數學 에서, 自然數 의 繼承 또는 팩토리얼 (階乘, 文化語 : 次例곱, 英語 : factorial )은 그 數보다 작거나 같은 모든 陽의 正數의 곱이다. n이 하나의 自然數일 때, 1에서 n까지의 모든 自然數의 곱을 n에 相對하여 이르는 말이다. 記號는 느낌標 ( ! )를 쓰며 팩토리얼 이라고 읽는다.

팩토리얼 水熱 ( OEIS 의 水熱 A000142 ). 科學的 記數法으로 指定된 값들은 表現 正確度에 맞추어 어림數로 標示함

n	n !
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5 040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
20	2 432 902 008 176 640 000
25	1.551 121 004 × 10 25
50	3.041 409 320 × 10 64
70	1.197 857 167 × 10 100
100	9.332 621 544 × 10 157
450	1.733 368 733 × 10 1000
1 000	4.023 872 601 × 10 2567
3 249	6.412 337 688 × 10 10 000
10 000	2.846 259 681 × 10 35 659
25 206	1.205 703 438 × 10 100 000
100 000	2.824 229 408 × 10 456 573
205 023	2.503 898 932 × 10 1 000 004
1 000 000	8.263 931 688 × 10 5 565 708
10 100	${\displaystyle 10^{10^{101.9981097754820}}}$

正義 [ 編輯 ]

音이 아닌 淨水 n의 繼承 n!은 다음과 같이 定義된다.

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdots \cdot 3\cdot 2\cdot 1}$

特히, 0의 繼承은 1이다.

${\displaystyle 0!=1}$

처음 몇 繼承은 다음과 같다.

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, 121645100408832000, 2432902008176640000, ... ( OEIS 의 水熱 A000142 )

쉽게 整理하면 5! = 1×2×3×4×5이다.

複素數의 繼承 [ 編輯 ]

감마 函數 를 통해 繼承의 定義域을 陰의 正數를 除外한 複素數 까지 擴張 할 수 있다. 감마 函數 ${\displaystyle \Gamma }$의 定義域은 ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\dots \}}$이며, 陽의 實數部에서의 값은 다음과 같다.

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\mathrm {d} t\qquad (\operatorname {Re} z>0)}$

감마 函數와 繼承의 關係는 다음과 같다.

${\displaystyle n!=\Gamma (n+1)\qquad (n\in \mathbb {N} )}$

이에 따라, 陰의 整數가 아닌 複素數 ${\displaystyle z}$의 繼承을 다음과 같이 定義할 수 있다.

${\displaystyle z!=\Gamma (z+1)\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \{-1,-2,\dots \})}$

特히, 半整數 의 繼承은 다음과 같다.

${\displaystyle (n-1/2)!={\sqrt {\pi }}(2n-1)!!/2^{n}={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}(k-1/2)\qquad (n\in \mathbb {N} )}$

기수의 繼承 [ 編輯 ]

繼承이 對稱軍 의 크기와 같다는 事實을 통해 繼承을 任意의 期數 까지 擴張할 수 있다. 卽, 期數 ${\displaystyle \kappa }$의 繼承 ${\displaystyle \kappa !}$는 다음과 같다. ^{[1] :64, ??8}

${\displaystyle \kappa !=|\operatorname {Sym} (\kappa )|={\begin{cases}\kappa (\kappa -1)(\kappa -2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1&\kappa <\aleph _{0}\\2^{\kappa }&\kappa \geq \aleph _{0}\end{cases}}}$

多重 繼承 [ 編輯 ]

繼承의 正義에서 連續된 自然囚들을 곱하는 代身 法에 對하여 合同인 自然數들만 곱하면, 多重 繼承 (多重階乘, 英語 : multifactorial )의 正義를 얻는다. 卽, 陽의 精髓 ${\displaystyle k}$과 精髓 ${\displaystyle n>-k}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle n}$의 ${\displaystyle k}$中 繼承은 다음과 같다. (이는 ${\displaystyle k}$番의 繼承과 다른 槪念이다.)

${\displaystyle n!_{k}=\prod _{m=0}^{\lfloor (n-1)/k\rfloor }(n-mk)=n(n-k)(n-2k)\cdots }$

特히, ${\displaystyle -k<n\leq 0}$일 境遇 다음과 같다.

${\displaystyle 1=0!_{k}=(-1)!_{k}=(-2)!_{k}=\cdots =(-(k-1))!_{k}}$

例를 들어, 일中 繼承은 繼承이다. 또한, 二重 繼承 (二重階乘, 英語 : double factorial )은 다음과 같다. 任意의 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 對하여,

${\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!=\prod _{k=1}^{n}2k=(2n)(2n-2)(2n-4)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}$

${\displaystyle (2n-1)!!=(2n)!/(2^{n}n!)=\prod _{k=1}^{n}(2k-1)=(2n-1)(2n-3)(2n-5)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}$

特히, ${\displaystyle 1=0!!=(-1)!!}$이다.

처음 몇 二重·三重·四重 繼承은 各各 다음과 같다.

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, ... ( OEIS 의 水熱 A006882 )

1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280, 880, ... ( OEIS 의 水熱 A007661 )

1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231, ... ( OEIS 의 水熱 A007662 )

指數 繼承 [ 編輯 ]

繼承의 正義에서 곱셈 代身 덧셈을 使用하면, 三角鬚 의 正義를 얻는다. 卽, 音이 아닌 淨水 ${\displaystyle n}$의 三角鬚 ${\displaystyle T_{n}}$은 다음과 같다.

