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量子力學
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ 슈뢰딩거 方程式
槪論 數學的 公式化 歷史
背景 古典力學 初期 量子論 브라-켓 表記法 해밀토니言 干涉
基本 相補性 결어긋남 얽힘 에너지 準位 測定(measurement) 非局所性(nonlocality) 量子數 狀態(state) 重疊 Symmetry 터널링 不確定性 波動 函數 崩壞
實驗 벨 不等式 데이비슨-거머 二重슬릿 엘리추르?바이드만(Elitzur?Vaidman) 프랑크-헤르츠 레게트-가르그 不等式(Leggett?Garg inequality) 마하-젠더(Mach?Zehnder) 포퍼(Popper) 兩者 지우개(quantum eraser) 遲延選擇 슈뢰딩거의 고양이 슈테른-게를라흐 휠러의 遲延된 選擇(Wheeler's delayed-choice)
公式化 槪要 하이젠베르크 相互作用 描寫 行列 Phase-space 슈뢰딩거 合計 記錄(經路 積分)
方程式 디랙 클라인-고든 파울리(Pauli) 뤼드베리 슈뢰딩거
解釋 베이지안 整合的 歷史 코펜하겐 드 브로이-봄 앙상블 숨은 變數 局所的 多世界 客觀的 崩壞 兩者 論理 關係的 트랜잭션(transactional)
高級 主題 相對論的 量子力學 兩者章論 兩者 情報 科學 兩者 컴퓨팅(quantum computing) 兩者 카오스(quantum chaos) EPR 逆說 密度 行列 産卵 理論 量子統計力學 兩者 機械 學習(quantum machine learning)
科學者 아하로노프 Aharonov 벨 베테 블래킷 블로흐 봄 보어 보른 보스 드브로이 콤프턴 디랙 데이비슨 디바이 에렌페스트 아인슈타인 에버렛 포크 페르미 파인먼 글라우버 舊츠윌러 Gutzwiller 하이젠베르크 힐베르트 요르단 크라머르스 파울리 램 란다우 라우에 모즐리 밀리컨 誤너스 플랑크 라비 라만 뤼드베리 슈뢰딩거 시몬스 Simmons 조머펠트 폰 노이만 바일 빈 위그너 제이만 遮日링거
v t e

하이젠베르크 不確定性 原理 ( - 不確定性原理, 英語 : Heigenberg's uncertainty principle )는 量子力學 에서 맞바꿈 觀測可能量 (commuting observables)李 아닌 두 個의 觀測可能量 (observable)을 同時에 測定할 때, 둘 사이의 正確度에는 物理的 限界가 있다는 原理이다. ^{[1] [2]} 不確定性 原理는 量子力學에 對한 追加的인 家庭이 아니고 量子力學의 統計的 解釋 으로부터 얻어진 根本的인 結果이다. 하이젠베르크 의 不確定性 原理는 位置-運動量에 對한 不確定性 原理이며, 粒子의 位置와 運動量을 同時에 正確히 測定할 수 없다는 것을 뜻한다. 位置가 正確하게 測定될수록 運動量의 퍼짐(또는 不確定度)은 커지게 되고 反對로 運動量이 正確하게 測定될수록 位置의 不確定도는 커지게 된다.

하이젠베르크의 不確定性 原理를 數學的으로 表現하면 다음과 같다. 任意의 兩者狀態에서 位置의 平均에 對한 제곱平均제곱根 (RMS)偏差 (X의 標準偏差 )는

${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle (X-\langle X\rangle )^{2}\rangle }}}$

運動量의 平均에 對한 제곱平均제곱根 偏差 (P의 標準偏差)는

${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle (P-\langle P\rangle )^{2}\rangle }}}$

두 標準偏差의 곱은 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\hbar \over 2}}$

卽, 位置와 運動量의 標準偏差의 곱은 디랙 常數 의 折半보다 같거나 크다.

