論 構築을 試圖했지만, 이 時點에서의 理論은 아직 數學的으로도 難解하고, 用途도 理解하기 어려운 것이었다. 그러나 오스카 모르겐슈테른 (Oskar Morgenstern)李 게임 理論의 重要性을 看破하고 共同으로 硏究를 進行하여, 《게임 理論과 經濟 行動》( Theory of Games and Economic Behavior , 1944)을 노이만과 共同으로 發表했다. 이 硏究는 노이만이 理論的인 部分의 大部分을 擔當하고, 經濟 分析의 大部分은 모르겐슈테른이 擔當했다고 한다. 이 硏究는 經濟 狀況에서 紛爭 狀態에 있는 여러 主體와 利害 關係, 不完全한 情報, 合理的인 決定은 偶然히 같은 要素의 存在에 對한 分析에서 始作되어 實際 情勢는 理論的으로 確立할 수 있는 게임 모델이 되었다. 同時에 이 硏究에서 노이만에 依해 미니맥스 原理 (미니맥스 法)가 證明된 것으로 게임 理論은 應用 數學 領域으로 明確히 자리를 잡았다. 이 게임 理論이 처음 適用된 戰爭은 第2次 世界 大戰이었다. 노이만에게 배운 존 츄키는 게임 理論에 確率論을 導入하여 最小의 損失로 遂行할 수 있는 戰略 爆擊 計劃을 美軍에 助言했다.

그 後 이 理論은 1950年代 많은 學者들에 依해 廣範圍하게 硏究되었으며, 1970年代에는 自然選擇 에 依한 種의 鎭火 를 包含한 動物의 行動硏究에 適用되었다. 이제 게임理論은 多樣한 分野에서 重要한 硏究 道具로 널리 認識되고 있다. 8名의 게임理論學者들이 노벨 經濟學賞 을 受賞했으며, 존 메이나드 스미스(John Maynard Smith)는 生物學에 게임理論을 適用해 Crafoord Prize을 受賞했다.

이 理論은 한 個人의 戰略的 狀況(自身의 意思決定 에 依한 成功이 다른 사람의 選擇에 依存的인 狀況)에서의 行動을 數學的으로 說明하고자 한다. 처음에는 제로섬 게임 (zero sum game, 한 個人이 다른 사람의 利益을 빼앗는 狀況)에서의 競爭을 分析하기 위해 開發되었으나, 只今은 다양한 條件의 廣範圍한 相互 作用을 다룰 수 있도록 擴張되었다. 오늘날 게임理論은 社會科學의 理性的인 部分을 다루는 마치 雨傘처럼 드리워진 統合된 理論으로 社會라는 것을 더 擴張하여 人間뿐 아니라 컴퓨터, 動植物의 相互作用(interaction)까지 包括하고 있다. ^[2]

傳統的인 게임理論의 應用은 게임에서의 均衡點(各 個體들이 自身의 行動을 바꾸지 않는 戰略들의 集合)을 찾는 것이다. 이러한 아이디어를 바탕으로 많은 均衡槪念 들이 開發되었다. 이 中 內侍 均衡 (Nash equilibrium)李 가장 有名하다. 이런 均衡槪念은 重複되거나 비슷하기도 하지만, 適用되는 分野에 따라 相異하게 發展되어 왔다. 이런 方法論은 批判도 없지 않고, 特定 均衡槪念의 適切性이나 全體 均衡槪念들의 適切性, 더 一般的으로는 數學 모델들의 有用性에 對한 討論이 아직도 이어지고 있다.

게임의 形態 [ 編輯 ]

게임理論에서 硏究하는 게임들은 잘 定義된 數學的 客體들이다. 하나의 게임은 몇 名의 參加者(行爲者, actor)와 參加者들이 할 수 있는 行動들(前略, strategy), 그리고 戰略들의 組合에 따라 받게 되는 參加者들의 補償(payoff)으로 構成된다. 大部分의 協調的 게임들은 特性函數型(characteristic function form)으로 表現되는 反面, 展開型 (extensive form)과 一般型 (normal form)은 非協調的인 게임을 定義하는 데 使用된다.

展開型 [ 編輯 ]

展開型은 順序가 있는 게임을 定型化하는 데 使用된다. 이런 게임들은 種種 옆의 그림처럼 (거꾸로 된) 나무 模樣으로 表現된다. 여기서 各 點(노드)는 한 參與者의 選擇의 地點을 나타낸다. 各 參與者는 點 위에 標示된 數字로 區分된다. 點에서 뻗어나오는 線들은 點에 있는 參與者가 할 수 있는 行動들을 나타낸다. 補償은 나무의 아래쪽에 標示된다.

이 그림의 게임에서는 두 名의 參與者가 있다. 參與者1이 먼저 움직일 수 있고, F와 U 中에 한 가지를 選擇할 수 있다. 參與者2는 參與者1의 行動을 보고 A와 R 中에 하나를 選擇할 수 있다. 參與者1이 U를 選擇하고, 參與者2街 A를 選擇한다면 參與者1은 8點을 얻고, 參與者2는 2點을 얻는다는 表示이다.