${\displaystyle T_{n}=n(n+1)/2=\sum _{k=1}^{n}k=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +2+1}$

繼承의 正義에서 곱셈 代身 거듭제곱 을 使用하면, 指數 繼承 (指數階乘, 英語 : exponential factorial )의 正義를 얻는다. 卽, 音이 아닌 淨水 ${\displaystyle n}$의 指數 繼承 ${\displaystyle a_{n}}$은 다음과 같다.

${\displaystyle a_{n}=n^{(n-1)^{(n-2)^{\cdots ^{2^{1}}}}}}$

처음 몇 指數 繼承은 다음과 같다.

1, 1, 2, 9, 262144, ... ( OEIS 의 水熱 A049384 )

性質 [ 編輯 ]

恒等式 [ 編輯 ]

繼承· ${\displaystyle k}$中 繼承·지수 繼承의 漸化式 은 各各 다음과 같다.

${\displaystyle n!=n(n-1)!}$

${\displaystyle n!_{k}=n(n-k)!_{k}}$

${\displaystyle a_{n}=n^{a_{n-1}}}$

漸近 公式 [ 編輯 ]

또한, 任意의 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 對하여, 다음과 같은 不等式이 成立한다.

${\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}(n/e)^{n}<n!<{\sqrt {2\pi n}}(n/e)^{n}e^{1/(12n)}}$

特히, 큰 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 對하여, 繼承에 對한 스털링 近似 는 다음과 같다.

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}(n/e)^{n}}$

수論的 性質 [ 編輯 ]

윌슨 整理 [ 編輯 ]

2 以上의 淨水 ${\displaystyle p}$에 對해 다음이 成立한다

• ${\displaystyle p}$가 少數 裏面 ${\displaystyle (p-1)!}$을 ${\displaystyle p}$로 나눈 나머지가 ${\displaystyle p-1}$이다.
• ${\displaystyle (p-1)!}$를 ${\displaystyle p}$로 나눈 나머지가 ${\displaystyle p-1}$裏面 ${\displaystyle p}$가 少數이다.

르장드르 公式 [ 編輯 ]

任意의 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ 및 少數 ${\displaystyle p}$에 對하여, ${\displaystyle p\mid n!}$은 ${\displaystyle p\leq n}$과 同治 이다. 또한, 르장드르 公式 (Legendre公式, 英語 : Legendre's formula )에 따르면, ${\displaystyle n!}$의 素因數 分解 에서 ${\displaystyle p}$의 指數 ${\displaystyle v_{p}(n!)}$는 다음과 같다. (充分히 뒤에 있는 項들이 모두 0이므로 이는 有限 級水이다.)

${\displaystyle v_{p}(n!)=\sum _{k=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor ={\frac {n-\alpha _{p}(n)}{p-1}}}$

여기서

• ${\displaystyle \lfloor -\rfloor }$는 바닥 函數 이다.
• ${\displaystyle \alpha _{p}(n)}$은 ${\displaystyle n}$의 p 陣法 展開의 자릿數의 合이다.

應用 [ 編輯 ]

繼承 少數 [ 編輯 ]

關聯 槪念 [ 編輯 ]

少數 繼承 [ 編輯 ]

音이 아닌 淨水 ${\displaystyle n}$의 少數 繼承은 ${\displaystyle n}$ 以下의 모든 少數 의 곱이다.

上昇 繼承과 下降 繼承 [ 編輯 ]

歷史 [ 編輯 ]

繼承의 基本的인 槪念은 n 個의 元素의 順列 의 個數로서 이미 12世紀 印度 數學에 알려져 있었다. ^[2]

프랑스語 : factorielle 팍토리엘 ^{[ * ]} 이라는 이름은 프랑스의 루이 프랑수아 앙투안 아르보가 ( 프랑스語 : Louis Francois Antoine Arbogast )가 使用하였다. 느낌標 表記法은 1808年 數學者 크리스티앙 크랑 ( 프랑스語 : Christian Kramp )이 著書 《普遍 算術 原論》( 프랑스語 : Elements d’arithmetique universelle ) ^[3] 에서 처음으로 使用하였다. 크랑은 元來 繼承을 프랑스語 : faculte 파퀼테 ^{[ * ]} )라고 불렀으나, 以後 아르보가를 따라 "팩토리얼"을 代身 使用하였다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 큐-팩토리얼
• 리우빌 常數

各州 [ 編輯 ]

參考 文獻 [ 編輯 ]

• Hadamard, M. J. (1968). 〈Sur l’expression du produit 1·2·3· · · · ·(n?1) par une fonction entiere〉 (PDF) . 《Œuvres de Jacques Hadamard》 (프랑스語). Paris: Centre National de la Recherche Scientifiques.  

外部 링크 [ 編輯 ]

• 李哲熙. “팩토리얼(factorial)” . 《數學노트》.  
• “Factorial” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Factorial” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Double factorial” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Multifactorial” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Exponential factorial” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• “Factorial” . 《PlanetMath》 (英語).  
• “Definition:Factorial” . 《ProofWiki》 (英語).  
• “Category:Factorials” . 《ProofWiki》 (英語).