數理物理學
에서
민코프스키 時空間
(
英語
:
Minkowski spacetime
)은
아인슈타인
의
特殊 相對性 理論
을 잘 記述하는
時空間
의 數學的 모델이다. 이 空間에서는 一般的인 3次元 空間(場所)과 1次元의
時間
이 서로 組合되어
時空間
의 4次元
多樣體
를 表現하여 幾何學的으로 統合된 觀點으로 다룬다. 數學에서
민코프스키 空間
(
英語
:
Minkowski space
)은
扇形 空間
에 特定한
雙線形 形式
가 주어진 數學的 構造
이다. 또한 簡單한
준 리만 多樣體
의 例示이기도 하다.
이 空間의 이름은 이 空間을 導入한 獨逸의 數學者
헤르만 민코프스키
에서 따왔다.
4次元 유클리드 空間과 민코프스키 空間은 모두 4次元 空間이지만, 두 空間에 주어진
거리
가 다르다.(민코프스키 空間에 주어진 距離는 事實 거리의 性質을 모두 가지지는 않는다.) 민코프스키 空間은 物理的으로 物體들이 움직이는 空間으로 解釋되는 3次元과 物理的으로 時間으로 解釋되는 次元을 하나 가지고 있다. 이 두 次元은 物理學的으로 다른 意味를 가진다. 유클리드 空間의
對稱軍
은
유클리드 軍
, 민코프스키 空間의 對稱軍은
푸앵카레 軍
에 屬한다.
歷史
[
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]
1907年 獨逸 數學者
헤르만 민코프스키
가 導入하였다.
[1]
처음에는
電磁氣學
의
맥스웰 方程式
에 어울리는 背景을 만들고자 硏究를 始作하였으나, 特殊 相對性 理論이 알려지면서 민코프스키는 自身의 硏究成果가 特殊 相對性 理論을 가장 잘 形式化하는 일임을 깨달았다. 이는 偶然의 一致는 아닌데, 왜냐면 特殊 相對性 理論 自體가
맥스웰 方程式
과
갈릴레이 變換
의 不協和音을 解消하고자 하는 바람에서 硏究되었고 決定的 端緖들을 提供했기 때문이다.
민코프스키
는 時間과 空間(場所)를 따로 보는 觀念은 그림자처럼 사라지고
時空間 統一體
만이 獨立的 實體로 남을 것이라고 하였다.
[2]
時間과 場所를 幾何學的으로 密接하게 統合한 最初의 事例이자
時空間
의 (비 유클리드)幾何學
이라는 話頭를 던짐으로써 物理學的 패러다임 轉換을 이뤄내었고 人類가 時空間에 對한 더 깊은 理解를 하도록 이끌었다.
또한 數學者들이
비 유클리드 幾何學
을 만든지 約 100年 동안 數學밖에서 아무런 聯關이 없었는데,
민코프스키 空間
은
비 유클리드 幾何學
이 最初로 數學이 아닌 곳과 깊은 聯關性을 보인 事例이기도 하다.
민코프스키의 業績이 알려지기 始作하였을 때
알베르트 아인슈타인
은 論文을 통해 公式的으로 懷疑的 視角을 드러내었고,
不必要한 博識함
이라고 無視하기도 했다.
[3]
그러나
一般 相對性 理論
을 硏究하면서 민코프스키의 幾何學的 接近이 必須的임을 깨닫게 되었다고 한다. 實際로,
一般相對性 理論
에서
時空間
은 휘어진 민코프스키 時空間으로 본다.
救助
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]
민코프스키 空間은
計量 釜戶首
가
人
非退化 雙線形 形式
이 갖추어진 4次元
失手
벡터 空間
이다. (間或, (+,?,?,?)를 釜戶首로 使用하기도 한다.) 바꿔 말하면, 민코프스키 空間은 k = 3人 4次元
類似 유클리드 空間
이다. 記號로는
計量 釜戶首를 强調하기 위해
R
1,3
으로 나타낸다. 또한,
M
4
또는 簡單히
M
으로 表記하기도 한다.
민코프스키 空間의 元素는
事件
또는
四次元 벡터
라고 불린다. 민코프스키 空間은
준 리만 多樣體
中 가장 簡單한 例 中의 하나이다.
민코프스키 內的
[
編輯
]
이 內的은 유클리드 空間의
內的
과 비슷하지만 민코프스키 空間의
相對性理論
과 關聯된 다른 幾何學을 記述하기 위해 다른 點이 있다.
