論題 1. 抛物線과 雙曲線은 模樣이 비슷하지만 서로 다른 性質을 갖는 曲線이다. 그 類似點과 差異點에 對하여 說明하시오.

먼저 抛物線과 雙曲線의 類似點은 첫째, 같은 圓뿔을 利用하여 자른 斷面에 依하여 派生한 曲線이라는 點, 둘째 式으로 表現할 때 二次方程式 으로 表現할 수 있다는 點이다. 이에 反하여 差異點은 첫째, 圓뿔의 밑面과 母線이 이루는 角을 , 圓뿔의 밑面과 圓뿔을 자르는 平面이 이루는 角을 라 하면 抛物線은 일 때 平面이 아래, 위의 두 圓뿔 中 어느 하나와 만나게 되므로 抛物線은 1個의 曲線이고 焦點(抛物線의 正義上의 頂點)李 1個인 데 反하여, 雙曲線은 일 때는 平面이 두 圓뿔과 만나게 되므로 雙曲線은 2個의 曲線으로 되어 있고 焦點이 2個라는 點이다. 둘째, 二次方程式 에서 抛物線은 또는 일 때 抛物線의 式이 되고 AB〈0 일 때 雙曲線의 式이 된다. 셋째, 幾何學的으로 雙曲線에는 漸近線이 存在하지만 抛物線에는 漸近線이 없다.

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論題 2. 天文 觀測用 反射望遠鏡 中 하나인 카세그레認識 望遠鏡(Cassegrain's Telescope)은 抛物線과 雙曲線의 反射性質을 利用하여 아래의 그림과 같은 構造로 만들어졌다. 이처럼 抛物線과 雙曲線에서 反射性質이 成立하는 理由를 說明하시오.

카세그레認識 望遠鏡의 救助는 抛物線面 反射鏡은 駐거울로, 雙曲線面 反射鏡은 不거울로 構成되어 있다. 이 望遠鏡은 빛을 모으는 抛物線面 反射鏡의 中央에 작은 구멍을 뚫어 抛物線面 反射鏡으로 모은 빛을 焦點의 조금 앞쪽에서 不거울로 抛物線面 反射鏡 方向으로 反射시켜 中央 구멍에서 밖으로 나간 것을 接眼鏡으로 들여다보는 方式을 가지고 있다. 다음 內容은 駐거울의 抛物線面 反射鏡에서와 不거울의 雙曲線面 反射鏡에서 빛이 反射되는 原理이다.

<1> 駐거울의 抛物線面 反射鏡에서 빛의 反射

아래 그림(가), (나)는 無限히 먼 光源으로부터 x軸에 나란하게 들어온 光線이 抛物線面 反射鏡의 焦點 F에 모이는 理由를 說明하고 있는 그림이다.

그림(가)의 四角形 ABCF는 平行四邊形이고 BC의 길이와 CF의 길이가 같으므로 對角線 AC는 各 BCF를 二等分한다. 따라서 線分 BC를 x軸에 平行하게 延長하였을 때 點 C에서의 法線(點線으로 標示)과 이루는 角(β)은 線分 CF와 法線이 이루는 各科 같다.

그러므로 그림 (나)와 같이 x軸에 나란하게 入射된 모든 빛은 抛物線의 反射鏡에서 反射하면 反射의 法則(入射角=反射角)에 依해 焦點 F에 모여들게 된다.

빛은 逆方向으로도 同一한 經路를 가지므로, 抛物線面 反射鏡으로 만들어진 自動車 前照燈에서 나온 光線도 퍼지지 않고 抛物線 軸에 나란하게 進行하게 된다.

<2> 不거울의 雙曲線面 反射鏡에서 빛의 反射

그림 (다)는 無限히 먼 光源으로부터 焦點 F를 向해 들어온 光線이 雙曲線面 反射鏡에서 反射하여 焦點 F에 모이는 理由를 說明하고 있는 그림이다.

그림(다)에서 雙曲線 위의 任意의 한 點에서 그은 接線 T의 接點을 두 焦點 F, F'와 連結한 線 Q, R이 이루는 覺은 接線 T에 依해 二等分된다.

따라서 接線 T에 手織하게 세운 法線 N과 선 R, Q가 各各 이루는 各 (b)는 같으므로 無限히 먼 光源으로부터 焦點 F를 向해 入社하는 모든 빛은 雙曲線面의 反射面에서 反射의 法則(入射角=反射角)에 依해 反對便 焦點 F'로 모여들게 된다.

