數學 에서 실解釋學 (實解析學, 英語 : real analysis ) 또는 實變數函數論 (實變數函數論, 英語 : theory of functions of a real variable )은 失手 와 水熱 , 失手의 級數 , 實函數 等을 다루는 解析學 의 한 分野이다. ^[1] 特히 實函數 및 失手熱意 收斂, 極限 , 連續性 , 매끈함 , 微分 可能性, 積分 可能性 等을 다룬다.

실解釋學은 複素數 와 複素函數 等을 다루는 複素解釋學 과는 區別된다.

範圍 [ 編輯 ]

實數의 構成 [ 編輯 ]

실解析學의 定理들은 失手 體系의 性質을 基盤으로 하기 때문에, 失手를 어떻게 構成할 것인가는 重要한 問題이다. 失手 體系는 非加算 集合 ( ${\displaystyle \mathbb {R} }$)과 함께 이항 演算 人 더하기(+)와 곱하기(?), 그리고 順序 關係 人 ≤로 構成된다. 따라서 이항 演算이 있는 失手 體系는 체 이며, 또한 順序가 附與된 順序體 이다. 失手는 完備 順序體이며, 任意의 完備 順序體는 失手 體系와 同型 이라는 點에서 失手 體系는 唯一한 完備 順序體이다. 失手는 完備性, 卽 메꿔질 구멍이 없다는 性質을 가지는데, 이러한 實數의 完備性 은 다른 順序體( 有理數 체 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 等)와 區別되는 失手의 固有한 性質로서 實函數의 性質 等을 證明하는 데에 核心的인 役割을 한다. 實數의 完備性은 主로 上限 公理를 利用하여 나타낸다.

實數의 順序 性質 [ 編輯 ]

失手는 複素數와는 달리 格子 의 性質을 가지며, 또 羊水들의 合이나 곱이 讓受가 되는 順序體 를 이룬다. 失手는 全順序 集合 으로, 다음의 最小 상계 性質 을 가진다.

상계 를 가지는 任意의 空集合 이 아닌 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 部分集合 은 失手를 上限 으로 가진다.

이러한 失手의 性質은 短調 收斂 定理 와 中間값 整理 , 平均값 整理 같은 실解析學의 基本 整理들의 證明에 根幹이 된다.

實數의 位相的 性質 [ 編輯 ]

실解析學의 많은 整理들은 失職選 의 位相的 性質로부터 起因한다. 위의 實數의 順序 性質 또한 位相的 性質과 密接하게 連結되어 있다. 位相 空間 으로서 失手는, 順序 ${\displaystyle <}$으로 誘導되는 順序 位相 人 標準 位相을 가진다. 한便 計量 또는 거리 函數 ${\displaystyle d:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$를 絶對값 函數 ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$를 利用하여 定義하면, 失手는 典型的인 距離 空間 이 된다. 計量 ${\displaystyle d}$에 依해 誘導된 位相은 ${\displaystyle <}$에 依해 誘導된 標準 位相과 同一하다. 따라서 中間값 整理 와 같은 整理들은 ${\displaystyle \mathbb {R} }$뿐만 아니라 다른 一般的인 位相 空間에 對해서도 證明할 수 있다.

水熱 [ 編輯 ]

水熱 이란 加算 人 全順序 集合 을 定義域 으로 가지는 函數 이다. 定義域은 普通 自然水로 주어지지만 ^[2] , 陰數를 包含하는 定數를 定義域으로 가지는 兩方向 數列을 使用하는 境遇도 있다.

실解釋學에서 다루는 槪念인 失手熱 ( 英語 : real-valued sequence)은 自然水를 定義域으로 가지는 思想 ${\displaystyle a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} :n\mapsto a_{n}}$이다. 各 ${\displaystyle a(n)=a_{n}}$은 數列의 港 (또는 元素)이라 한다. 數列은 普通 函數의 꼴로 나타내기보다는 整列된 ∞- 튜플 인 것처럼 表現하는데, 아래처럼 各 項이나 一般港을 括弧로 감싼 形態로 表記한다.

數列이 極限값에 漸漸 가까워지는 境遇(卽, ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$이 存在하는 境遇) 數列이 收斂 한다고 하고, 그렇지 않은 境遇 發散 한다고 한다. 水熱 ${\displaystyle (a_{n})}$에 對해, 모든 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 對해 ${\displaystyle |a_{n}|<M}$人 ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$이 存在하는 境遇 ${\displaystyle (a_{n})}$은 유계 라 한다. 또한 ${\displaystyle (a_{n})}$이 또는 인 境遇 各各 單調 增加 또는 單調 減少 한다고 하며, 두 가지 中 하나를 滿足하는 境遇 數列이 短調 라 한다. 數列이 위의 式의 ${\displaystyle \leq }$나 ${\displaystyle \geq }$을 <나 >으로 바꾼 境遇에도 成立할 때 各各 强한 單調 增加 또는 强한 單調 減少 라 한다.

