일러스트레이션 김충민 記者 kcm0514@donga.com
金在鎬 科學評論家
心證은 있는데 物證이 없는 事件. 分明히 犯人이 맞는데 證明할 길이 없다면 結局 無罪가 된다. 數學의 難題들도 마찬가지다. 지난달 리만 假說이 全 世界를 떠들썩하게 했다. 英國의 數學者 마이클 아티야 敎授가 리만 假說을 證明했다고 主張했기 때문이다. 하지만 160年 동안 그 누구도 풀지 못한 리만 假說은 이番에도 證明되기 힘들다는 게 衆論이다. 리만 假說은 少數의 規則性을 確信하나 證明되지 못한 難題이다. 더욱 重要한 건 少數가 無限히 生成된다는 點이다.
少數 解明은 모든 數學者의 永遠한 꿈이다. 小數의 個數가 無限하다는 것은 이미 證明됐다. 歸謬法으로 말이다. 小數의 個數가 有限個라고 假定하고 거기에 1을 더해보자. 그 數는 有限個인 少數로 나누어 떨어지지 않는 數字(少數)가 된다. 卽, 家庭에 矛盾이 생기기 때문에 少數는 無限個인 것이다. 유클리드는 幾何學 原論에서 小數의 個數는 이미 알려진 小數의 個數보다 많다고 確信했다.
數學者 카를 프리드리히 가우스(1777∼1855)는 少數들에 숨어 있는 規則을 發見하는 건 쉽지만 왜 그런지 證明하기는 엄청 어렵다고 했다. 例를 들어 直觀的으로 少數가 繼續 나타나는 건 알겠으나 왜 그렇게 나타나는지는 알 길이 없다. 實際로 가우스는 少數의 分布와 로그函數의 相關關係를 밝혀냈으나 證明이 되지 않아 바로 發表하지 않았다. 또 슈퍼컴퓨터는 메르센 少數 等 그 값이 天文學的으로 큰 數가 少數인지 아닌지 確認하는 데 卓越하다. 그러나 少數의 發見에 規則이 있는지 슈퍼컴퓨터든 人間이든 證明하진 못한다. 現象을 發見하는 것과 왜 그런 現象이 나타나는지 證明하는 건 次元이 다른 얘기다.
아직 풀리지 않은 ‘골드바흐의 推測’은 直觀的으로 분명하다. 2보다 큰 짝數는 2個의 素數의 合으로 標示할 수 있다. 假令 10=3+7 或은 10=5+5이다. 卽, 어떤 큰 짝數라도 두 個의 홀數인 素數의 合으로 나타낼 수 있다. 이는 歸納的으로 確認한 것뿐이다. 허나 現在 證明은 不可能하다.
1859年 가우스의 弟子였던 베른하르트 리만(1826∼1866)은 少數의 祕密을 풀 수 있는 假說을 提案한다. 그는 少數에 規則性이 있다고 確信했다. 그런데 不規則的으로 나타나는 少數의 패턴이 少數들의 直接的인 間隔이 아니라 다른 次元의 數의 集合에 있다고 생각했다. 假令 學校에선 存在感마저 없던 學生이 學校 밖에서 天才性을 發揮하는 것과 마찬가지다. 그런데 이 學生은 特異하게도 0時 撞球場에서, 빨간 옷을 입은 狀態에서만 天才性을 發揮하는 것으로 밝혀졌다. 왜 그런지는 모른 채 말이다.
리만 假說은 제타 函數의 零點 問題를 다룬다. 簡單히 表現하면 제타 函數는 自然囚들을 거듭제곱한 값들의 逆數를 無限히 合한 것이다. 제타 函數의 入力 값이 1인 境遇는 各 項의 逆數가 일정한 差異를 이루는 調和級數다. 自然數를 모두 逆數로 만들어 더한다고 생각하면 된다. 따라서 제타函數는 無限級數다. 리만은 제타 函數의 零點에 基盤해 얼마나 많은 少數가 있고, 얼마만큼의 間隔으로 少數가 發生하며, 언제 少數의 發見이 停止되는지 計算하는 公式을 만들었다.
리만의 偉大함은 函數의 入力 값을 虛數가 包含된 複素數로 擴張했다는 點에 있다. 리만은 제타 函數 값이 0人 零點은, 卽 非自明的인 根들은 特定 線에 나타나는 것을 確認했다. 複素平面에서 失手 座標가 2分의 1人 地點이었다. 少數의 分布가 無秩序하지 않다는 證據다. 리만은 모든 零點이 이 特定 線에 놓여 있을 것이라고 假定했다. 이게 바로 里만 假說이다.
少數는 다양한 方式으로 表現이 可能하다. 少數는 다른 數를 만들어내는 바탕이 되는 수, 最高로 純粹한 數, 自己 自身보다 작은 두 數의 곱으로 表現되지 않는 수, 1과 自己 自身만 藥水로 갖는 數 等으로 定義된다. 少數는 2의 n제곱에서 1을 뺀 메르센 少數, 2의 2의 n제곱에서 1을 더한 페르마 少數, 서로의 差가 2人 雙둥이 少數 等 다양한 方式으로 存在한다. 特히 少數는 基本 粒子에 對比된다. 왜냐하면 小數가 아닌 數들을 일컫는 合成數(1을 뺀 나머지 自然數 中 少數가 아닌 數들)는 基本 粒子가 만들어낸 物質이기 때문이다. 이런 基本 粒子들이 無限하다고 想像해보자. 少數들이 모여 合成數가 되듯이 基本 粒子들이 모여 世界를 構成한다.
少數의 規則性을 밝혀내려는 努力은 無限의 槪念에 挑戰하는 것과 같다. 有限한 人間이 無限한 世界를 理解하려는 것이다. 노벨 文學賞 受賞 作家 조제 사라馬具는 混沌은 아직 解釋되지 않은 秩序라고 적었다. 少數의 規則은 혼돈스러워 보이나 아직 解釋되지 않은 宇宙의 秩序일 可能性이 높다.
金在鎬 科學評論家
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