■ 問項3

論題 1. 萬若 밝기가 一定한 별들이 宇宙 空間에 均一하게 分布하고 있다면, N（〈m）李 어떻게 주어지는가를 생각해 보고, 이를 바탕으로 위의 그림에서 觀測된 結果에 對해 說明하시오.

별의 밝기는 한 等級이 커질 때 倍 어두워지고, 距離의 제곱에 反比例하므로 별까지의 距離가 倍 멀어지면 實視等級이 한 等級 커지게 된다. 萬若, 별들이 宇宙에 均一하게 分布되어 있다는 假定下에서, m等級보다 밝은 별의 總帥 N（〈m）李 半지름 r인 空間 內에 存在한다면, m+1等級보다 밝은 별의 總 數 N（〈m+1）는 半지름이 人 空間 內에 存在하게 된다. 密度가 같으면 밝은 별들의 個數의 比는 두 별이 차지하는 空間의 부피比가 되므로 이다.

卽, 별의 密度와 밝기가 均一하다고 假定하면 實視 等級 m+1보다 밝은 별의 數가 m等級보다 밝은 별의 數의 倍가 된다. 위 式의 兩邊에 로그를 取하면, 이 된다.

卽, 가로軸을 實視 等級, 세로軸을 logN（〈m）으로 놓으면, 가로軸이 1等級 增加할 때마다 세로軸은 3/5씩 增加하므로 그래프는 直線의 形態가 나타나야 한다. 그런데, 實際 觀測 資料에서 直線의 形態가 나타나지 않고 그래프의 기울기가 減少하는 傾向을 보여주고 있는데 이것은 等級이 클수록 卽, 距離가 멀수록 計算에 依해 豫測된 값보다 별이 어둡게 觀測된다는 것을 의미하고 있다. 等級이 커질수록 그래프의 기울기가 좀 더 減少하고 있는 데, 이것은 距離가 먼 天體일수록 距離가 가까운 天體보다 좀 더 많이 어두워지는 것으로 解釋된다.

이것은 宇宙의 膨脹으로 인하여 먼 銀河에서 오는 빛이 赤色 便이 때문에 稀微해지기 때문에 나타나는 現象으로 보여진다. 그리고 距離가 먼 天體일수록 좀 더 많이 어두워지는 것으로 나타나는 것은, 먼 銀河일수록 後退 速度가 커 赤色 便易가 크게 나타나므로 별빛이 弱해지는 現象이 더 커지기 때문에 나타나는 現象이다. 위의 觀測 結果는 별의 밝기가 一定하고, 별의 分布가 일정하다는 假定下에서 宇宙가 膨脹하고 있고, 먼 銀河일수록 좀 더 빠른 速度로 後退하고 있다는 것을 보여주고 있다.

論題 2. 萬若 사람의 눈이 只今보다 밝기에 敏感하여 1等級과 6等級 별의 밝기의 差異가 100倍가 아닌 10倍였다면, (나)의 觀測 結果는 어떻게 달라졌을지 論述하시오.

사람의 눈이 좀 더 敏感하여 5等級 差異일 때 밝기의 差異가 10倍라면 한 等級이 커질 때 별의 밝기는 倍 어두워질 것이다. 이때 별의 밝기는 距離의 제곱에 反比例하므로 별까지의 距離가 倍 멀어지면 實視等級이 한 等級 커지게 될 것이다. 위 問題와 同一한 假定下에서, m等級보다 밝은 별의 總帥 N(〈m)이 半지름이 r인 空間 內에 存在한다면, m+1等級보다 밝은 별의 總 數 N(〈m+1)는 半지름이 人 空間 內에 存在하게 된다. 밝은 별들의 個數의 比는 두 별이 차지하는 空間의 부피比가 되므로

이다. 卽, 별의 密度와 밝기가 均一하다고 假定하면 實視 等級 m+1보다 밝은 별의 數가 m等級보다 밝은 별의 數의 倍가 된다. 위에 주어진 대로 兩邊에 臺數를 取하면, 이 되어, 그래프의 기울기가 觀測된 資料의 折半이 될 것이다.

■ 問項5

論題 1. 哺乳類 中 人間의 可聽 周波數는 約 20Hz부터 20,000Hz라고 한다. 그런데 코끼리는 人間보다 더 낮은 周波數의 소리를 들을 수 있고, 쥐는 人間보다 더 높은 周波數의 소리를 들을 수 있다고 알려져 있다. 哺乳類의 귀의 構造가 서로 비슷하고 但只 크기만 다르다고 假定했을 때, 코끼리가 人間보다 낮은 周波數의 소리를, 쥐는 人間보다 높은 周波數의 소리를 들을 수 있는 理由를 說明하시오.

