人類는 떨어지는 것에 익숙하다. 地區에 中心部로 向하는 重力이라는 힘이 늘 作用하기 때문이다. 우리 또한 아래쪽부터 몸을 支撐하고 있기에 中心部는 基本的으로 아래 方向이 된다. 그래서 ‘떨어지다’라는 表現은 그저 무언가가 위에서 아래로 움직이거나 分離되는 狀態를 뜻한다. 그럼에도 가끔은 至極히 否定的 表現으로도 使用된다.

多幸히 떨어지는 行爲, 그것도 빠르게 떨어져야 肯定的 結果를 얻는 境遇가 있다. 바로 온라인 게임 ‘배틀그라운드’가 그렇다. 프로레슬링 競技 規則 가운데 하나의 링에서 여러 選手가 同時에 싸워 살아남은 最後 1人이 勝者가 되는 方式을 배틀로열이라고 부른다. 이와 類似하게 ‘배틀그라운드’도 게임 속 世上에서 參加者 100名이 다양한 生存 戰略을 펼치며 마지막 한 사람이 살아남을 때까지 戰鬪를 벌인다. 게임은 날아가는 飛行機 위에서 緊張感 넘치는 狀態로 始作된다. 飛行機가 戰場을 가로질러 날아가는 동안 모든 參加者는 自身이 願하는 瞬間에 뛰어내려야 한다. 그리고 落下傘을 펼쳐 地上에 到着하면 本格的으로 게임을 벌인다. 땅 위에는 다양한 武器와 탈것이 군데군데 몰려 있어 가장 빠르고 正確하게 特定 地點으로 滑降해야 初盤에 有利한 高地를 占할 수 있다. 結局 參加者는 大部分 비슷한 位置에 뛰어내릴 테니, 얼마나 빨리 目標 地點에 到着하느냐가 勝利의 主要 要素가 된다.

배틀그라운드에서 이기려면

그렇다면 果然 어떻게 뛰어내려야 가장 먼저 地上에 到着할 수 있을까. 뛰어내리는 瞬間부터 게이머는 自己 캐릭터의 머리를 움직여 떨어지는 方向을 調整할 수 있다. 常識的으로 始作點과 到着點을 잇는 最短 距離로 떨어진다면 같은 速力日 때 時間도 가장 짧게 걸릴 것이다. 飛行機가 날아가는 速度를 考慮하면 아마 그 軌跡은 飛行機 位置와 目的地를 45度 角度로 連結한 直線이 될 테다. 하지만 놀랍게도 實際로 가장 빠르게 떨어지는 方法은 直線 經路가 아니었다. 物理法則이 매우 現實的으로 適用되는 게임이다 보니 많은 게이머가 各自 方式으로 實驗을 해봤는데, 거의 垂直으로 내려오다 어느 程度 速度가 붙은 뒤 目標 地點을 向해 水平으로 移動하면 가장 빠르게 地上에 到達할 수 있었다.

이렇게 重力이 存在하는 狀況에서 높이가 다른 任意의 두 點 사이를 物體가 내려올 때 걸리는 時間이 最少가 되는 曲線을 求하는 問題를 ‘最小 降下 曲線 問題’라고 한다. 뉴턴과 라이프니츠가 微積分 發明을 두고 ‘누가 最初認知’ 論爭을 벌였던 건 익히 알려진 事實이다. 라이프니츠로부터 인정받았던 스위스 數學者 요한 베르누이는 1969年 最小 降下 曲線 問題를 學會誌에 公開했다. 스승을 代身해 뉴턴을 狙擊하려 한 것이다. 自尊心이 傷한 뉴턴은 베르누이가 2週에 걸쳐 푼 問題를 고작 12時間 만에 깔끔하게 풀어냈다. 外國人에게 놀림받는 것을 좋아하지 않는다는 말과 함께 匿名으로 回信을 보냈다. 當然히 베르누이는 뉴턴이 보낸 書信이라는 事實을 바로 알아차렸고, 獅子는 발톱만 봐도 알 수 있다며 感歎했다. 여기서 最短 時間이 걸리는 經路가 바로 사이클로이드라는 曲線을 基盤으로 한다.