M
을 4次元 失手
벡터 空間
理라 하자. 민코프스키 內的은 다음과 같은 性質을 滿足하는 思想 η:
M
×
M
→
R
이다. (卽, 주어진 空間
M
의 任意의 두 벡터
v
,
w
에 對해 失手를 주는 函數 η(
v
,
w
)를 定義할 수 있다.)
任意의 失手 a와 민코프스키 空間의 벡터
u
,
v
,
w
에 對해,
1.
|
雙線型性
|
η(
au
+
v
,
w
) =
a
η(
u
,
w
) + η(
v
,
w
)
|
2.
|
對稱性
|
η(
v
,
w
) = η(
w
,
v
)
|
3.
|
非겹沈性
|
η(
v
,
w
) = 0 이면
v
= 0.
|
민코프스키 內的은
羊의 정부호
가 아니기 때문에, 嚴密히 말하면 內的이 아니다. 卽, 벡터
v
의
민코프스키 노름
은 ||
v
||
2
= η(
v
,
v
)로 表現은 하지만, 恒常 양수일 必要는 없다. 李 孃의 정부호 條件은 조금 더 弱한 條件인 비겹砧聲으로 代替될 수 있다. (모든 羊의 정부호 形態는 비겹침이지만, 驛은 거짓이다.) 이러한 內的은 否定(
indefinite
)이라고 한다.
유클리드 空間
에서처럼, 두 벡터
v
,
w
가 η(
v
,
w
) = 0 을 滿足하면 두 벡터는
直交
하다라고 한다. 여기에는 민코프스키 空間의
패러다임의 轉換
이 들어있는데, η(
v
,
w
) < 0 인
쌍곡적 直交
인 事件들이 그것이다.
이 새로운 패러다임으로의 轉換은 一般的인
複素平面
의 유클리드 構造와
分割 複素數
의 構造가 比較 되면서 明白해졌다.
민코프스키 空間에서
單位 벡터
는 η(
v
,
v
) = ±1 을 滿足하는 벡터
v
를 말한다. 또한, 相互的으로 直交人 單位벡터로 構成된 민코프스키 空間의 基底는
正規 直交 基底
라 불린다.
다음과 같은 整理가 있다 : 위 條件을 滿足하는 아무
內的 空間
이나 恒常
正規 直交 基底
를 가진다.
게다가 이 整理는 어떤 基底에서 量의 單位벡터와 音의 單位 벡터의 數는 固定되어 있음을 말한다. 이 數의 짝을 內的의
釜戶首
라 한다.
그러면,
에 對한 네 番째 條件은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
4.
|
釜戶首
|
雙線形 形式
η 는
(-,+,+,+)
를 釜戶首로 갖는다.
|
標準 基底
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編輯
]
민코프스키 空間의 標準
基底
는 相互的으로 直交人 다음과 같은 4個의 벡터(
)이다.
이 條件은 다음과 같이 簡單히 나타낼 수 있다.
여기서
는 (0, 1, 2, 3)中 하나의 數字를 갖는 인덱스를 뜻하고 行列
은 다음과 같이 주어진다.
이 標準 基底를 使用해 벡터
의 成分은 普通
로 쓴다. 또한,
아인슈타인 表記法
을 使用하면 簡單히 이 成分들을
로 나타낼 수 있다. 成分
는
의
時間的 成分
이라고 말하고, 나머지 3個의 成分은
空間的 成分
이라 말한다.
成分을 使用해 두 벡터
의 민코프스키 內的을 表現하면 다음과 같다. 中間部分에는
아인슈타인 表記法
이 使用되었다.
벡터
의 민코프스키 노름에 제곱을 取한것도 다음과 같이 成分으로 나타낸다.
各州
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]
- ↑
Minkowski, Hermann (1907?1908), "Die Grundgleichungen fur die elektromagnetischen Vorgange in bewegten Korpern" [The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, Mathematisch-Physikalische Klasse: 53?111
- ↑
Minkowski, Hermann (1908?1909), "Raum und Zeit" [Space and Time], Physikalische Zeitschrift, 10: 75?88
- ↑
Space and Time (2011), translated by Fritz Lewertoff and Vesselin Petkov, in: Space and Time: Minkowski's papers on relativity (Minkowski Institute Press, Montreal 2012), pp. 39-55 Link:
http://minkowskiinstitute.org/mip/MinkowskiFreemiumMIP2012.pdf
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