微分幾何學 에서 리만 多樣體 (Riemann多樣體, 英語 : Riemannian manifold )는 各 點의 椄空間 위에 羊의 정부호 雙線形 形式 이 주어져, 두 點 사이의 距離를 測定할 수 있는 매끄러운 多樣體 이다. 이 構造를 리만 計量 (Riemann計量, 英語 : Riemannian metric )이라고 하며, 이를 使用하여 多樣體 위에서 平行 運送 · 角度 · 길이 · 부피 · 曲率 따위의 幾何學的 槪念들을 定義할 수 있다. 리만 多樣體와 關聯된 構造를 硏究하는 微分幾何學 의 分野를 리만 幾何學 (Riemann幾何學, 英語 : Riemannian geometry )이라고 한다.

正義 [ 編輯 ]

${\displaystyle n}$次元 매끄러운 多樣體 ${\displaystyle M}$ 위에 공邊椄多發 ${\displaystyle T^{*}M}$의 2次 對稱勝 ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}T^{*}M}$ 벡터 다발 을 생각하자. 이는 접다발의 對稱勝 ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}TM}$의 雙대 다발 과 같다. 이 벡터 다발은 ${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle n(n+1)/2}$次元 벡터 다발 이다.

${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}T^{*}M}$의 매끄러운 斷面 은 ${\displaystyle M}$의 各 點 ${\displaystyle x\in M}$에서의 椄空間 ${\displaystyle T_{x}M}$ 위에 雙線形 形式 을 定義한다. ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}TM}$은 ${\displaystyle (TM)^{\otimes 2}}$의 몫空間 이므로, 그 雙대 다발 人 ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}T^{*}M}$은 ${\displaystyle (T^{*}M)^{\otimes 2}}$의 部分 空間 이 된다. 따라서 ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}T^{*}M}$의 매끄러운 斷面 은 ${\displaystyle M}$ 위의 (0,2)- 텐署長 ( ${\displaystyle (T^{*}M)^{\otimes 2}}$의 매끄러운 斷面 )으로 생각할 수 있다.

${\displaystyle M}$ 위의, ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}T^{*}M}$의 매끄러운 斷面 ${\displaystyle g\in \Gamma (\operatorname {Sym} ^{2}T^{*}M)}$가 다음 條件을 만족시킨다면, ${\displaystyle g}$를 ${\displaystyle M}$ 위의 리만 計量 (Riemann計量, 英語 : Riemannian metric )이라고 한다.

• ( 羊의 정부호 性) 任意의 ${\displaystyle x\in M}$ 및 ${\displaystyle X\in T_{x}M}$에 對하여, 萬若 ${\displaystyle X\neq 0}$이라면 ${\displaystyle g(X,X)>0}$

리만 計量을 갖춘 매끄러운 多樣體 ${\displaystyle (M,g)}$를 리만 多樣體 라고 한다.

두 리만 多樣體 ${\displaystyle (M,g_{M})}$, ${\displaystyle (N,g_{N})}$ 사이의 等距離 變換 ( 英語 : isometric map )은 다음 條件을 만족시키는 매끄러운 函數 ${\displaystyle f\colon M\to N}$이다.

• 任意의 ${\displaystyle x\in M}$ 및 ${\displaystyle X,Y\in T_{x}M}$에 對하여, ${\displaystyle g_{N}(df(X),df(Y))=g_{M}(X,Y)}$

여기서 ${\displaystyle df(X)\in T_{f(x)}N}$는 ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle f}$에 對한 밂 이다.

性質 [ 編輯 ]

모든 매끄러운 多樣體 에는 里만 多樣體의 構造를 줄 수 있다. 勿論, 이는 標準的이지 않다.

유클리드 空間으로의 賣場 [ 編輯 ]

內侍 賣場 整理 ( 英語 : Nash embedding theorem )에 따라, 모든 連結 리만 多樣體는 充分히 높은 次元의 유클리드 空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$으로의 等距離 賣場 을 갖는다. 卽, 里만 多樣體는 內在的으로 定義하는 代身 恒常 外在的으로 유클리드 空間 의 部分 空間으로 여길 수 있다. 勿論, 리만 多樣體 自體의 데이터는 유클리드 空間으로의 賣場을 包含하지 않는다.

거리 [ 編輯 ]

連結 리만 多樣體 위에는 自然스럽게 距離 空間 의 構造가 주어진다. [모든 ( 하우스도르프 爬羅콤팩트 ) 多樣體 는 거리化 可能 空間 이지만, 리만 計量과 같은 構造가 없다면 距離 函數를 標準的으로 定義할 수 없다.]

具體的으로, 連結 리만 多樣體 ${\displaystyle (M,g)}$ 위의 매끄러운 曲線

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to M}$

의 길이 는 다음과 같다.

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{0}^{1}{\sqrt {g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt\in [0,\infty )}$

曲線의 길이는 媒介變數化에 對하여 不變이다. 卽, 任意의 매끄러운 函數 ${\displaystyle s\colon [0,1]\to [0,1]}$에 對하여, ${\displaystyle L(\gamma \circ s)=L(\gamma )}$이다.

任意의 두 點 ${\displaystyle x,y\in M}$ 사이의 거리 ( 英語 : distance )는 두 點 사이를 잇는 曲線들의 길이들의 下限 이다.

${\displaystyle d(x,y)=\inf _{\gamma \colon [0,1]\to M}^{\gamma (0)=x,\;\gamma (1)=y}L(\gamma )}$

이는 거리 函數 의 條件들을 모두 만족시킴을 보일 수 있으며, 追加로 길이 距離 空間 을 이룬다.

連結 空間 이 아닌 里만 多樣體의 境遇, 各 連結 成分 위에 (有限한) 距離를 定義할 수 있지만, 서로 다른 連結 成分 위에 있는 두 點 사이의 距離는 無限大가 된다.