頭痛마저 잊게 한 幾何學의 아름다움

바퀴가 처음 만들어진 건 紀元前 3500年 무렵 메소포타미아 文明의 수메르人들이 나무板子 조각을 못으로 連結하면서부터였다. 사이클로이드 曲線 亦是 오래前 바퀴 發明과 함께 世上에 나왔을지도 모른다. 사이클로이드(cycloid)는 바퀴(wheel)라는 뜻의 古代 그리스어(kuklos)에서 由來했으며, 直線 위에서 回轉하는 바퀴에 놓인 한 點이 그리는 曲線을 말한다. 여기서 바퀴에 該當하는 원은 사이클로이드의 生成院(generating circle)이며, 生成院의 半지름과 回轉하는 角度로 새롭고 獨特한 曲線을 쉽게 그려낼 수 있다. 사이클로이드 曲線은 얼핏 호빵처럼 넓적한 模樣이 反復되는 形態지만, 生成院의 움직임과 比較하면 移動하는 距離에 따라 角度는 一定 패턴에 따라 變한다는 것을 確認할 수 있다.



프랑스 數學者 샤를 드 不벨은 1501年 처음으로 원 넓이를 求하는 過程에서 圓 위 한 點에 依해 生成된 曲線을 活用했다. 이탈리아 物理學者이자 天文學者 갈릴레오 갈릴레이는 이러한 曲線을 사이클로이드라고 처음 부르기 始作했다. 曲線 아랫部分 넓이를 計算해보면 生成院 넓이의 3倍가 된다는 事實도 直觀的으로 알아냈다. 事實 微積分學이 世上에 나오기 前이라 證明 自體는 어려운 일이었다. 1634年 프랑스 數學者 質 드 로베르發이 두 平面圖形의 任意의 같은 높이에서 平行한 直線으로 생기는 두 線分의 비가 넓이의 比와 같다는 ‘카발리에리(이탈리아 數學者)의 原理’를 통해 數學的으로 證明했다. 이렇게 해서 얻게 된 結果를 로베르發議 證明이라 부르고 있다.

사이클로이드 曲線의 길이가 生成院 지름의 4倍라는 事實 亦是 微積分學이 없어 證明하기 어려웠지만, 英國 建築家 크리스토퍼 렌은 幾何學的 方式만을 使用해 證明해냈다. 數學 歷史에서 가장 有名한 曲線을 하나 고르자면 恒常 사이클로이드 曲線이 包含될 程度로 人氣 많은 對象이었기에, 여기에 接線을 그리거나 넓이를 求하는 다양한 方式을 苦悶한 數學者가 正말 많았다.

네덜란드 物理學者 크리스티안 下違憲스 亦是 그中 한 名이었다. 當時 一定 週期로 움직이는 振子를 만들기 爲해 振子가 움직이는 軌跡을 普通 圓의 形態로 設計했는데, 그는 꼼꼼히 計算한 結果 圓이 아니라 사이클로이드 曲線이 돼야 한다는 事實을 알아냈다. ‘人間은 생각하는 갈대’라는 말을 남긴 프랑스 哲學者이자 數學者 블레즈 파스칼은 1658年 잠도 제대로 못 잘 程度로 極甚한 頭痛에 시달리고 있었다. 괴로움을 呼訴하던 그는 어느 날 사이클로이드 曲線을 마주하게 됐는데, 아름답고 신비로운 曲線에 魅了돼 頭痛도 잊고 硏究에 沒頭하기 始作했다. 當時 사이클로이드는 古代 그리스 美女의 이름에서 따와 ‘幾何學의 헬렌(Helen of geometry)’으로 불릴 程度였다. 勿論 사이클로이드 曲線이 魅力的인 幾何學의 結晶體인 것도 맞지만, 트로이 戰爭을 일으킨 헬렌의 美貌처럼 사이클로이드 曲線을 硏究하는 過程에서 數學者들끼리 숱한 論爭이 벌어진 바 있다. 이러한 過程에서 깊이 있는 微積分學 應用과 幾何學의 擴張이 일어났고, 많은 數學者가 사이클로이드의 다양한 變形과 獨自的 接近 方法을 導出해냈다.

生活 곳곳에 適用된 사이클로이드 曲線

直線은 두 點 사이를 가장 짧은 거리로 連結한 線이다. 이러한 定義는 次元이 바뀌면 意味가 없지만, 같은 次元이라면 種種 數學에서 絶對的 基準으로 쓰인다. 가장 짧은 落下 時間을 갖는 最小 降下 曲線도 마찬가지다. 이러한 定義들을 土臺로 사이클로이드 曲線이 갖는 다양한 特性을 確認하는 것이 可能하며, 周邊 日常生活에도 쉽게 適用할 수 있다.