이러한 展開形態는 不充分한 情報를 가진 게임이나 同時에 움직이는 게임에도 適用할 수 있다. 이를 위해 點線을 서로 다른 點(노드)를 連結하여 같은 情報( 게임 參與者들은 서로 어느 點에 있는지 알지 못하는)에서 게임하는 것을 뜻한다. (아니면 閉曲線으로 둘러 그린다.)

一般型 [ 編輯 ]

一般型 게임

	參加者2 왼쪽 選擇	參加者2 오른쪽 選擇
參加者1 위쪽 選擇	4 , 3	-1 , -1
參加者1 아래쪽 選擇	0 , 0	3 , 4

戰略型 게임(一般型 게임)은 主로 옆의 表와 같이 參加者들과 戰略, 補償을 表示하는 매트릭스로 表現된다. 여기에는 各 行動들의 可能한 組合에 相應하는 各 參加者의 補償이 連結된다.

옆의 例에서는 두 名의 參加者가 있고, 한 사람은 行을, 다른 사람은 열에서 選擇할 수 있다. 各 參加者는 두個의 戰略을 가질 수 있고, 各各은 行과 熱을 數를 決定한다. 補償은 箱子 안쪽에 記錄되며, 첫 番째 數字는 行의 參加者(여기서는 參加者1)가 받는 補償을 나타내고, 두 番째 數字는 熱意 參加者(參加者2)가 얻는 補償을 나타낸다. 萬若 參加者1이 위쪽을 選擇하고, 參加者2街 왼쪽을 選擇했다면 參加者1이 얻는 補償은 4點이 되고, 參加者2의 補償은 3點이 된다.

一般型 게임은 主로 同時게임(모든 參加者들이 同時에 行動하는 게임)이거나 적어도 다른 사람의 行動을 모르는 狀況에서 펼쳐지는 게임을 表現한다. 萬若 한 參加者가 다른 게임 參與者의 選擇에 對해 조금이라도 情報를 가지게 된다면 이 게임은 主로 展開型(extensive)으로 表現된다.

特性函數型 [ 編輯 ]

移轉 可能한 效用 이 있는 協調的 게임에서는 各 個人들에게는 어떤 補償도 주어지지 않는다. 代身 特性函數가 各 聯合의 補償을 決定하게 된다. 基本 家庭은 빈 聯合은 0의 補償을 얻는다는 것이다.

이 形態의 起源은 協力的 一般型 게임을 硏究했던 폰 노이만(von Neumann)과 모르겐스턴(Morgenstern)의 冊에 나오는데, 어떤 聯合 C가 形成되면, 마치 2個의 參加者가 있는 게임처럼 聯合 ${\displaystyle C}$가 補完的인 聯合( ${\displaystyle N\setminus C}$)에 對抗해 行動한다고 假定했다. 이때 聯合 ${\displaystyle C}$의 均衡 保守는 어떤 特性을 갖는다(characteristic) . 只今은 모든 特性函數型 게임들을 一般型 게임으로부터 派生할 수 있다.

이를 式으로 表現하면 特性 機能 形態 게임은 짝 ${\displaystyle (N,v)}$ 로 주어지고 여기서 ${\displaystyle N}$은 게임參與者들의 集合과 ${\displaystyle v:2^{N}\longrightarrow \mathbb {R} }$를 特性機能으로 가진다. 特性 機能 形態는 移轉 可能한 效用의 推定 없이도 게임을 一般化 시킬 수 있다.

分割函數兄 [ 編輯 ]

特性函數型은 聯合 形成에서의 外形影響을 無視한다. 分割函受刑에서는 聯合의 保守가 聯合의 構成員에 依해 決定될 뿐만 아니라 參加者들의 나머지들이 分割되는 方式에도 影響을 받게 된다. ^[3]

게임의 類型 [ 編輯 ]

協調的 게임과 非協調的 게임 [ 編輯 ]

萬若 게임 參與者들이 拘束力 있는 約束을 맺을 수 있다면 그 게임을 協調的 理라 한다. 例를 들어 法的 規制가 參與者들이 반드시 約束을 지키도록 要求하는 境遇다. 非協調的 게임에서는 이것이 可能하지 않다.

協調的 게임에서는 種種 參與者 間의 意思疏通이 許容된다. 그러나 非協調的 게임에서는 許容되지 않는다.

제로섬과 넌-제로섬 [ 編輯 ]

• 제로섬 게임 (Zero-sum game) :‘게임理論’ 가운데 제로섬 게임(zero-sum game) 理論이라는 것이 있다. 두 사람이 얻는 利益의 合(sum)李 0이 되기에 제로섬 게임이라고 한다. 제로섬 게임 下에서는 두 사람이 게임을 할 때 한 사람이 게임에 이겨서 하나를 얻으면(+1) 다른 한 사람은 必然的으로 하나를 잃게 된다(-1).

