“4次元 같다.” 種種 눈치 없고 怪짜 같은 사람에게 否定的 意味로 使用되지만, 普通은 엉뚱한 魅力을 가진 이를 이같이 表現한다. 次元이라는 單語는 이렇듯 日常生活에서 자연스럽게 登場한다. 萬若 物理學에서 次元이라는 用語가 나오면 都大體 무슨 말을 하는지 알 수가 없다. 次元이란 무엇이며, 어떻게 써야 할까.

次元이라는 槪念은 紀元前부터 存在했다. 古代 그리스 數學者 유클리드는 著書 ‘原論’을 통해 點, 線, 面, 立體를 各各 點은 部分이 없는 것, 線은 幅이 없는 길이, 面은 길이와 幅만 있는 것, 立體는 길이와 幅과 높이를 갖는 것으로 定義했다. 여기에 次元을 붙이면 點은 0次元, 線은 1次元, 面은 2次元, 立體는 3次元이 된다. 次元 앞에 붙는 數字의 意味부터 차근차근 알아보자.

“나는 생각한다. 故로 存在한다”고 말한 프랑스 哲學者 르네 데카르트는 무언가의 正確한 位置를 決定하고자 ‘座標’라는 槪念을 만들었다. 이는 임의 次元의 유클리드 空間을 나타내는 座標界 中 하나인데, 여기서 次元이라는 槪念이 登場한다. 簡單히 ‘次元’이란 한 點의 位置를 正確히 決定하는 데 必要한 數値의 個數다.

오직 點 하나만 存在하는 世上이라면 部分이 없는 點 안에서는 位置를 定할 수 없다. 그래서 點은 0次元이다. 하지만 線이 되면 基準點으로부터 다른 한 點의 距離를 알 수 있다. 最小限 하나의 數値만 있어도 位置를 決定할 수 있다는 얘기다. 그래서 先은 1次元이다.

茫茫大海 한가운데 혼자 떠 있다면 그곳이 어디인지 알 수 없다. 面에서는 갈 수 있는 方向이 두 가지라서 이제 數値가 2個 必要한 2次元이 된다. 같은 方式으로 높이가 包含된 立體는 3次元이다. 高層 아파트에 사는 먼 親戚 집을 찾아갈 때 아무리 地圖上 位置를 正確히 알아도 몇 層인지 모르면 到着할 수 없다. 여기서 우리가 認識할 수 없는 더 높은 次元으로 가면 宏壯히 複雜해지기 때문에 이쯤에서 各 次元의 特性을 比較하며 이야기해보자.



1次元 世界에 사는 개미가 있다고 假定하자. 曲線이건, 直線이건 線 위에 사는 개미의 눈에는 오직 선 끝 點만 보일 것이다. 2次元 世界에 사는 개미에게는 보이는 모든 것이 線이다. 원이든, 三角形이든 옆面에서 보면 全部 똑같은 善이기 때문이다. 우리가 사는 3次元 世界라면 모든 것은 面으로만 보인다. 마치 面 外에 다른 形態가 보이는 것 같아도 잘 생각해보면 全部 假想의 情報다. 피카소의 立體主義는 3次元 世上 속 對象을 눈에 보이지 않는 部分까지 包含된 여러 時點으로 그림을 그렸기에 有名해졌다. 當時로서는 엄청난 革新이었다.

그렇다면 3次元이 實際로 어떤 形態認知 全體的으로 볼 수 있는 方法은 없을까. 簡單하다. 4次元 以上 世上에서 3次元을 보면 된다. 우리가 낮은 次元의 點이나 線을 한番에 볼 수 있듯이, 4次元에서는 眞짜 立體를 볼 수 있을 것이다. 이제 4次元으로 가보자.

우리가 사는 世上이 몇 次元인지 確認하는 方法

過去에는 3次元에서부터 내려오는 形態로 次元을 想像했기에 유클리드는 立體의 끝은 面, 麵의 끝은 선, 線의 끝은 點이라는 表現을 썼다. 아쉽게도 그리스 哲學者 아리스토텔레스 亦是 “3次元이 넘는 次元은 없다”고 말했다. 하지만 프랑스 數學者 쥘 앙리 푸앵카레의 생각은 달랐다. 旣存과 反對로 次元을 定義한 그는 “끝이 0次元인 點이 되는 건 1次元이다”라고 말했다. 그렇다면 끝이 1次元인 선이라면 2次元, 끝이 2次元 面이라면 3次元이 되는 것이다. 이렇게 올라가면 끝이 3次元 立體가 되는 건 4次元이라는 새로운 次元이 된다. 繼續 이런 方式으로 가면 立體가 次元 꼭대기가 아니라, 더 높은 次元까지 얼마든지 올라갈 수 있게 되는 것이다.