또한, 數學的으로 다음과 같이 說明할 수 있다: 푸리에 解析學 에서, 푸리에 變換 의 두 變數 사이에는 특정한 關係가 成立한다. 한便, 우리가 量子力學의 波動力學的 觀點을 採擇한다면, 波動函數의 變數를 여러 觀測可能量 들 中 하나로 設定할 수 있다. 그런데, 비 可換(non-commutation)인 두 觀測可能量들 ${\displaystyle x,x'}$을 變數로 하는 두 波動函數들 ${\displaystyle \psi (x),\psi (x')}$ 사이에는 푸리에 變換 關係가 成立하며, 그러면 自明하게 두 觀測可能量은 앞서 言及한 푸리에 變換의 두 變數 사이의 關係가 成立한다. 이 關係를 量子力學的으로 解釋하면 하이젠베르크 不確定性 原理가 된다. 이는 結局 이 原理는 푸리에 變換의 性質에 起因하므로, 하이젠베르크 不確定性 같은 性質은 量子力學에만 있는 것이 아니며, 푸리에 變換으로 說明되는 모든 現象에 다 있다는 뜻이다.

物理的 意味 [ 編輯 ]

不確定性의 原理의 物理的 意味를 解釋하는 데에는 여러 觀點이 있다. 아래는 基本的으로 量子力學의 코펜하겐 解釋 에 따라 不確定性 原理의 意味를 敍述한 것이다.

'不確定性 原理'란 粒子의 位置와 運動量을 同時에 正確히 알아낼 수 없고, 두 測定값의 不正確度를 日程 以下로 줄일 수 없다는 量子力學的 原理이다. 古典力學의 豫測과는 달리, 量子力學에서는 位置와 運動量이 同時에 確定的인 값을 가질 수 없으며 位置의 不確定性과 運動量의 不確定性이 플랑크常數 에 依해 制限되어 있다. 이는 粒子系로부터 同一한 測定의 過程을 여러 番 거친 統計 에 對한 陳述이지, 單純히 粒子系를 한番 測定하여 얻어지는 結果가 아니다. 兩者現象은 特定한 試圖에 依해 그때그때 얻어지는 結果物에 對한 豫測이 아니며, 여러 番의 觀察로부터 얻어지는 期待값 과 같은 統計的인 豫測만을 할 수 있다. 不確定性 原理는 이러한 兩者現象의 特性을 잘 보여주는 物理的인 原理이다.

不確定性 原理는 粒子의 位置와 運動量 關係에만 成立하는 것만이 아니라 量子力學의 一般的인 觀測에 適用될 수 있다. 兩者現象의 觀測量들은 演算子 에 依해 얻어지는데, 各 演算子들 사이에는 一般的으로 交換法則 이 成立하지 않는다. 交換法則이 成立하지 않는 두 演算子를 '交換(맞바꿈) 關係에 있지 않다'라고 말하기도 하는데, 이러한 두 演算子에 對해서는 不確定性 原理가 成立한다. 앞서 言及한 位置와 運動量은 交換關係 에 있지 않기 때문에 位置와 運動量의 測定은 不確定的인 것이다. 反面 3次元 空間에서의 位置와 運動量을 測定할 境遇엔, 다른 두 方向에서의 位置와 運動量은 서로 交換 可能한 關係이므로 그것들에 對해서는 不確定的이지 않게 (正確하게) 觀測할 수 있다. 例를 들어 데카르트 座標系에서의 觀測을 생각해보자. x軸 上의 位置를 測定하는 行爲는 x軸上의 運動量에 影響을 주지만, 이 觀測은 y軸과 z軸 上의 位置와 運動量 觀測에는 아무런 影響을 주지 않으며 모든 觀測에 不確定性은 存在하지 않는다. 萬若 처음의 結果가 實驗 誤差에 依한 것이었다면 x軸上의 位置와 y軸上의 運動量의 測定 亦是 제대로 이루어지지 않아야하는데 그렇지 않다는 部分이 바로 技術的 限界와 不確定性 原理가 區別되는 部分이다.

