熱力學
에서
맥스웰 關係式
(
英語
:
Maxwell relations
)이란
熱力學 퍼텐셜
들로부터 誘導되는 關係式이며, 두 個의 變數에 對한 熱力學 퍼텐셜의 二次導函數가 微分 順序에 關係없이 같음을 意味한다
正義
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Φ를 熱力學 퍼텐설,
와
를 熱力學 퍼텐셜의
自然變數
라 하면, 맥스웰 關係式은 다음과 같다.
자주 使用되는 4個의 맥스웰 關係式은 다음과 같다.
여기서 各 퍼텐셜과 그 自然變數는 아래와 같다.
- :
內部 에너지
- :
엔탈피
- :
헬름홀츠 自由 에너지
- :
기브스 自由 에너지
誘導
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맥스웰 關係式은 函數들 各各에 關聯해 가장 便한 獨立 變數들을 통해서 쓰게 된다.
內部 에너지
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S와 V가 獨立變數日 때,
라고 쓰고 數學的으로 表現하게 되면
여기에서 dS와 dV의 對應하는 곁數는 같게 되어야만 하므로
이것은 이제 U에 對한 導函數는 그 微分順序와는 無關하다는 것을 利用하면 된다.
이것을 바꾸면,
이것을 整理하면
엔탈피
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이제 S와 P가 獨立變數日 때,
라고 쓰고 이것을 조금 바꾸면
여기서 H는 엔탈피이다. 이제 위에서와 같이
여기에서 dS와 dp의 對應하는 곁數는 같게 되어야만 하므로
이것은 이제 H에 對한 導函數는 그 微分順序와는 無關하다는 것을 利用하면 된다.
이것을 整理하면 다음의 關係式이 나온다.
헬름홀츠 自由 에너지
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다음으로 T와 V가 獨立變數日 때,
또는
라고 쓸 수 있는데, 여기서 A는
헬름홀츠 自由 에너지
이다. 이제 위에서와 같이
여기에서 dT와 dV의 對應하는 곁數는 같게 되어야만 하므로
이것은 이제 F에 對한 導函數는 그 微分順序와는 無關하다는 것을 利用하면 된다.
이것을 整理하면 다음의 關係式이 나온다.
깁스 自由 에너지
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다음으로 T와 p가 獨立變數日 때,
또는
라고 쓸 수 있는데, 여기서 G는
기브스 自由 에너지
이다. 이제 위에서와 같이
式을 比較하면,
이것은 이제 A에 對한 導函數는 그 微分順序와는 無關하다는 것을 利用하면 된다.
이것을 整理하면 다음의 關係式이 나온다.