水熱 ${\displaystyle (a_{n})}$이 주어졌을 때, 모든 自然數 ${\displaystyle k}$에 對해 ${\displaystyle b_{k}=a_{n_{k}}}$를 滿足하고 ${\displaystyle (n_{k})}$가 增加하는 自然數 水熱人 境遇 ${\displaystyle (b_{k})}$는 ${\displaystyle (a_{n})}$의 部分水熱 理라 한다.

極限과 收斂 [ 編輯 ]

簡單하게 말하면, 變數나 指標가 特定 값에 다가갈 때( 函數 나 水熱 이 限度 없이 增加 또는 減少할 때는 ${\displaystyle \pm \infty }$에 다가간다고 할 수도 있다.) 函數 또는 數列이 漸漸 "가까워지는" 값을 極限 이라고 한다. ^[3] 極限은 微積分學 (넓게는 解析學)에서 重要한 槪念이며 連續 , 微分 , 積分 과 같은 槪念들을 定義하기 위해서 極限의 嚴密한 正義가 使用된다.(사실, 極限의 性質은 微積分學과 解釋學을 數學의 다른 分野들과 區別하는 特徵이 된다.)

函數에서 極限이라는 槪念은 17世紀 末 뉴턴 과 라이프니츠 가 無限小 微積分學을 定立하면서 導入하였다. 數列의 極限 槪念은 라이프니츠가 導入하였으며, 以後 19世紀 末 볼차노 와 바이어슈트라스 가 다음의 엡실론-델타 論法 을 利用하여 보다 嚴密하게 定義하였다.

正義. ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$에서 定義된 實函數라 하자. 任意의 ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 對해, 모든 ${\displaystyle x\in E}$에 對하여 ${\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }$裏面 ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$를 滿足하도록 하는 ${\displaystyle \delta >0}$가 恒常 存在하면, ${\displaystyle x}$가 ${\displaystyle x_{0}}$로 갈 때 ${\displaystyle f(x)}$가 ${\displaystyle L}$로 收斂한다 또는 ${\displaystyle x}$가 ${\displaystyle x_{0}}$로 갈 때 ${\displaystyle f(x)}$의 極限은 ${\displaystyle L}$이다 라 하고

또는 이라 쓴다.

위의 定義는 다음과 같이 理解할 수 있다. ${\textstyle x\to x_{0}}$일 때 ${\textstyle f(x)\to L}$라는 것은 아무리 작은 ${\displaystyle \varepsilon >0}$가 주어지더라도, ${\displaystyle x_{0}}$와의 差異가 ${\displaystyle \delta }$보다 작은 모든 ${\displaystyle x_{0}}$가 아닌 失手 ${\displaystyle x}$에 對하여 ${\displaystyle f(x)}$와 ${\displaystyle L}$의 差異가 ${\displaystyle \varepsilon >0}$보다 작도록 하는 ${\displaystyle \delta >0}$를 恒常 찾을 수 있다는 것이다. 正義의 條件에서 ${\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }$利器 때문에 ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}$은 ${\displaystyle f(x_{0})}$의 값 自體에 對해서는 아무것도 알려주지 못한다. 事實 ${\displaystyle x_{0}}$가 ${\displaystyle f}$의 定義域에 있지 않더라도 ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}$가 存在할 수 있다.

函數의 極限처럼, ${\displaystyle n}$이 커질 때 水熱 ${\displaystyle (a_{n})}$에 對해서도 極限 槪念을 適用할 수 있다.

正義. ${\displaystyle (a_{n})}$이 失手열이라 하자. 任意의 ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 對해, 모든 ${\displaystyle n\geq N}$에 對하여 ${\displaystyle 0<|a-a_{n}|<\delta }$를 滿足하도록 하는 ${\displaystyle N}$이 恒常 存在하면, ${\displaystyle (a_{n})}$이 ${\displaystyle a}$로 收斂한다 고 하고

또는 라 쓴다. ${\displaystyle (a_{n})}$이 收斂하지 않는다면 ${\displaystyle (a_{n})}$이 發散한다 고 한다.

數列에서의 極限의 定義를 若干 變形하여 實函數에 對해서 一般化하면(수열 ${\displaystyle (a_{n})}$과 港 ${\displaystyle a_{n}}$을 各各 函數 ${\displaystyle f}$와 函數값 ${\displaystyle f(x)}$로, 自然數 ${\displaystyle N}$과 ${\displaystyle n}$을 各各 失手 ${\displaystyle M}$과 ${\displaystyle x}$로 바꾸면 된다.) ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$, 卽 ${\displaystyle x}$가 限도 없이 增加할 때 ${\displaystyle f(x)}$의 極限을 定義할 수 있다. ${\displaystyle x\geq M}$ 代身 ${\displaystyle x\leq M}$으로 바꾸면 ${\displaystyle x}$가 限도 없이 減少할 때 ${\displaystyle f(x)}$의 極限 ${\textstyle \lim _{x\to -\infty }f(x)}$을 定義할 수 있다.

때로는 數熱意 收斂값은 모르더라도 數列이 收斂한다는 事實 自體가 流用할 때가 있는데, 이 境遇 코시 數列이 有用하게 쓸 수 있는 槪念이다.