또한 不確定性 原理는 觀測 行爲의 順序가 觀測하고자 하는 狀態에 影響을 주는 兩者現象 의 特徵을 含蓄하고 있기도 하다. 交換關係에 있지 않은 두 演算子에 依한 觀測을 連續的으로 遂行하는 境遇, 卽 한番의 觀測을 遂行한 後 다른 觀測을 遂行할 때 두 觀測 順序를 바꾸면 各各은 다른 結果가 얻어지게 된다. 이것은 처음의 觀測에 依해 狀態가 變化하게 되어 다음 觀測에서는 처음과 같지 않은 狀態에 對해 測定을 遂行하기 때문에 發生하는 現象이다. 이렇게 初期 狀態가 觀測에 依해 다른 狀態로 바뀌는 것을 波動 函數 崩壞 ( wave function collapse )라고 말한다. 兩者 現象의 狀態는 波動函數로 表現되므로, 그 波動 函數가 變化했다는 것은 數學的 計算에 依해 前과 같은 觀測量을 얻을 수 없다는 것을 뜻한다.

歷史 [ 編輯 ]

1924年부터 코펜하겐 의 보어 硏究所에서 原子의 構造에 對해 硏究하던 베르너 하이젠베르크 는 1925年 5月, 問題를 單純化시켜 複雜한 水素原子가 아닌 假想敵인 調和 振動子 를 設定하여 自身의 생각을 具體化하고자 했다. 그는 調和 振動子에서 古典的인 茶酒機 體系에 相應하는 位置 座標를 푸리에 級數 로 展開하여 이에 對한 數學的인 形式化를 追求한 結果, 그가 試圖한 새로운 方法이 에너지 保存法則 을 滿足한다는 것을 證明하였다. 그리하여 마침내 1925年 6月, 休養地인 헬골란트 섬에서 最初로 兩者 現象에 對한 새로운 力學을 定立해냈다. 以後 하이젠베르크는 兩者 現象 內에서는 物理量들과 聯關시킨 數學的 對象 두 個를 함께 곱함으로써 얻어지는 答이 곱이 遂行되는 順序에 따라 結果가 달라지는 獨特한 特性을 發見했다. (現代的인 表現으로 바꾸어 말하면 여기서 말하는 物理量과 聯關된 數學的 對象은 演算子 이며, 두 演算子 사이에는 交換關係가 成立하지 않는다고 할 수 있다.) 이 數學的 特徵은 當時의 物理學者들에게 친숙하지 않았던 것이어서 쉽게 받아들여지진 않았고 하이젠베르크 自身 亦是 그것의 意味를 正確히 알 수 없었다. 이때 막스 보른 은 1925年 하이젠베르크의 論文에 담긴 比較換積 羊들이 數學者들 사이에서는 잘 알려진 行列 임을 認識할 수 있었고, 하이젠베르크의 硏究 內容을 파스쿠알 요르단 ( Pascual Jordan )과 함께 行列로 表現해내는데 成功했다. 그리하여 하이젠베르크가 定立한 새로운 力學은 行列力學 이라 命名되었다. 1926年 3月, 하이젠베르크는 行列力學의 比較換積 性質이 不確定性을 內包하고 있다는 것을 깨닫고(당시 닐스 보어 는 '不確定性'을 ' 相互補完性 '이라고 表現했다), 微視的인 自然 世界를 바라보는 새로운 觀點을 提示하고자 努力한 結果, 1927年 3月에 不確定性 原理를 發表하였다. ^[3]

後에 하이젠베르크는 自身이 不確定性 原理를 創案할 수 있었던 것은 알베르트 아인슈타인 의 影響을 받았기 때문이라고 回顧했다. 아인슈타인은 "觀察이란 現象과 그것에 關聯된 自然法則을 알고 있을 때만 意味가 있으며, 觀察할 수 있는 것이 무엇인지를 決定해주는 것이 理論이다."라고 말했는데, 하이젠베르크는 이러한 觀點下에 새로운 現象에 對한 硏究를 遂行한 結果 不確定性 原理에 對한 基本的인 着想을 할 수 있었다고 한다. (아이러니하게도 그러한 契機를 提供한 아인슈타인은 量子力學의 不確定性, 非決定論的인 特性을 매우 못마땅하게 생각했다.) 不確定性 原理에 對한 數學的인 論證을 完成한 하이젠베르크는 以後 思考 實驗 을 통하여 빛과 物質의 波動, 粒子의 二重性이 不確定性으로 連結된다는 것을 立證하려고 했다.