워터파크에 흔히 있는 워터슬라이드에도 사이클로이드 曲線이 適用된다. 搭乘者가 初盤에 體感하는 重力은 單純히 直線으로 만들어진 미끄럼틀에 비해 크기 때문에 매우 빠르게 내려오다 後半部에는 慣性에 依해 速度가 거의 그대로 이어지게 된다. 맨몸으로 타는 緊張感과 더불어 速度까지 빠르니 재미있다.

워터슬라이드를 탈 때 가장 操心해야 하는 건 安全事故다. 앞서 出發한 搭乘者와 바로 뒤이어 出發한 搭乘者가 부딪치지 않도록 하는 게 매우 重要하다. 먼저 到着한 搭乘者가 워터슬라이드에서 完全히 빠져나가기 前까지는 다음 搭乘者가 出發하지 않아야 한다. 여기서도 사이클로이드 曲線의 同時 降下 曲線이라는 特性이 適用된다. 사이클로이드 曲線 위 어느 位置에서 出發해도 目的地에 到達하는 時點은 비슷하다는 事實을 알기에 자칫 잘못하면 衝突事故로 이어질 狀況에 미리 對備할 수 있는 것이다.

사이클로이드 曲線, 數學의 基本

錘가 달려 振幅과 無關하게 일정한 週期의 振子運動을 보여주는 振子時計 亦是 같은 原理다. 추는 줄의 摩擦力이나 空氣 抵抗 等 外部 要因을 除外하면 1回 往復 時間이 언제나 일정하게 維持된다. 이를 ‘振子의 等時性’이라 하는데, 特히 사이클로이드 曲線을 따라 움직이는 振子는 一般 單振子와 달리 振幅 크기와 關係없이 恒常 等時性을 만족시킨다.

大自然에 存在하는 生物體는 사이클로이드 曲線에 對한 理解를 바탕으로 進化해왔다. 禿수리나 매처럼 아주 높은 곳에서 먹이를 사냥하는 猛禽類는 사냥 成功率을 높이기 위해 우리가 배틀그라운드 게임 속 飛行機에서 뛰어내리는 經路와 똑같이 사이클로이드 曲線을 따라 滑降한다. 물속에서 最大限 빠르게 헤엄치고자 비늘 模樣이 사이클로이드 曲線 形態로 進化한 물고기들도 있다. 물이 가장 빠르게 흘러가는 方法을 이미 알고 있었기에 둥근 曲線 模樣 비늘을 빽빽하게 몸에 새긴 것이다.

過去 우리 祖上도 建築物에 사이클로이드 曲線을 活用했다. 德壽宮 같은 傳統 木造 建物은 빗물 때문에 썩을 것에 考慮해 지붕 기와를 사이클로이드 曲線 形態로 設計했다. 빗물이 가장 빠르게 떨어지다 보니 現在까지도 安全하게 保存될 수 있었다. 最近에는 自動車 減速器 效率性을 높이고자 사이클로이드 曲線에서 派生된 形態를 기어의 톱니바퀴 模樣에 活用하기도 한다. 그저 재미있고 簡單한 發見이라고만 생각했던 幾何學 形態가 이렇게 많은 곳에서 重要하게 쓰이고 있는 것이다.

基本에 忠實해야 한다는 말을 흔히 한다. 基本은 모든 것의 始作이기도 하지만, 다음 段階로 나아가려면 다시 돌아와 再整備해야 하는 終着點이자 臨時 據點이기도 하다. 바퀴에 찍힌 點에서 始作된 사이클로이드 曲線이야말로 數學의 基本 中 基本이지만, 생각지도 못한 다양한 곳에 活用되면서 어떤 形態의 曲線보다도 有名해졌다. 어쩌면 無限하게 反復되는 사이클로이드 曲線이야말로 基本에서 始作해 反復되는 모든 過程을 우리에게 끝없이 보여주는 數學的 裝置가 아닐까. 가장 빠르게 펼쳐지는 人生 내리막길에서도 사이클로이드 曲線을 記憶하자. 다시 反復되는 희망찬 未來의 出發點일지도 모른다.

_{軌道는… 연세대 天文宇宙學科 學部 및 大學院을 卒業하고 韓國天文硏究院 宇宙監視센터와 연세대 宇宙飛行制御硏究室에서 勤務했다. ‘軌道’라는 藝名으로 팟캐스트 ‘課長窓’, 유튜브 ‘안될과학’과 ‘투머치사이언스’를 進行 中이며, 著書로는 ‘軌道의 科學 虛勢’가 있다.}