正義. ${\displaystyle (a_{n})}$이 失手열이라 하자. 任意의 ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 對해, ${\displaystyle m,n\geq N}$裏面 ${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon }$을 滿足하도록 하는 自然數 ${\displaystyle N}$이 恒常 存在하면 ${\displaystyle (a_{n})}$을 코시 水熱 理라 한다.

失手熱이 收斂하는 것과 코시 水熱人 것은 서로 必要充分條件 이다. 이 性質은 失手에 標準 거리가 附與된 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$가 完備 距離 空間 이라는 것으로 나타난다. 그러나 一般的인 距離 空間에서 코시 數列이 收斂할 必要는 없다.

한便 失手熱이 單調라면, 失手熱이 有界인 것과 收斂하는 것은 서로 必要充分條件이다.

函數列의 均等 收斂과 점別 收斂 [ 編輯 ]

實數의 水熱처럼 ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$을 定義域으로 갖는 函數 ${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {R} }$들의 數列과 이 數熱意 收斂性에 對해 생각할 수 있는데, 이 函數熱을 ${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$와 같이 表記한다. 失手熱과 달리 函數列의 境遇 두 種類의 收斂이 存在하는데, 바로 均等 收斂 과 점別 收斂 이다.

簡單히 말하면 ${\displaystyle f_{n}}$의 ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$로의 점別 收斂이란 任意의 ${\displaystyle x\in E}$에 對해 ${\displaystyle n\to \infty }$일 때 ${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$라는 것이고, ${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$라 쓴다. 反面 均等 收斂은 점別 收斂보다 剛한 槪念으로, 均等 收斂이면 점別 收斂이지만 그 驛은 成立하지 않는다. 均等 收斂이란 任意의 ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 對해, ${\displaystyle n\geq N}$일 때 모든 ${\displaystyle x\in E}$에 對하여 ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon }$을 滿足하도록 하는 ${\displaystyle N}$이 恒常 存在한다는 것이고, ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$라 쓴다. 均等 收斂을 直觀的으로 視覺化하자면, 充分히 큰 ${\displaystyle N}$에 對하여 函數 ${\displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots }$가 모두 定義域 ${\displaystyle E}$에서 ${\displaystyle f}$를 基準으로 ${\displaystyle 2\varepsilon }$만큼의 間隔을 가진 띠(卽, ${\displaystyle f-\varepsilon }$와 ${\displaystyle f+\varepsilon }$ 사이) 內에 存在한다고 생각하면 된다.

두 極限의 演算(極限을 取하거나, 微分 또는 積分을 하는 等) 順序가 서로 바뀔 때, 점別 收斂인지 均等 收斂인지 區別하는 것이 重要할 때가 있다. 普通 실解析學의 많은 整理들에서는 年産 順序가 바뀌어도 成立하기 위해 均等 收斂이 條件으로 붙는 境遇가 많다. 例를 들어 連續 函數들로 이루어진 數列이 均等 收斂이라면 收斂 函數가 連續이지만, 점別 收斂人 境遇 連續이 아닐 수 있다.

콤팩트性 [ 編輯 ]

콤팩트姓은 실解析學의 많은 整理들에서 重要한 役割을 하는 一般位相數學 의 槪念이다. 콤팩트性의 性質은 닫힌 有界 集合의 槪念을 一般化한 것으로, 特히 실解釋學에서 유클리드 空間에서는 集合이 콤팩트人 것과 닫힌 有界인 것이 童穉이다. 여기서 닫힌 集合은 모든 境界點 들을 包含하는 集合이고, 有界 集合은 任意의 두 點 사이의 距離가 ${\displaystyle M}$보다 작은 失手 ${\displaystyle M}$이 存在하는 集合이다. ${\displaystyle \mathbb {R} }$에서 닫힌 유계, 卽 콤팩트人 集合으로는 空集合 , 有限한 點으로 構成된 集合, 닫힌 區間 , 그리고 有限 個의 닫힌 區間들의 合集合 等이 있다. 이 外에 ${\displaystyle \{1/n:n\in \mathbb {N} \}\cup \{0}\}$이나 칸토어 集合 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset [0,1]}$도 콤팩트 集合의 例示이다. 反面 ${\displaystyle \{1/n:n\in \mathbb {N} \}}$와 같은 集合은 有界이기는 하나 境界點人 0을 包含하지 않기 때문에 콤팩트가 아니다.

實數의 部分集合에 對해서는, 콤팩트와 童穉인 몇 가지 正義가 있다.

正義. 集合 ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$가 닫힌 有界라면, 콤팩트이다.

이 定義는 모든 次元의 유클리드 空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$에 對해서 成立하지만 一般的인 距離 空間에 對해서는 滿足하지 않는다. 하이네-보렐 整理 에 依하면 닫힌 有界를 利用한 定義는 後述할 部分덮개를 利用한 正義와 童穉이다.

모든 距離 空間에 對한 보다 一般的인 콤팩트의 定義는 部分水熱 槪念을 使用한다.