하이젠베르크의 1927年 論文은 ${\displaystyle \Delta x}$와 ${\displaystyle \Delta p}$가 무엇을 의미하는지 正確히 明示하지 않았고, 다음과 같은 形態였다.

${\displaystyle \Delta x\Delta p\gtrsim h}$.

같은 해 7月에 美國의 얼 케너드( Earle Hesse Kennard )가 오늘날과 같이 ${\displaystyle \Delta x}$와 ${\displaystyle \Delta p}$를 觀測可能量의 標準偏差로 定義하고, 오늘날과 같은 形態의 不等式

${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq \hbar /2}$

을 證明하였다. ^[4]

하이젠베르크의 顯微鏡 [ 編輯 ]

顯微鏡으로 粒子를 觀測하는 思考 實驗 人 하이젠베르크의 顯微鏡 ( Heisenberg's microscope )은 하이젠베르크가 不確定性의 原理를 說明하는데 使用했던 代表的인 方法이었다. 하이젠베르크는 顯微鏡 에 使用하는 빛의 波長이 짧을수록 像을 形成하는 解像度가 높다는 事實을 土臺로 原子 속 電子의 位置를 精密하게 測定하기 위해서는 觀測에 使用되는 빛은 감마선 程度여야 한다고 생각했다. 原子 속의 電子를 觀測하기 위해 감마선과 같이 짧은 波長 (높은 振動數)의 光子를 쏠 境遇 감마선 光子가 가진 運動量은 매우 커서 原子가 電子를 잡아두는 에너지를 超過한다. 따라서 이 境遇 電子의 位置는 正確히 觀測되지만, 光子는 前者에 큰 任意의 運動量을 傳達하므로 컴프턴 效果 에 依해 電子의 運動量은 不正確하게 測定된다. 反對로 電子를 觀測하기 위해 긴 波長(낮은 振動數)의 光子를 쏠 境遇 光子의 衝突이 電子의 運動量에 큰 影響을 주지 않지만, 電子에 依해 크게 散亂된 光子는 觀測者에게 電子의 位置를 正確히 傳達해 줄 수 없다. 위의 두 狀況에 依해, 電子의 位置와 運動量을 同時에 正確히 아는 것은 不可能하다.

誘導 過程 [ 編輯 ]

하이젠베르크의 不確定性 原理에 對한 發見的 論議 [ 編輯 ]

작은입자가 x軸 方向으로 놓인 幅이 a인 슬릿을 通過하는 境遇를 생각해보자. 이 境遇 x軸으로의 不確定性은 ${\displaystyle \triangle x}$가 된다. 이 粒子는 드브로이의 物質波 에 該當되는 波動의 性質을 가지고 있기 때문에 슬릿을 通過한 粒子의 波動은 回折하게 되고, ${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\lambda }{a}}}$인 곳에서 첫 番째 干涉무늬가 나타나게 된다. 이 境遇 電子가 發見될 確率은 回折된 波動函數의 제곱에 比例하기 때문에, 粒子의 確率的 分布가 折半刻印 ${\displaystyle \theta }$에 該當되는 領域 안으로 制限될 것을 意味한다. 따라서 運動量의 不確定도는 다음과 같다.

${\displaystyle \triangle p\approx p\sin \theta =p{\frac {\lambda }{a}}}$

이때 드브로이의 物質波 關係式으로부터 運動量 ${\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}}$이므로 位置와 運動量의 不確定도는 다음과 같다.

${\displaystyle \triangle x\triangle p\simeq h}$

이 過程은 一般的인 數學的 證明이 아니라, 位置와 運動量 不確定性이 어떻게 發生하는지 說明하는 發見的 論議(heuristic argument)이므로 그 結果는 定性的이다. 卽, 위 式의 右邊人 h는 數學的으로 嚴密한 불擴程度가 아니다.

一般化된 不確定性 原理 [ 編輯 ]

任意의 觀測量 A에 對한 分散 은 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi }\right\rangle }$

마찬가지로 觀測量 B의 分散은 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\left\langle {({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle }$

이에 對해 코시-슈바르츠 不等式 을 適用하면 다음의 式을 얻는다.

