數學 에서 푸리에 級數 (Fourier級數, Fourier series )는 週期 函數를 三角函數의 加重値로 分解한 級數 다. 大部分의 境遇, 級數의 係數는 本來 函數와 一對一로 對應한다.

函數의 푸리에 係數는 本來 函數보다 다루기 쉽기 때문에 有用하게 쓰인다. 푸리에 級數는 電子 工學, 振動 解釋, 音響學 , 光學 , 信號 處理 와 映像 處理 , 데이터 壓縮 等에 쓰인다. 天文學 에서는 分光器 를 통해 별빛의 振動數를 分解하여 별을 이루는 化學 物質 을 알아내는 데 쓰이고, 通信 工學에서는 電送해야 하는 데이터 信號의 스펙트럼을 利用하여 通信 시스템 設計를 最適化하는 데 쓰인다.

歷史 [ 編輯 ]

프랑스의 科學者이자 數學者인 조제프 푸리에 가 熱 方程式 을 풀기 위하여 導入하였다. ^[1]

正義 [ 編輯 ]

푸리에 級數는 週期函數 를 基本的인 調和函數人 三角函數 또는 複素 指數 函數 의 級數로 나타낸 것이다. 週期函數 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$가 ${\displaystyle T}$의 週期를 가진다고 하자. 卽,

${\displaystyle f(x)=f(x+T)}$

라고 하자. 또한, ${\displaystyle f}$가 모든 有限 區間( finite interval )에서 제곱積分 可能하다고 하자. 卽, 任意의 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$에 對하여,

${\displaystyle \int _{a}^{b}|f|^{2}\,dx}$

가 有限한 값으로 存在한다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle f}$의 푸리에 計數 ( Fourier coefficient ) ${\displaystyle g_{n}}$을 다음과 같이 定義한다.

${\displaystyle g_{n}={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\exp \left(-{\frac {2n\pi {i}x}{T}}\right)f(x)\,dx,\quad t_{0}\in \mathbb {R} .}$

그렇다면 다음이 成立한다. 任意의 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$에 對하여, 다음 式이 成立하지 않는 ${\displaystyle x}$의 集合은 르베그 側도 0을 가진다.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g_{n}\exp \left({\frac {2n\pi {i}x}{T}}\right)}$.

萬若 ${\displaystyle f}$가 連續微分可能 ( ${\displaystyle C^{1}}$) 函數라면 (卽, ${\displaystyle f}$의 導函數 가 存在하고 連續的인 境遇) ${\displaystyle f}$의 푸리에 級數는 모든 ${\displaystyle x}$에서 ${\displaystyle f(x)}$로 收斂한다.

各州 [ 編輯 ]

參考 文獻 [ 編輯 ]

• William E. Boyce, Richard C. DiPrima (2005). 《Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems》 8板. New Jersey: Wiley. ISBN   0-471-43338-1 .   CS1 管理 - 追加 文句 ( 링크 )
• Fourier, Joseph (1822). 《Theorie Analytique de la Chaleur》.  
  • 裁判: Fourier, Joseph (2009). 《Theorie Analytique de la Chaleur》. Cambridge University Press. ISBN   9781108001809 .  
  • 領域 (譯者 Alexander Freeman): Fourier, Joseph (2003). 《The Analytical Theory of Heat》. Dover. ISBN   0-486-49531-0 .  
• Gonzalez-Velasco, Enrique A. (1992). “Connections in Mathematical Analysis: The Case of Fourier Series”. 《American Mathematical Monthly》 99 (5): 427?441. doi : 10.2307/2325087 .  
• Katznelson, Yitzhak (1976). 《An introduction to harmonic analysis》 2板. New York: Dover. ISBN   0-486-63331-4 .   CS1 管理 - 追加 文句 ( 링크 )
• Felix Klein , Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert , Springer, Berlin, 1928.
  • 領域: Development of mathematics in the 19th century . Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. (譯者 M. Ackerman)
• Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》 . International Series in Pure and Applied Mathematics (英語) 3板. McGraw-Hill. ISBN   978-0-07-054235-8 . MR   0385023 . Zbl   0346.26002 . 2014年 10月 6日에 原本 文書 에서 保存된 文書 . 2014年 10月 6日에 確認함 .   CS1 管理 - 追加 文句 ( 링크 )
• Zygmund, A. (2003). 《Trigonometric series》 3板. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN   0-521-89053-5 .   CS1 管理 - 追加 文句 ( 링크 )

같이 보기 [ 編輯 ]

• 푸리에 變換
• 調和 解析學
• 張 밥티스트 조제프 푸리에

外部 링크 [ 編輯 ]

위키미디어 公用에 푸리에 級數 關聯 미디어 分類가 있습니다.

• “Fourier series” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
•   Hobson, Ernest (1911). 〈 Fourier's Series 〉. 《 브리태니커 百科事典 》 10 11板. 753?758쪽.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Fourier Series” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Joseph Fourier ? A site on Fourier's life which was used for the historical section of this article - 웨이백 머신 (保管됨 12月 5, 2001)