正義. 距離 空間에서의 集合 ${\displaystyle E}$의 任意의 數列이 收斂하는 部分數列을 가지면 ${\displaystyle E}$는 콤팩트이다.

위와 같은 性質을 點列 콤팩트性이라고 한다. ${\displaystyle \mathbb {R} }$에서는 集合이 點列 콤팩트人 것과 닫힌 有界인 것이 童穉이다. 點列 콤팩트性을 利用한 定義는 距離 空間에서는 部分덮개를 利用한 正義와 童穉이나, 一般的인 位相 空間에서는 成立하지 않는다.

位相 空間(따라서 距離 空間과 ${\displaystyle \mathbb {R} }$을 包含한다.)에서도 適用되는 一般的인 콤팩트의 定義는 열린 덮개 또는 部分 덮개 槪念을 利用한다. 簡單하게 說明하면, 열린 集合들로 이루어진 集合族 ${\displaystyle U_{\alpha }}$의 合集合이 ${\displaystyle X}$을 部分集合으로 가질 때, ${\displaystyle U_{\alpha }}$를 ${\displaystyle X}$의 열린 덮개 또는 部分 덮개라 한다. 이 열린 덮개가 ${\displaystyle U_{\alpha }}$의 有限 個의 集合으로 이루어진 集合族을 ${\displaystyle X}$의 열린 덮개로 가지는 것이 可能할 때, 柔한 部分덮개를 가진다고 한다.

正義. 位相 空間에서의 集合 ${\displaystyle X}$의 任意의 열린 덮개가 柔한 部分덮개를 가지면 ${\displaystyle X}$는 콤팩트이다.

콤팩트 集合은 收斂이나 連續같은 性質에서 調和를 이룬다. 例를 들어 任意의 코시 數列은 콤팩트 距離 空間에서 收斂한다. 또 連續 思想에서 콤팩트 距離 空間의 上 또한 콤팩트이다.

連續 [ 編輯 ]

失手 集合에서 失手 集合으로 死傷하는 函數 는 데카르트 座標系 에서 그래프 로 나타낼 수 있다. 函數가 連續이라는 것은, 簡單하게 말해서 函數의 그래프가 '구멍'이나 '跳躍' 없이 하나로 이어진 曲線이라는 것이다.

連續을 數學的으로 嚴密하게 定義하는 方法에는 여러 가지가 있다. 各 定義마다 一般的으로 正義 可能한 對象이 달라질 수 있는데, 두 가지 以上의 定義가 適用 可能한 境遇 普通 두 正義가 서로 童穉임을 보일 수 있다.

아래의 定義에서 ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$는 失手로 構成된 集合인 非退化(non-degenerate) 區間 ${\displaystyle I}$를 定義域으로 가지는 函數이다. 여기서 ${\displaystyle I}$는 實數 全體의 集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$이나 열린 區間 ${\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}}$, 또는 닫힌 區間 ${\displaystyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}$이 될 수 있다. 參考로 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$는 서로 다른 失手로, ${\displaystyle I}$가 空集合이나 元素를 한 個만 갖는 集合이 되는 境遇를 除外한다.

正義. 非退化 區間 ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$에 對하여 函數 ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$가 ${\displaystyle p\in I}$에 對해 ${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)=f(p)}$를 滿足하면 ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle p}$에서 連續 이라고 한다. 區間 內의 모든 ${\displaystyle p\in I}$에서 ${\displaystyle f}$가 連續일 때 ${\displaystyle f}$를 連續 函數 라고 한다.

${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle p}$에서 連續이려면, ${\displaystyle p}$ 自體에서 ${\displaystyle f}$의 값과는 상관없었던 極限과 달리 ${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)}$이 存在와 함께 다음의 두 條件 또한 滿足해야 한다. (i) ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle p}$에서 定義되어 있어야 하고, (ii) ${\displaystyle x\to p}$일 때 ${\displaystyle f(x)\to f(p)}$與野 한다. 위의 正義는 孤立點(isolated point)을 包含하지 않는 集合인 定義域 ${\displaystyle E}$, 卽 모든 ${\displaystyle p\in E}$가 極限點(limit point)인 定義域 ${\displaystyle E}$에 對해 適用 可能하다. 더 一般的인 集合 ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$를 定義域으로 가지는 函數 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$에 對한 定義는 아래와 같다.

正義. ${\displaystyle X}$가 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 部分集合이라 하자. 任意의 失手 ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 對해, 모든 ${\displaystyle x\in X}$에 對하여 ${\displaystyle |x-p|<\delta }$裏面 ${\displaystyle |f(x)-f(p)|<\varepsilon }$을 滿足하도록 하는 失手 ${\displaystyle \delta >0}$가 恒常 存在하면 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$는 ${\displaystyle p\in X}$에서 連續 이라고 한다. 모든 ${\displaystyle p\in X}$에 對해 ${\displaystyle f}$가 連續일 때 ${\displaystyle f}$를 連續 函數 라고 한다.