흔히 볼 수 있는 제로 섬 게임으로는 ‘ 가위바위보 게임’이 있는데, 게임을 하는 두 名中 한名이 이기면 다른 사람은 반드시 질 수밖에 없다. (無勝負인 境遇는 게임이 끝난 것이 아니므로 둘 다 無勝負 일 境遇는 除外한다.)

兩쪽의 利益의 合이 0이 되는 게임 理論 ’이라는 辭典的 定義는 나름대로 어렵지만 競爭이라는 것이 大槪 그렇듯이 한쪽이 얻으면 다른 한쪽은 잃게 되는 悲劇的인 境遇를 우리 周邊에서 너무나 많이 볼 수 있다.

• 넌 제로섬 게임 (Non-Zerosum game) : 넌 제로섬 게임이란, 말 그대로 合이 0이 되지 않는 게임을 이야기 한다. 위에서 말한 제로섬 게임은 이미 주어져 있는 것을 어떻게 나누느냐의 問題이다.

例를 들어, 엄청나게 倍加고픈 동생과 누나가 오늘 아침食事로 먹을 빵이 10個를 分配한다고 假定하자. 제로섬에서는 이 10個만을 가지고 서로가 協商을 進行하게 된다.

주어진 量은 10個 인데, 이 以上의 量은 絶對 안되고 서로의 效用치는 各各 7個 씩이라고 한다면 누군가는 分配의 過程에서 損害를 볼 수밖에 없다. 누나가 7個를 먹게 되면 동생은 3個를 먹어 4個가 不足하고, 동생이 7個를 먹게 되면 누나는 4個를 덜먹어서 배가 고프게 된다. 이 境遇 누나는 동생보다 4個를 利得보게 되고 동생은 누나보다 4個의 損失을 입게 되는 結果가 招來된다. 結局 둘의 利益과 損害의 合은 0街 된다.

하지만 논 제로섬 게임은 다르다. 애初에 주어져 있던 빵의 크기가 協商을 통해서 더 커질 수도 있고, 더 작아지게 될 수도 있다. 위의 家庭과 同一한데, 이것을 한가지더 追加해보자. 只今 오븐에선 빵이 10個가 더 구워지고 있다. 그리고 10分만 기다리게 되면 그 빵은 다 굽혀져서 나오게 된다고 하자(갓구운 빵과 그렇지 않은 빵의 效用은 同一하다고 하자). 이 境遇 동생과 누나는 좀 더 柔軟한 協商을 할 수 있다. 둘中 누군가가 놀부心보를 부리지 않는 以上, 서로 自身의 效用水準인 7個를 超過하는 輛의 빵을 가질 수 있기 때문이다. 이처럼 利益과 損失의 合이 0이 되지 않는 狀況을 바로 넌제路섬 게임이라고 한다. 代表的인 例로 罪囚의 딜레마 를 들 수 있다.

對稱的 게임과 非對稱的 게임 [ 編輯 ]

對稱的 게임

	X	Y
X	a , a	b , c
Y	c , b	a , a

• 對稱的 게임 (Symmetric Game)

對稱的 게임이란 特定 戰略에 對한 報酬가 다른 사람의 行動이 아닌 다른 戰略에 依해 決定되는 것을 말한다. 對稱的 게임에서는 參加者의 位置를 바꿨을 때 戰略에 對한 保守가 바뀌지 않는다. 罪囚의 딜레마 , 치킨 게임 等은 對稱的 게임의 代表的인 例이다.

非對稱的 게임

	X	Y
X	1 , 2	0 , 0
Y	0 , 0	1 , 2

• 非對稱的 게임 (Asymmetric Game)

大部分의 非對稱的 게임에는 參加者들에게 同一한 戰略이 주어지지 않는다. 例를 들어 最後通牒 게임 과 獨裁者 게임 에서 參加者는 相對方에 對한 各自 다른 戰略을 갖는다. 그러나 옆의 表에서 보는 바와 같이 非對稱的 게임에서도 同一한 戰略이 適用될 수 있다.

同時的 게임과 順次的 게임 [ 編輯 ]

同時的 게임 (Simultaneous Game)은 參加者들이 同時에 行動하거나, 同時에 施行하지 않더라도 後者가 前者의 選擇을 모르고 行動하는 것이다. 反對로, 順次的 게임 (Sequential Game)에서는 後者가 前者의 選擇에 對한 情報를 갖고서 選擇하는데, 이 때 情報는 電子의 行動에 對한 完全 情報 (Perfect information)가 아닐 수도 있다. 다시 말해 後者는 前者에 對한 조금의 情報를 갖고 있다. 例를 들어, 後者는 前者가 특정한 行動을 取했는 지에 對한 與否를 알 수는 있지만, 前者가 어떤 行動을 取했는지는 알 수 없다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 罪囚의 딜레마
• 치킨 게임
• 合理的 選擇 理論
• 제로섬 게임
• 鎭火게임理論

參照 [ 編輯 ]