${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}=\left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi }\right\rangle \left\langle {({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle \geqslant \left|{\left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle }\right|^{2}}$

한便, 任意의 複素數 z는 複素數의 一般的인 性質에 依해 다음의 式이 恒常 成立한다.

${\displaystyle \left|z\right|^{2}=\left[{\operatorname {Re} (z)}\right]^{2}+\left[{\operatorname {Im} (z)}\right]^{2}\geqslant \left[{\operatorname {Im} (z)}\right]^{2}=\left[{{\frac {1}{2i}}(z-z^{*})}\right]^{2}}$

따라서 右邊의 ${\displaystyle \left|{\left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle }\right|^{2}}$에 위의 關係를 適用하면 다음과 같다.

${\displaystyle \left|{\left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |{\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle }\right|^{2}\geqslant \left({{\frac {1}{2i}}\left[{\left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle -\left\langle {({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi }\right\rangle }\right]}\right)^{2}}$

위 式 右邊의 括弧 안의 內的 을 計算하면 다음과 같다.

${\displaystyle \left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle }$

${\displaystyle =\left\langle {\Psi |({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle }$

${\displaystyle =\left\langle {\Psi |({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {A}}\left\langle B\right\rangle -{\hat {B}}\left\langle A\right\rangle +\left\langle A\right\rangle \left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle }$

${\displaystyle =\left\langle {\Psi |{\hat {A}}{\hat {B}}\left.\Psi \right\rangle -\left\langle B\right\rangle \left\langle \Psi \right.|{\hat {A}}\left.\Psi \right\rangle -\left\langle A\right\rangle \left\langle \Psi \right.|{\hat {B}}\left.\Psi \right\rangle +\left\langle A\right\rangle \left\langle B\right\rangle \left\langle \Psi \right.|\Psi }\right\rangle }$

${\displaystyle =\left\langle {{\hat {A}}{\hat {B}}}\right\rangle -\left\langle B\right\rangle \left\langle A\right\rangle -\left\langle A\right\rangle \left\langle B\right\rangle +\left\langle A\right\rangle \left\langle B\right\rangle }$

${\displaystyle =\left\langle {{\hat {A}}{\hat {B}}}\right\rangle -\left\langle A\right\rangle \left\langle B\right\rangle }$

마찬가지로,

${\displaystyle \left\langle {({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi }\right\rangle }$

${\displaystyle =\left\langle {{\hat {B}}{\hat {A}}}\right\rangle -\left\langle B\right\rangle \left\langle A\right\rangle }$

그러므로 不等式 括弧 안의 內的은 最終的으로 다음과 같이 表現된다.

${\displaystyle \left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle -\left\langle {({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi }\right\rangle =\left\langle {{\hat {A}}{\hat {B}}}\right\rangle -\left\langle {{\hat {B}}{\hat {A}}}\right\rangle }$

位 計算結果는 다음과 같이 두 演算子에 對한 交換子 表記法으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle [{{\hat {A}},{\text{ }}{\hat {B}}}]\equiv {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$

따라서 最終的으로 다음의 式을 얻게 된다.

${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geqslant \left({{\frac {1}{2i}}\left\langle {[{\hat {A}},{\text{ }}{\hat {B}}]}\right\rangle }\right)^{2}}$

이것이 一般化된 不確定性 原理이다.

여기서 ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$는 任意의 演算子이므로 交換子가 0이 아닌 두 演算子에 對해서는 不確定性 原理가 成立한다. 따라서 하이젠베르크의 位置-運動量 不確定性은 一般化된 不確定性의 特定한 例라고 할 수 있다.

位置-運動量 不確定性 原理 [ 編輯 ]

1次元(x軸) 空間 上에 存在하는 粒子의 位置와 運動量을 測定하는 境遇를 생각해보자. 量子力學에서 運動量을 測定하는 演算子는 다음과 같다.

${\displaystyle p=-{\hbar }{i}{\frac {d}{dx}}}$

位置와 運動量 演算子의 交換者는 다음의 過程을 통해 計算된다.