위 定義를 따르면 ${\displaystyle f}$는 모든 孤立點 ${\displaystyle p\in X}$에서 自明하게 連續이다. 이러한 多少 非直觀的인 結論은 더 一般的인 位相 空間 위에서의 思想의 連續의 正義와 一脈相通하기 위해 必須的이다. 아래는 位相 空間에서의 連續의 正義로, 실解析學의 範圍를 多少 벗어난다.

正義. ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$를 位相 空間이라 하자. 任意의 ${\displaystyle Y}$의 元素 ${\displaystyle f(p)}$의 近方 ${\displaystyle V}$에 對해 ${\displaystyle f^{-1}(V)}$가 ${\displaystyle p\in X}$의 近方 裏面 ${\displaystyle f:X\to Y}$는 ${\displaystyle p}$에서 連續 이라고 한다. 모든 ${\displaystyle Y}$의 열린 集合 ${\displaystyle U}$에 對해 ${\displaystyle f^{-1}(U)}$가 ${\displaystyle X}$에서 열려 있으면 ${\displaystyle f}$를 連續 函數 라고 한다.

(여기서 ${\displaystyle f^{-1}(S)}$는 ${\displaystyle f}$에 對한 ${\displaystyle S\subset Y}$의 易象 이다.)

均等 連續 [ 編輯 ]

正義. ${\displaystyle X}$가 失手로 構成된 集合이라 하자. 任意의 失手 ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 對해, 모든 ${\displaystyle x,y\in X}$에 對하여 ${\displaystyle |x-y|<\delta }$裏面 ${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\varepsilon }$를 滿足하도록 하는 ${\displaystyle \delta >0}$가 恒常 存在하면 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$는 ${\displaystyle X}$에서 均等 連續 이라고 한다.

${\displaystyle X}$가 均等 連續이라는 것은, ${\displaystyle \varepsilon }$이 주어졌을 때 모든 ${\displaystyle X}$의 元素에 對하여 주어진 條件을 滿足하도록 하는 ${\displaystyle \delta }$를 選擇할 수 있다는 것이다. 反面 函數가 모든 點 ${\displaystyle p\in X}$에서 一般的인 連續일 때는 ${\displaystyle \varepsilon }$와 ${\displaystyle p}$ 값에 따라 ${\displaystyle \delta }$가 달라진다. 또 一般的인 連續과는 달리 函數가 均等 連續이라는 것은 特定 定義域이 주어졌을 때만 成立하는 槪念으로, 어떤 點 ${\displaystyle p}$에서의 均等 連續과 같은 것은 없다.

콤팩트 集合을 定義域으로 갖는 連續 函數는 均等 連續임을 보일 수 있다. 反面 ${\displaystyle E}$가 有界이고 콤팩트가 아닌 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 部分集合日 때 連續이지만 均等 連續은 아닌 函數 ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$가 存在할 수 있다. 例를 들어 函數 ${\displaystyle f:(0,1)\to \mathbb {R} }$가 ${\displaystyle f(x)=1/x}$로 주어졌을 때, 주어진 ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 對하여 어떤 ${\displaystyle \delta >0}$를 選擇하든지 相關없이 0과 充分히 가까울 때 ${\displaystyle |f(x)-f(y)|>\varepsilon }$가 되도록 할 수 있으므로 이 函數는 連續이지만 均等 連續이 아니다.

絶對 連續 [ 編輯 ]

正義. ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$가 실直線 위의 區間이라 하자. 任意의 ${\displaystyle \varepsilon }$에 對해, 各自 서로素 人 ${\displaystyle I}$의 小區間(sub-interval)들로 이루어진 有限 水熱 ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$이 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})<\delta }$裏面 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .}$을 滿足하도록 하는 ${\displaystyle \delta }$가 恒常 存在하면 ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$는 ${\displaystyle I}$에서 絶對 連續 이라고 한다. ^[4]

위에서 n=1이면 連續의 正義에 該當하므로 絶對 連續인 函數는 連續이다. I 에서 絶對 連續인 모든 函數들의 集合은 AC( I )로 表記한다. 絶對 連續은 르베그 積分에서 重要하게 쓰이는 槪念으로, 一般化된 微積分學의 基本整理를 르베그 積分에 對해 適用할 수 있도록 해준다.

微分 [ 編輯 ]

函數의 微分 또는 微分 可能性이라는 槪念은 '가장 最善의' 線形 近似를 利用해 函數를 近似한다는 槪念에서 비롯되었다. 이러한 線形 近似는, 萬若 存在한다면, 주어진 點 ${\displaystyle a}$에서 接하고 傾斜가 ${\displaystyle a}$에서의 微分階數人 直線으로 唯一하게 주어진다.

函數 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$에 對해 다음의 極限

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

이 存在할 때 ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle a}$에서 微分 可能하다 고 한다. 이때의 極限값은 ${\displaystyle a}$에서 ${\displaystyle f}$의 微分 係數 라 하며 函數 ${\displaystyle f'}$은 ${\displaystyle f}$의 微分 (또는 導函數 )라고 한다. 모든 點에서 導函數가 存在할 때 函數를 微分 可能 하다고 한다.