點을 움직이면 선, 線을 움직이면 面, 面을 움직이면 立體, 그렇다면 立體를 움직이면 立體 다음 段階인 超立體가 登場한다. 다시 말해 線은 2個 點으로 둘러싸여 있으며 面은 4個 線, 立體는 6個 面으로 둘러싸여 있다. 그렇다면 簡單하다. 超正六面體 亦是 8個 正六面體로 둘러싸여 있으면 된다. 勿論 4次元 空間에서만 可能한 形態라서 現實에 存在하는 어떤 立體圖形度 8個 正六面體로 둘러싸일 수는 없다. 超正六面體 外에 다른 4次元 形態는 더 複雜하긴 하지만, 重要한 건 次元에 幾何學的으로 接近할 수 있다는 事實이다.

이제 우리 次元을 떠올려보자. 만져보면 立體感이 있고 보기에도 그렇지만, 果然 正말 3次元일까. 事實 우리는 現實 世界 빛을 통해 눈 안쪽 平平한 網膜에 맺히는 2次元 情報를 보고 있을 뿐이다. 物體의 賞은 平面이 되지만, 左右 眼球가 떨어진 만큼 相議 어긋남을 바탕으로 깊이라는 情報가 追加된다. 卽 우리가 3次元으로 보인다고 믿는 世上은 實際 存在하는 3次元이 아니라 腦에서 任意로 再構成된 假想의 3次元일 뿐이다.

스스로 說明할 수 있는 次元까지가 우리 世界

그렇다면 或是 世上이 2次元은 아닐까. 2次元과 3次元을 比較해 確認해보면 正確하다. 多幸히 2次元에는 存在하지 않고, 오직 3次元에만 存在하는 槪念이 있다. 바로 뚫린 구멍이다. 2次元 圖形 위에서 아래로 구멍을 뚫으면 그저 2個 圖形으로 나뉠 뿐이다. 하지만 3次元에서는 도넛 模樣으로 뚫린 구멍이 可能하다. 우리가 사는 次元이 몇 次元인지에 對한 여러 假說이 있지만, 萬若 2次元이었다면 現在 우리 몸과 같은 構造는 不可能하다. 位相數學(空間 속 物體의 點, 線, 面 等 特性을 土臺로 位置와 形象을 探究하는 數學의 한 分野)的으로 입부터 肛門까지 뚫려 있기 때문에 진즉에 몸이 둘로 나뉘었을 테니까.

一旦 3次元 世界에 살고 있다 假定하고, 더 高次元일 境遇도 알아보자. 萬若 3次元 區가 自己 世界로 2次元 원을 데려가면 果然 圓이 그 世界를 理解할 수 있을까. 2次元 存在는 3次元 物體의 斷面밖에 볼 수 없기에 알고 있는 單語로 最善을 다해 보이는 것들을 說明한다 해도 制限的일 수밖에 없다. 그래서 우리도 亦是 스스로 說明할 수 있는 次元까지를 우리 世界라고 본다. 勿論 여기에 時間 次元이 빠져 있다. 우리가 4次元이라 부르는 時空間은 3次元 空間과 1次元 時間 次元을 더한 結果다. 그런데 굳이 왜 時間 次元은 1次元일까. 時間 次元이 2次元 以上이라면 過去와 未來가 만나는 境遇가 發生한다. 過去와 未來가 섞여 區分할 수 없게 되면서 當然하게 생각하던 因果關係가 全部 틀어진다. 그래서 時間은 空間처럼 자유롭게 移動할 수 없으며, 오직 하나의 方向性을 갖고 한쪽으로만 移動할 수 있다. 이게 現在까지 우리 世界 次元을 가장 正確하게 說明하는 內容이다.