${\displaystyle [x,{\text{ }}p]f=(xp-px)f=-x{{\hbar }{i}{\frac {df}{dx}}}+{\hbar }{i}{\frac {d}{dx}}(xf)}$

${\displaystyle =-x{\hbar }{i}{\frac {df}{dx}}+\left(x{\hbar }{i}{\frac {df}{dx}}+{\hbar }{i}f\right)=i\hbar f}$

任意의 函數 f를 除去하면 位置-運動量 交換子를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \left[{x,{\text{ }}p}\right]=i\hbar }$

이것을 一般化된 不確定性 原理에 代入하면 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}\geqslant \left({{\frac {1}{2i}}i\hbar }\right)^{2}}$

兩邊에 제곱根을 取하면 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$

이것이 하이젠베르크의 位置-運動量 不確定性 原理이다.

位置-運動量 不確定性 原理의 補完 [ 編輯 ]

不確定性 原理는 量子力學에 對한 追加的인 家庭이 아니며 量子力學의 基本 家庭으로부터 誘導되는 하나의 結果이다. 하이젠베르크의 位置-運動量 不確定性에 對한 보다 嚴密한 展開로써 2003年 1月에 나고야 大學 의 오자와 마사나오 (小澤正直) 敎授는 測定의 限界, 測定 行爲에 依한 攪亂과 兩者 自體의 性質에 依한 兩者의 움직임을 嚴密하게 區別하는 式을 提案했다. ^{[5] [6] [7]} 本來의 하이젠베르크의 位置-運動量 不確定性

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geqslant {\hbar \over 2}}$

은 物理量 ${\displaystyle A}$와 그것을 測定하는 結果 演算子 ${\displaystyle O_{A}}$와의 差異에 對한 제곱平均제곱根 을 의미하는 ${\displaystyle \epsilon _{A}}$와 測定 途中의 ${\displaystyle A}$의 變化量(搖動)의 제곱平均제곱根 을 의미하는 ${\displaystyle \eta _{A}}$를 導入하면

${\displaystyle \epsilon _{x}\eta _{p}\geqslant {\hbar \over 2}}$

와 같게 되는데, 오자와는 보다 一般的인 位置-運動量 不確定性 原理의 補完式으로써 두 個의 項이 追加되는

${\displaystyle \epsilon _{x}\eta _{p}+\epsilon _{x}\sigma _{p}+\sigma _{x}\eta _{p}\geqslant {\hbar \over 2}}$

을 提示하였다. 이 式에 따르면 작은 兩者에 對하여 旣存의 位置-運動量 不確定性의 '測定의 限界'를 넘는 測定이 可能하게 된다.

이것은 以後 빈 工科 大學校 와 나고야 大學 의 共同 硏究에 依하여 特定 條件에서 놓인 中性子의 두 種類 스핀 값을 同時에 正確하게 測定하는 實驗으로써 證明되었으며, 2012年 1月 15日 《 네이쳐 피직스 》에 介在되었다. ^{[6] [7] [8] [9]}

에너지-時間 不確定性 原理 [ 編輯 ]

任意의 觀測量 ${\displaystyle Q(x,p,t)}$의 期待값을 時間에 對해 未分하면 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle Q\right\rangle ={\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi \mid {\hat {Q}}\Psi \right\rangle =\left\langle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\mid {\hat {Q}}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \mid {\frac {\partial {\hat {Q}}}{\partial t}}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \mid {\hat {Q}}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right\rangle }$

슈뢰딩거 方程式 을 適用하면

${\displaystyle i\hbar {\partial \Psi \over \partial t}={\hat {H}}\Psi }$

이므로 다음과 같은 結果를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle Q\right\rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle {\hat {H}}\Psi \mid {\hat {Q}}\Psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \Psi \mid {\hat {Q}}{\hat {H}}\Psi \right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {Q}}}{\partial t}}\right\rangle }$

${\displaystyle {\hat {H}}}$는 헤르미트이므로 ,

${\displaystyle \left\langle {\hat {H}}\Psi \mid {\hat {Q}}\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \mid {\hat {H}}{\hat {Q}}\Psi \right\rangle }$