${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle a}$에서 微分 可能하다면 또한 ${\displaystyle a}$에서 連續이다. 따라서 微分 可能性은 連續보다 剛한 條件이며(미분은 函數의 '매끄러움'을 나타내는 條件이라고 볼 수 있다.), 모든 點에서 連續이면서 모든 點에서 微分 不可能한 函數가 存在할 수도 있다.( 바이어슈트라스 函數 參考) 導函數의 導函數를 繼續해서 求하는 式으로 高階 導函數를 定義하는 것도 可能하다.

各 函數는 微分 可能性에 따라 클래스를 分類할 수 있다. 클래스 ${\displaystyle C^{0}}$는(구간에 對해 適用하여 ${\displaystyle C^{0}([a,b])}$라 表記하기도 한다.) 모든 連續 函數들의 集合이다. 클래스 ${\displaystyle C^{1}}$는 모든 連續 微分可能 函數 , 卽 導函數가 連續 函數인 微分 可能 函數들의 集合이다. 따라서 ${\displaystyle C^{1}}$에 屬하는 函數는 導函數가 ${\displaystyle C^{0}}$에 屬하는 函數이다. 一般的으로, ${\displaystyle C^{k}}$는 ${\displaystyle C^{0}}$를 모든 連續 函數들의 集合으로 定義한 뒤 任意의 自然數 ${\displaystyle k}$에 對해 ${\displaystyle C^{k}}$를 導函數가 ${\displaystyle C^{(}k-1)}$에 屬하는 函數들의 集合으로 定義하는 再歸的인 方法으로 定義할 수 있다. 特히 모든 ${\displaystyle k}$에 對해 ${\displaystyle C^{k}}$는 ${\displaystyle C^{(}k-1)}$에 包含되는 集合이다. 클래스 ${\displaystyle C^{\infty }}$는 모든 音이 아닌 淨水 ${\displaystyle k}$에 對하여 ${\displaystyle C^{k}}$ 클래스들의 交集合으로 定義하며, ${\displaystyle C^{\infty }}$의 元素를 매끄러운 函數 라 부른다. 매끄러운 函數는 無限 番 微分 可能하다. 클래스 ${\displaystyle C^{\omega }}$는 모든 解析 函數 들의 集合으로, ${\displaystyle C^{\infty }}$의 眞部分集合이다( 매끄럽지만 非解釋的인 函數 의 例로는 범프 函數 가 있다.).

級數 [ 編輯 ]

級水란 無限히 羅列된 數들의 合을 求한다는 槪念을 嚴密하게 定義한 것이다. 無限히 많은 數들을 더한 값이 有限한 값이 될 수 있다는 事實은 古代 그리스인들에게 非直觀的으로 보였고, 제논과 같은 哲學者들은 이와 關聯해 많은 逆說들을 남겼다. 現代에 이르러서는 無限히 많은 數들을 더한다는 多少 模糊한 槪念 代身 級水에 값들을 附與한다는 槪念을 使用한다. 具體的으로는 첫 ${\displaystyle n}$個 項의 合으로 定義되는 部分合을 考慮하는데, ${\displaystyle n}$이 無限히 커질 때 이 部分合들로 이루어진 數列이 收斂한다면 이 收斂하는 값을 級數로 定義한다.

(無限) 水熱 ${\displaystyle (a_{n})}$이 주어졌을 때 級數 를 ${\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$로 定義하며, 簡單히 ${\textstyle \sum a_{n}}$로 쓰기도 한다. 級數의 部分合 ${\textstyle \sum a_{n}}$은 ${\textstyle s_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}}$로 定義한다. 級數 ${\textstyle \sum a_{n}}$은 部分合들로 이루어진 水熱 ${\displaystyle (s_{n})}$이 收斂할 때 收斂한다 고 하고, 그렇지 않을 때 發散한다 고 한다. 級數의 合 은 ${\textstyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}}$으로 定義한다.

여기서 '合'이란 部分合들로 이루어진 數列의 極限을 의미하는 比喩的인 槪念으로 理解해야 하며, 單純히 無限히 많은 數들을 '더하는' 槪念으로 誤解해서는 안 된다. 一例로 柔한 數列의 盒과는 달리 無限 級數는 各 項들의 더하는 順序를 바꾸면 收斂값이 달라질 수 있다( 리만 再配列 整理 參考).

다음의 幾何級數 는 收斂하는 給水의 例示이며, 제논의 逆說 等이 이 原理를 利用하였다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1.}$

反面 다음의 調和級數 는 中世 時代 때부터 發散한다는 事實이 알려져 있었다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty .}$

(위에서 ' ${\displaystyle =\infty }$'은 級數의 部分合이 無限히 커진다는 것을 意味한다.)