리만 幾何學에서는 다음과 같은 하이네-보렐 整理 가 成立한다. 連結 리만 多樣體 ${\displaystyle M}$에 對하여, 다음 두 條件이 서로 同治 이다.

• ${\displaystyle M}$은 콤팩트 空間 이다.
• ${\displaystyle M}$은 完備 距離 空間 이며, ( 距離 空間 으로서의) 지름 이 有限하다.

레비치비타 接續 [ 編輯 ]

리만 計量을 使用하여, 椄多發 위에 레비치비타 接續 이라는 아핀 接續 을 定義할 수 있다. 이는 다음 두 條件을 만족시키는 唯一한 接續이다.

• 벡터의 平行 運送 은 리만 計量에 對한 길이를 保存한다.
• 비틀림 이 0이다.

리만 多樣體의 리만 曲率 은 레비치비타 接續의 曲率이다. 리만 曲率 텐署長 을 縮約하여 리치 曲率 · 바일 曲率 · 스칼라 曲率 · 아인슈타인 텐서 를 定義할 수 있다.

測地線 [ 編輯 ]

리만 多樣體 ${\displaystyle (M,g)}$ 위에는 測地線 의 槪念을 定義할 수 있다. 測地線은 (媒介 變數化를 無視하면) 局所的으로 두 點 사이의 距離를 最少化하는 曲線이다.

예 [ 編輯 ]

유클리드 空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ · 初球 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ · 圓環面 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$은 모두 리만 多樣體를 이룬다.

反單純 里 軍 의 境遇, 킬링 形式 은 羊의 정부호 이므로 리만 計量을 이룬다. 따라서 反單純 리 軍의 境遇 標準的으로 里만 多樣體를 이룬다.

리만 多樣體 ${\displaystyle (M,g_{M})}$과 그 속의 沒入 된 部分 多樣體 ${\displaystyle \iota \colon N\hookrightarrow M}$가 주어졌다면, ${\displaystyle M}$ 위에 리만 計量을 다음과 같이 定義할 수 있다.

${\displaystyle g_{M}(X,Y)=g_{M}(d\iota (X),d\iota (Y))\qquad \forall x\in N,\;X,Y\in T_{x}N}$

여기서 ${\displaystyle d\iota (X)\in T_{\iota (x)}N}$는 ${\displaystyle X}$의 밂 이다. 따라서 ${\displaystyle (M,g_{M})}$은 리만 多樣體를 이룬다.

擴張 不可能 完備 多樣體 [ 編輯 ]

3次元 空間 속에, 다음과 같은 꼭짓點을 除去한 圓뿔 을 생각하자.

${\displaystyle \{(x,y,z)\colon x^{2}+y^{2}=z^{2},\;z>0\}}$

이는 擴張 不可能 리만 多樣體를 이룬다. (꼭짓點을 追加하면 特異點이 생기게 되어 리만 多樣體를 이루지 못한다.) 그러나 이는 完備 多樣體가 아니다. 꼭짓點을 向하는 測地線 은 有限한 時間 안에 꼭짓點에 到達하여, 더 以上 延長할 수 없게 된다.

參考 文獻 [ 編輯 ]

• Jost, Jurgen (2008). 《Riemannian geometry and geometric analysis》. Universitext (英語) 6板. Springer. doi : 10.1007/978-3-642-21298-7 . ISBN   978-3-642-21297-0 . ISSN   0172-5939 .  
• do Carmo, Manfredo Perdigao (1992). 《Riemannian geometry》 (英語). Francis Flaherty 驛. Birkhauser. ISBN   978-0-8176-3490-2 .  
• Berger, Marcel (2002). 《Riemannian geometry during the second half of the twentieth century》 . University Lecture Series (英語) 17 2板. American Mathematical Society. ISBN   978-0-8218-2052-0 .  
• Cheeger, Jeff ; Ebin, David G. (1975). 《Comparison theorems in Riemannian geometry》 (英語). American Mathematical Society. ISBN   978-0-8218-4417-5 .  
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). 《Riemannian geometry》. Universitext (英語) 3板. Springer.  
• Petersen, Peter (2006). 《Riemannian geometry》. Graduate Texts in Mathematics (英語) 171 . Springer. doi : 10.1007/978-0-387-29403-2 . ISBN   978-0-387-29246-5 . ISSN   0072-5285 .  
• Lee, John M. (1997). 《Riemannian manifolds: an introduction to curvature》 . Graduate Texts in Mathematics (英語) 176 . Springer. doi : 10.1007/b98852 . ISBN   978-0-387-98271-7 . ISSN   0072-5285 . 2015年 12月 8日에 原本 文書 에서 保存된 文書 . 2015年 12月 5日에 確認함 .  

같이 보기 [ 編輯 ]

• 준 리만 多樣體
• 핀瑟러 多樣體
• 매끄러운 多樣體
• 筆바인
• 라플라스-벨트라미 演算子
• 리만 曲率 텐서
• 홀로노미

外部 링크 [ 編輯 ]

• “Riemannian geometry” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Riemannian geometry in the large” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Riemannian manifold” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Riemannian space” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Riemannian metric” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Isometric immersion” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Nash theorems (in differential geometry)” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Riemannian geometry” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Riemannian manifold” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Riemannian metric” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Metric tensor” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• “Riemannian geometry” . 《nLab》 (英語).  
• “Riemannian manifold” . 《nLab》 (英語).  
• “Riemannian metric” . 《nLab》 (英語).  
• “Fundamental theorem of Riemannian geometry” . 《nLab》 (英語).  
• “Moduli space of Riemannian metrics” . 《nLab》 (英語).