統計力學
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v t e

統計力學 에서 보스 - 아인슈타인 統計 ( Bose?Einstein statistics )는 熱的 坪型 에 이르렀을 때 識別 不可能한 보스 粒子 들의 統計的 分布를 決定한다.

槪念 [ 編輯 ]

보스 粒子는 페르미 粒子와는 다르게, 파울리 排他 原理 에 影響을 받지 않는다: 無數한 粒子들이 같은 時間에 같은 狀態를 가질 수 있다. 이는 낮은 溫度에서 왜 보스 粒子가 페르미 粒子와 달리 바닥 狀態에 모든 粒子가 모이는지(이러한 樣相을 보스-아인슈타인 凝縮 理라 한다) 말해준다.

보스-아인슈타인 統計는 光子 의 境遇에 한해 1920年에 보스 에 依해 紹介되었고, 1924年에 아인슈타인 에 依해 一般的인 粒子들의 境遇로 一般化되었다.

歷史 [ 編輯 ]

1920年代 初盤, 다카 大學校 의 敎授였던 사티엔드라 나트 보스 는 알베르트 아인슈타인 의 光子 假說에 興味를 보였다. 보스는 막스 플랑크 가 主로 推測에 依해 얻어낸 플랑크 複寫 公式을 證明하는 데 關心을 보이고 있었다. 1900年에 막스 플랑크 는 經驗的인 證據를 바탕으로 그의 公式을 이끌어냈다. 보스는, 아인슈타인의 粒子 圖案을 따라, 억지로 粒子 數를 保存시키지 않고도 무質量 粒子의 統計를 體系的으로 具現하여, 複寫 公式을 證明할 수 있었다. 보스는 다른 狀態의 光子를 提案하여 플랑크의 複寫 公式을 證明해냈다. 보스는 統計的으로 獨立된 粒子 代身에 낱칸에 粒子를 넣고 統計的으로 獨立된 位相 空間 相議 낱칸들을 생각해냈다. 이러한 體系는 두 境遇의 偏極 狀態를 許容하고, 總體的으로 對稱 敵人 波動函數 를 나타낸다.

보스는 유럽에서 그의 論文을 發表하려 하였으나 어려움을 겪었다. 보스는 自身의 論文을 아인슈타인에게로 보냈고, 아인슈타인의 도움으로 보스는 論文을 獨逸의 有名 저널인 《차이트슈리프트 퓌어 퓌지크》( Zeitschrift fur Physik )에 出版할 수 있었다. ^[1]

큰 分配函數 [ 編輯 ]

${\displaystyle Z_{G}^{BE}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-ze^{-\beta \epsilon _{k}}}}}$

여기서 ${\displaystyle z=e^{\beta \mu }}$이다.

큰 分配함수는 다음과 같이 證明할 수 있다.

${\displaystyle Z_{G}^{BE}=\sum _{n_{1},n_{2},\cdots =0}^{\infty }e^{-\beta (\epsilon _{1}-\mu )^{n_{1}}}e^{-\beta (\epsilon _{2}-\mu )^{n_{2}}}\cdots }$

${\displaystyle =\prod _{k=1}^{\infty }\sum _{n_{k}=0}^{\infty }e^{-\beta (\epsilon _{k}-\mu )^{n_{k}}}}$

${\displaystyle =\prod _{k=1}^{\infty }\sum _{n_{k}=0}^{\infty }(ze^{-\beta \epsilon _{k}})^{n_{k}}}$

${\displaystyle =\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-ze^{-\beta \epsilon _{k}}}}}$

占有수 [ 編輯 ]

狀態 i 에 놓여 있는 粒子의 占有數는,

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}-1}}}$

여기서 ${\displaystyle \varepsilon _{i}>\mu }$이고,

n _i  는 狀態 i 에 놓인 粒子의 占有수

g _i  는 狀態 i 에서의 겹침

ε _i  는 狀態 i 에서의 에너지

μ 는 化學 퍼텐셜

k 는 볼츠만 常數

T 는 絶對溫度

에너지가 ${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \gg kT}$일 때, 위의 식은 맥스웰-볼츠만 統計 를 따른다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 맥스웰-볼츠만 統計
• 페르미-디랙 統計

參考 文獻 [ 編輯 ]