級數 ${\textstyle \sum a_{n}}$은 ${\textstyle \sum |a_{n}|}$이 收斂할 때 絶對 收斂 한다고 한다. ^[5] 絶對 收斂하는 級水가 收斂함은 쉽게 보일 수 있다. 反面 다음과 같은 級數는 收斂하지만 絶對 收斂하지는 않는다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\ln 2.}$

테일러 級數 [ 編輯 ]

實函數 또는 複素函數 ? ( x )가 a 에서 매끄러울 때 a 에서 f ( x )의 테일러 級數는 다음의 冪級數

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}$

이다. 이는 또한 시그마 記號를 使用해

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}$

로 나타낼 수도 있다. 여기서 n !은 n 의 팩토리얼 이고 ?  ^{( n )} ( a )은 a 에서 f 의 n 界 導函數 값이다. n = 0일 때 ?  ^{( n )} ( a )은 f 自身을 의미하고 ( x ? a ) ⁰ 과 0!은 1로 定義된다. a = 0일 때의 테일러 級數를 매클로린 級數라 부른다.

a 에서 f 의 테일러 級數는 發散할 수도, a 에서만 收斂할 수도, ${\displaystyle |x-a|<R}$人 모든 x 에 對해 收斂할 수도(이러한 條件을 滿足하는 가장 큰 R 을 收斂半지름이라 한다.), 失職選 全體에서 收斂할 수도 있다. 收斂하는 테일러 級水가 그 點에서의 函數값과 다른 값으로 收斂할 수도 있다. 定義域 內의 모든 x ₀ 에 對해 x ₀ 의 테일러 級水가 그 近方에서 函數로 收斂하면 函數가 解釋的 理라 한다. 解析 函數는 많은 重要한 性質을 갖고 있는데, 特히 解釋的인 實函數는 複素函數로 자연스럽게 擴張할 수 있다. 指數 函數 와 로그 函數 , 三角函數 및 그 逆函數 들은 모두 이러한 方法을 통해 複素數로 擴張할 수 있다.

푸리에 級數 [ 編輯 ]

푸리에 級數는 週期函數 나 週期的인 信號를 사인函數나 코사인函數(또는 複素指數)와 같은 單純 振動函數들로 分解하는 데에 使用한다. 푸리에 級數는 解析學의 下位 分野인 푸리에 解釋에서 核心的으로 다루는 槪念이다.

積分 [ 編輯 ]

積分 이란 曲線으로 둘러싸인 領域의 넓이나 曲線의 길이, 表面으로 둘러싸인 空間의 부피 等을 求하는 데에 쓰이는 槪念이다. 古代 그리스와 中國에서는 이런 값들을 救하기 위해 실進法( 英語 : method of exhaustion)을 利用하였다. 이 方法은 주어진 領域에 內接하는 多角形과 外接하는 多角形의 넓이를 計算하여 求하고자 하는 넓이를 近似하는 것으로, 漸漸 더 작은 조각들을 領域 內部와 外部에 繼續해서 덧붙여 나가면 두 값이 주어진 領域의 넓이로 收斂하는 原理에 기초한다.

리만 積分 을 定義할 때도 실進法의 原理를 利用하는데, 漸漸 더 작은 直四角形 조각(이를 '細分'이라 한다.)으로 領域을 쪼갤 수록 리만(또는 다르부) 相合과 下合이 同時에 特定 값으로 收斂할 때 積分이 存在한다고 한다. 리만 積分보다 좀 더 複雜하기는 하지만 르베그 積分 도 비슷한 槪念을 使用하여 積分을 定義한다. 리만 積分과 달리 더 精巧한 르베그 積分을 利用하면, 넓이를 定義할 수 있는 가측 集合이 아닌 境遇를 除外하면 複雜하고 非正規的인 유클리드 空間 集合의 넓이(또는 길이, 부피 等. 이를 '側도'라는 槪念으로 一般化한다.)도 計算할 수 있다.

리만 積分 [ 編輯 ]

리만 積分은 어떤 區間의 分割이 주어졌을 때 函數의 리만 合 을 利用하여 定義할 수 있다. ${\displaystyle [a,b]}$가 실直線 위의 닫힌 區間 理라 하자. 이때 ${\displaystyle [a,b]}$의 分割 ${\displaystyle {\cal {P}}}$는 아래의 有限 水熱

${\displaystyle a=x_{0}\leq x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq x_{n}=b\,\!}$

이다. ${\displaystyle {\cal {P}}}$는 ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$人 ${\displaystyle i}$에 對해 ${\displaystyle n}$個의 닫힌 區間 ${\displaystyle t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}$로 ${\displaystyle [a,b]}$를 分割한다. 이제 ${\displaystyle [a,b]}$에서 定義된 函數 ${\displaystyle f}$에 對해 各 ${\displaystyle n}$個의 區間에서 任意의 失手 ${\displaystyle t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}$를 選擇하면, ${\displaystyle f}$의 리만合을

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}}$

으로 定義한다. 여기서 ${\displaystyle \Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}}$는 ${\displaystyle i}$番째 닫힌 區間의 길이이다. 따라서 위에서 더해지는 各 項은, 너비가 닫힌 區間의 길이이고 높이가 그 區間에서 任意로 選擇했던 點에서의 函數값人 直四角形의 넓이를 意味한다. 주어진 分割에서 가장 넓은 區間의 길이 ${\textstyle \|\Delta _{i}\|=\max _{i=1,\ldots ,n}\Delta _{i}}$를 分割의 노름 ( 英語 : norm) 또는 메시 ( 英語 : mesh)라 한다. 任意의 ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 對해, 노름이 ${\displaystyle \|\Delta _{i}\|<\delta }$人 모든 分割 ${\displaystyle {\cal {P}}}$에 對하여 아래 式을 滿足하는 ${\displaystyle \delta >0}$가 存在하면 ${\displaystyle S}$를 ${\displaystyle [a,b]}$에서 ${\displaystyle f}$의 리만 積分 理라 한다.