直線은 두 點 사이를 잇는 길이가 最小인 線으로 定義된다. 反對로 曲線은 最小가 아닌 線이다. 매우 明確한 이야기처럼 들리지만 事實 次元이 달라지면 結果도 달라진다. 두 點이 찍힌 具를 2次元으로 보면 直線은 球의 表面을 따라 휘어서 지나가는 線이다. 하지만 3次元에서 길이가 最小인 線을 그리면 具를 뚫고 지나간다. 卽 直線이라는 定義조차 우리가 屬한 次元에 따라 달라질 수 있는 것이다. 絶對的 正義가 存在하지 않는 狀況에서 우리는 어떠한 똑바름이나 휘어짐도 알아챌 수 없다. 그렇다고 抛棄할 수는 없다. 宇宙가 얼마나 휘었는지를 通해 빅뱅 以後 우리가 어떻게 現 構造를 이루게 됐는지를 推測할 수 있기 때문이다. 그래서 宇宙의 曲率을 求하는 건 人類에게 매우 重要한 問題다.

直線 正義가 次元에 따라 變한다는 事實을 認定하는 瞬間, 우리는 永遠히 宇宙의 曲率을 求할 수 없게 돼버릴지도 모른다. 如前히 宇宙가 몇 次元인지조차 正確히 모르는 슬픈 知的 生命體이기 때문이다. 그럼 어떻게 해야 할까. 알베르트 아인슈타인은 우리가 사는 4次元 時空間이 果然 絶對的인지 質問을 던졌다. 觀測하는 사람의 觀點에 따라 時空間은 늘어나거나 줄어든다. 이게 바로 相對性理論이다. 그리고 여기는 多幸히 어떠한 狀況에서도 變하지 않는 빛이라는 하나의 絶對的 基準이 存在한다. 自然系에서 가장 重要한 건 두 點을 잇는 길이가 最小인 線이며, 오직 眞空 속 빛은 一般的인 狀況에서 흔들리지 않고 完璧한 直線을 表現할 수 있다. 그래서 天文學者들은 宇宙의 曲率을 求할 때 宇宙背景輻射라는 빛을 利用한다. 또한 如前히 쉽지 않은 次元에 對한 理解도를 높이고자 멈추지 않고 努力하고 있다.

正四角形이 認識한 3次元 世上

1884年 英國 빅토리아 時代 言語學者이자 神學者 에드윈 애보트는 最初 SF ‘플랫랜드’(Flatland: A Romance of Many Dimensions)를 大衆에게 선보였다. ‘多次元의 로맨스’라는 副題가 붙은 이 小說은 正四角形이 經驗한 3次元 世上에 對한 手記다. 簡單한 內容은 다음과 같다. 납작한 2次元 世上에서 살아온 存在가 3次元 世上을 接한 뒤 다시 돌아와 自己 經驗談을 말한다. 그러다 不穩한 思想을 傳播한다는 理由로 終身刑을 宣告받는다. 그만큼 次元에 對한 槪念은 說明하기 쉽지 않고, 누구에게도 이해시킬 수 없다는 이야기다.

美國의 偉大한 科學小說家 아이작 아시모프는 이 冊 美國版 序文에서 이렇게 評했다. “우리가 아는 限, 空間의 여러 次元을 認識하는 方法을 가장 잘 紹介한 作品이다. 單純히 幾何學의 知識을 才致 있고 재미있게 다룬 것이 아니라, 宇宙와 우리 自身에 對한 깊이 있는 思索까지 담고 있는 한 篇의 學位論文과 같은 小說이다”라고.

次元이란 人類의 思考를 뛰어넘는 槪念이다. ‘플랫랜드’의 正四角形은 그나마 本人이 다녀온 3次元 世上의 經驗을 土臺로 이야기를 꺼낼 수 있었지만, 우리는 오직 科學的 思考만으로 미처 가보지도 못한 高次元 世界를 想像하고 關聯 假說들을 만들어내고 있다. 事故를 뛰어넘는 槪念을 思考한다는 것, 이게 바로 次元보다 偉大한 科學者들의 끈질긴 執念이다.

_{軌道는… 연세대 天文宇宙學科 學部 및 大學院을 卒業하고 韓國天文硏究院 宇宙監視센터와 연세대 宇宙飛行制御硏究室에서 勤務했다. ‘軌道’라는 藝名으로 팟캐스트 ‘課長窓’, 유튜브 ‘안될과학’과 ‘투머치사이언스’를 進行 中이며, 著書로는 ‘軌道의 科學 虛勢’가 있다.}