따라서 任意의 觀測量 ${\displaystyle Q}$와 그것에 對한 演算子 ${\displaystyle {\hat {Q}}}$, 해밀토니안 ${\displaystyle {\hat {H}}}$ 사이에는 다음의 關係가 成立한다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle Q\right\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\left\langle {[{\hat {H}},{\text{ }}{\hat {Q}}]}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {Q}}}{\partial t}}\right\rangle }$

演算子 ${\displaystyle {\hat {Q}}}$가 時間에 無關하다고 假定하면 마지막 項은 0이 된다. 이제 위 式을 一般化된 不確定性 原理를 適用하면 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{H}^{2}\sigma _{Q}^{2}\geqslant \left({{\frac {1}{2i}}\left\langle {[{\hat {H}},{\text{ }}{\hat {Q}}]}\right\rangle }\right)^{2}=\left({{\frac {1}{2i}}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {d\left\langle Q\right\rangle }{dt}}}\right)^{2}=\left({\frac {\hbar }{2}}\right)^{2}\left({\frac {d\left\langle Q\right\rangle }{dt}}\right)^{2}}$

위 式의 兩邊에 제곱根을 取하면 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{H}\sigma _{Q}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}\left|{\frac {d\left\langle Q\right\rangle }{dt}}\right|}$

여기서 에너지와 時間을 다음과 같이 定義할 수 있다.

${\displaystyle \Delta E\equiv \sigma _{H}}$

${\displaystyle \Delta t\equiv {\frac {\sigma _{Q}}{\left|{d\left\langle Q\right\rangle /dt}\right|}}}$

따라서 다음의 關係式을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \Delta E\Delta t\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$

이 食餌 바로 에너지-時間의 不確定性 原理이다.

主要 反論 [ 編輯 ]

보어-아인슈타인 論爭 은 아인슈타인 이 當時 漸次 標準으로 받아들여지고 있던 量子力學의 코펜하겐 解釋에 對해 여러 次例에 걸쳐 異議를 提起하고, 이에 對해 닐스 보어가 反駁한 事件을 말한다. 代表的으로 제5차(1927년) 솔베 會議 에서 言及된 '아인슈타인의 슬릿'과 第6次(1930年) 솔베 會議 에서 言及된 '아인슈타인의 박스'가 不確定性原理에 對한 代表的인 反論이다.

또한 量子力學의 測定에 對해 問題를 提起한 精巧한 事故實驗人 'EPR 逆說'(1935年)이 있다.

아인슈타인의 슬릿 [ 編輯 ]

'아인슈타인의 슬릿'은 아인슈타인의 思考實驗으로서, 그 內容을 要約하면 다음과 같다.

粒子가 좁은 슬릿을 通過하는 境遇, 슬릿을 通過한 粒子는 슬릿의 幅에 反比例하는 運動量의 不確定性을 갖게 된다. 하지만 粒子의 運動量을 測定하는게 아니라, 粒子가 衝突한 壁이 後退한 程度를 測定하여 運動量 保存法則을 利用하면 粒子의 正確한 運動量을 測定할 수 있다.

이에 對한 보어의 反論은 다음과 같다.

壁 亦是 量子力學의 不確定性 原理를 따르므로 粒子가 衝突하기 전 壁의 運動量 亦是 不確定性을 지닌다. 따라서 衝突 後 壁이 後退한 程度를 測定할 때 壁 亦是 位置의 不確定性을 갖게 되어 正確한 測定이 不可能하다.

아인슈타인의 箱子 [ 編輯 ]

아인슈타인의 箱子 는 알베르트 아인슈타인 이 考案한, 에너지-時間 關係의 不確定性에 對한 思考 實驗 이다. 그 內容을 要約하면 다음과 같다.

낮은 密度의 電磁氣 輻射線 으로 채워져 있고 內部에는 時計에 依해 作動되는 셔터를 갖춘 箱子를 假定하자. 單 하나의 光子만 箱子로부터 빠져나올 수 있도록 時計가 특정한 時間 間隔으로 셔터를 열고 닫을 수 있게 設定되어 있다. 光子가 빠져나온다면 箱子 內部의 에너지가 減少되는 것이므로 質量-에너지 等價 原理에 依해 光子가 빠져나오기 前, 後 箱子의 質量에는 變化가 있을 것이다. 따라서 時計가 셔터를 열고닫은 時間과 에너지差異를 正確히 計算할 수 있기 때문에 에너지 差異와 時間間隔의 곱을 不確定性 原理에 違背되는 程度로 작게 만들 수 있을 것이다.

