統計力學
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v t e

統計力學 에서 맥스웰 - 볼츠만 統計 ( Maxwell?Boltzmann statistics )는 量子 效果를 勘案하기에는 微微할 程度로 溫度가 높고 密度가 낮은 境遇에 한해 熱的 坪型 狀態에서 다양한 粒子의 統計的 分布를 說明한다.

槪念 [ 編輯 ]

各 狀態에 있는 모든 알갱이 數에 對하여 合하여야만 한다. 卽 各 r에 對해서 ${\displaystyle n_{r}=0,1,2,3,\dots }$ 인데 固定된 總 알갱이 數에 對해 다음의 制限式을 따라야만 한다.

${\displaystyle \sum _{i}N_{i}=N\,}$

그런데 알갱이는 區別할 수 있는 것으로 또한 생각을 한다. 그러므로 다른 狀態에 있는 두 알갱이의 어떤 順列은 비록 數 ${\displaystyle \{n_{1},n_{2},n_{3},\dots \}}$는 바뀌지 않은 채로 남아 있지만 氣體 全體의 區別되는 狀態로 세어야만 한다. 이것은 各 한-알갱이 狀態에 얼마나 많은 알갱이가 있는가를 明示하는 것이 充分하지 못해서가 아니라, 어느 狀態에 있는 알갱이가 있는가를 明示하는 것이 必要하기 때문에 그렇다.

큰 分布函數 [ 編輯 ]

${\displaystyle Z_{G}^{MB}=\prod _{k=1}^{\infty }\exp(ze^{-\beta \epsilon _{k}})}$

여기서 ${\displaystyle z=e^{\beta \mu }}$이다.

큰 分配함수는 다음과 같이 證明할 수 있다.

${\displaystyle Z_{G}^{MB}=\sum _{n_{k}}{\frac {1}{n_{1}!n_{2}!\cdots }}(e^{-\beta (\epsilon _{1}-\mu )})^{n_{1}}(e^{-\beta (\epsilon _{2}-\mu )})^{n_{2}}\cdots }$

${\displaystyle =\prod _{k=1}^{\infty }\sum _{n_{k}=0}^{\infty }{\frac {1}{n_{k}!}}e^{-\beta (\epsilon _{k}-\mu )^{n_{k}}}}$

${\displaystyle =\prod _{k=1}^{\infty }\sum _{n_{k}=0}^{\infty }{\frac {1}{n_{k}!}}(ze^{-\beta \epsilon _{k}})^{n_{k}}}$

${\displaystyle =\prod _{k=1}^{\infty }exp(ze^{-\beta \epsilon _{k}})}$

占有수 [ 編輯 ]

맥스웰-볼츠만 統計에 따르면, 狀態 i 에 놓여 있는 粒子의 占有數는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}}}={\frac {g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}}{Z}}}$

${\displaystyle N_{i}}$ : 狀態 i 에 놓인 粒子의 占有수

${\displaystyle \epsilon _{i}}$ : 狀態 i 에서의 에너지

${\displaystyle g_{i}}$ : 狀態 i 에서의 겹침

μ : 化學 퍼텐셜

k  : 볼츠만 常數

T  : 絶對溫度

N  : 總 粒子數

${\displaystyle N=\sum _{i}N_{i}\,}$

같이 보기 [ 編輯 ]

• 보즈-아인슈타인 統計
• 페르미-디랙 統計