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\varepsilon }$

리만 積分은 ${\textstyle {\mathcal {R}}\int _{a}^{b}f=S}$로 表記하기도 한다. 各 區間에서 函數값이 最大(또는 最小)가 되는 點을 選擇했을 때의 리만 合을 다르부 상합 (또는 다르부 下合 )이라 한다. 充分히 작은 노름에 對해 다르부 相合과 下合意 差가 任意의 값보다 작아질 수 있으면 函數를 다르부 積分可能 하다고 한다. 다르부 積分 可能은 리만 積分可能과 童穉로, 函數의 다르부 積分과 리만 積分 값은 같다. 微積分學 및 解析學 敎材에서는 다르부 積分과 리만 積分의 正義를 混用해서 使用하는 境遇가 많다.

微積分學의 基本整理 에 依하여, 特定 條件 下에서 微分과 積分은 서로 逆演算 關係에 있다.

르베그 積分과 側도 [ 編輯 ]

르베그 積分 은 더 많은 種類의 函數 및 더 다양한 種類의 定義域에 對해 積分을 定義할 수 있게 해 준다. 또 길이와 넓이, 부피 等을 一般化한 槪念인 側도 를 使用한다.

分布 [ 編輯 ]

分布 (또는 一般化된 函數 )란 函數 를 一般化한 것이다. 分布를 使用하면 旣存에 微分 不可能했던 函數를 未分할 수도 있다.

主要 整理 [ 編輯 ]

실解析學의 主要 整理들로는 볼차노-바이어슈트라스 整理 , 하이네-보렐 整理 , 中間값 整理 , 平均값 整理 , 테일러 整理 , 微積分學의 基本整理 , 아르젤라-아스콜리 整理, 스톤-바이어슈트라스 整理, 破鬪 補助定理 , 短調 收斂 定理 , 支配 收斂 定理 等이 있다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 複素解釋學

參考 文獻 [ 編輯 ]

• Abbott, Stephen (2001). 《Understanding Analysis》. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN   0-387-95060-5 .  
• Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998). 《Principles of real analysis》 3板. Academic. ISBN   0-12-050257-7 .  
• Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011). 《Introduction to Real Analysis》 4板. New York: John Wiley and Sons. ISBN   978-0-471-43331-6 .  
• Bressoud, David (2007). 《A Radical Approach to Real Analysis》. MAA. ISBN   978-0-88385-747-2 .  
• Browder, Andrew (1996). 《Mathematical Analysis: An Introduction》. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN   0-387-94614-4 .  
• Carothers, Neal L. (2000). 《Real Analysis》 . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN   978-0521497565 .  
• Dangello, Frank; Seyfried, Michael (1999). 《Introductory Real Analysis》. Brooks Cole. ISBN   978-0-395-95933-6 .  
• Kolmogorov, A. N.; Fomin, S. V. (1975). 《Introductory Real Analysis》 . Translated by Richard A. Silverman. Dover Publications. ISBN   0486612260 .  
• Rudin, Walter (1976). 《Principles of Mathematical Analysis》 . Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics 3板. New York: McGraw?Hill. ISBN   978-0-07-054235-8 .  
• Rudin, Walter (1987). 《Real and Complex Analysis》 3板. New York: McGraw-Hill. ISBN   978-0-07-054234-1 .  
• Spivak, Michael (1994). 《Calculus》 3板. houston, Texas: Publish or Perish, Inc. ISBN   091409890X .  

各州 [ 編輯 ]

外部 링크 [ 編輯 ]

• How We Got From There to Here: A Story of Real Analysis Archived 2019年 2月 22日 - 웨이백 머신 by Robert Rogers and Eugene Boman
• A First Course in Analysis by Donald Yau
• Analysis WebNotes Archived 2022年 2月 20日 - 웨이백 머신 by John Lindsay Orr
• Interactive Real Analysis by Bert G. Wachsmuth
• A First Analysis Course Archived 2007年 9月 27日 - 웨이백 머신 by John O'Connor
• Mathematical Analysis I by Elias Zakon
• Mathematical Analysis II by Elias Zakon
• Trench, William F. (2003). 《Introduction to Real Analysis》 (PDF) . Prentice Hall. ISBN   978-0-13-045786-8 .  
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
• Basic Analysis: Introduction to Real Analysis by Jiri Lebl
• Topics in Real and Functional Analysis by Gerald Teschl, University of Vienna.