이에 對한 닐스 보어 의 反論은 다음과 같다.

光子가 箱子를 빠져나갈 때 發生하는 質量 損失은 重力場의 變化를 誘發시키고, 따라서 箱子 內部의 時計의 速度에 影響을 주게 된다.

補語는 이 效果가 不確定性 關係에 正確하게 一致함을 보일 수 있었고, 아인슈타인은 自身의 理論에 依해 반박당할 수밖에 없었다. 以後 아인슈타인은 量子力學의 矛盾性보다는 不完全性의 問題에 集中하였다.

EPR 逆說 [ 編輯 ]

"Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?"이라는 題目의 論文으로 發表된 EPR 逆說 은 1935年 알베르트 아인슈타인 , 보리스 포돌스키 , 네이선 로젠 에 依해 發表되었다(EPR이란 名稱은 세名의 앞글字를 딴 것이다). 物理系는 測定하기 前에 이미 物理的 性質들을 實際로 가지고 있다는 局所的 實在論 觀點을 固守하던 아인슈타인은 포돌스키, 로젠과 함께 이를 立證하기 위한 精巧한 假想實驗을 設計했다. EPR側은 어떠한 物理的 影響力도 빛의 速度보다 빠르게 傳達될 수 없다는 ' 局所性의 原理 '를 根本 原理로 假定하고 있다. 量子力學의 傳統的인 立場에 따르면 測定에 依한 波動函數의 崩壞는 거리에 關係없이 먼 곳에 瞬息間에 影響을 미치게 되는 것(action-at-a-distance)이므로, 量子力學은 局所性의 原理에 어긋나는 逆說的인 狀況을 發生시키게 된다. 따라서 量子力學은 不完全 體系이며, 物理系의 狀態를 完璧하게 알아내기 위해선 波動函數 以上의 ' 숨은 變數 '가 存在해야 한다고 主張했다.

1964年 존 벨 은 EPR 逆說을 檢證할 수 있는 實際 實驗을 考案했다. 벨은 實驗의 結果가 '벨의 不等式'을 判別한다고 말했는데, 不等式이 成立한면 EPR側의 主張이 옳은 것이고 不等式이 成立하지 않는다면 量子力學의 體系가 維持되며 어떠한 숨은 變數도 許容되지 않음이 밝혀지는 것이었다. 以後 벨不等式을 立證하기 위한 다양한 實驗을 遂行한 結果, 不等式이 成立하지 않는다는 것이 밝혀져 量子力學의 非局所적 特徵이 밝혀짐과 同時에 量子力學의 體系가 維持될 수 있었다.

벨의 實驗과는 別個의 方法으로 EPR이 主張한 나타난 量子力學의 非局所적 特徵을 說明할 수도 있다. 萬若 EPR側의 主張처럼 波動函數의 崩壞가 有限한 速度로 일어난다면 局所性의 原理 보다 더 優先視되는 原理인 ' 角運動量 保存法則 '이 깨어지게 된다.(이렇게 될 境遇 物理化學에서 있을 수 없는 狀況이 發生할 수도 있다.) 따라서 波動函數의 崩壞는 瞬間的으로, 卽 非局所的으로 일어날 수밖에 없다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 統一場 理論
• 確率波動

各州 [ 編輯 ]

參考 文獻 [ 編輯 ]

• Cropper, William H. 『偉大한 物理學者 4』. 김희봉 驛. 서울: 사이언스북스, 2007.
• Cushing, James T. 『物理學의 歷史와 哲學』. 송진웅 驛.서울: 북스힐, 2006.
• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics . Pearson Education, Inc., 2005.
• 임경순. 「하이젠베르크와 量子力學」. 『韓國物理學會』. 2006. 韓國物理學會

外部 링크 [ 編輯 ]

• 네이버 오늘의 科學: 不確定性의 原理