소리를 認知하는 데 귀의 크기는 크게 重要한 要因이 아니다. 코끼리의 귀가 큰 理由는 實質的으로 더 큰 目的이 體溫 調節에 있기 때문이다. 勿論 귀가 크면 소리를 效果的으로 모으는 데 役割을 하는 部分이 있긴 하지만 이는 소리의 세기와 관계있는 部分이며, 動物들마다 可聽 周波數 領域代가 엄청난 差異를 보이는 것은 귀의 크기와 關係性을 찾기 어렵다.

動物마다 다른 領域代의 周波數를 感知할 수 있는 理由를 크게 두 가지의 可能性으로 얘기해 보고자 한다. 첫째는 鼓膜의 特殊性을 생각해 볼 수 있다. 소리가 들리는 過程은 音波의 程度에 따라 鼓膜의 振動으로 始作된다. 이 鼓膜의 振動이 聽小骨로 傳해져 卵圓窓을 때리면 달팽이管의 림프에 波動이 誘發되어 基底膜을 움직이게 되고, 基底膜의 振動이 乳母細胞의 털을 刺戟하게 되면 털이 구부러지면서 細胞에 受容器 前衛를 誘發하게 되는 것이 大腦에서 소리를 認識하게 되는 原因이라고 할 수 있다. 卽 鼓膜의 振動이라는 始作이 없으면 소리를 듣는 것은 不可能하다. 그렇기 때문에 코끼리와 같은 動物의 鼓膜은 낮은 周波數에도 振動을 誘發할 수 있는 고막 構造를 가지고 있지 않은가 하는 斟酌이 可能하다. 하지만 이것만으로는 높은 周波數의 소리를 못 들을 만한 특별한 理由를 提示하는 것은 어렵다.

따라서 決定的인 原因으로 豫想되는 두 番째 理由는 動物의 種類에 따라 소리의 周波數(높낮이)에 反應하는 乳母細胞의 種類와 多樣性이다. 사람의 달팽이管 內部의 構造를 보면 高音에 反應하는 乳母細胞가 있는 位置와 低音에 反應하는 乳母細胞의 位置가 確然히 區別된다. 周波數의 差異는 基底膜의 振動을 다르게 誘發시키게 되는데 이때 基底膜의 振動 程度에 따라 刺戟받는 乳母細胞가 달라지기 때문에 소리의 높낮이 與否를 認知할 수 있는 것이다. 卽 코끼리는 사람에 비해 낮은 周波數(振動)에도 反應하는 乳母細胞가 發達되어 있고 쥐는 높은 周波數(振動)에 反應하는 乳母細胞가 훨씬 다양하게 發達되어 있기 때문에 各各 다른 周波數 領域代의 소리를 듣는 것이 可能하다는 것을 斟酌할 수 있다.

論題 2. 西洋音樂 7音 音階를 피아노로 연주해 보면 中間 度(C) 陰과 한 옥타브 위의 도 音은 많이 떨어져 있지만 우리의 귀에 비슷하게 들리고(옥타브 同齒性), 도 陰과 바로 옆의 레(D) 音은 가까이 있음에도 不拘하고 全혀 다르게 느껴지는데 그 理由를 說明하시오.

옥타브 同齒性 問題를 두 가지 可能性으로 接近해 볼 必要가 있다. 첫째는 소리의 波形 觀點에서의 接近이다. 소리를 區別하는 物理量에는 周波數와 세기 外에 派兄도 있다. 똑같은 도 音이라도 피아노 소리인지 바이올린 소리인지 區別할 수 있는 理由가 피아노 소리와 바이올린 소리의 波形이 다르기 때문이다. 사람의 腦는 여러 가지 波形을 記憶하고 있다가 腦에 貯藏된 波形과 一致하는 波形이 入力되면 發聲體가 무엇인지 또는 누구인지 알게 된다. 그래서 腦에 貯藏된 波形과 아주 비슷한 波形이 入力되면 間或 錯覺하는 境遇도 있는 것이다.

모든 道 音은 비슷하게 들리지만 道 陰과 레 音이 다르게 들리는 理由도 모든 道 音은 波形이 서로 비슷하지만 道 陰과 레 音은 波形이 다르기 때문이라고 볼 수 있다. 어떤 사람이 여러 옥타브를 넘나들며 노래를 불러도 實際로 들을 때는 같이 사람이라는 걸 알 수 있다. 마찬가지로 中間 度 陰과 한 옥타브 위의 도 音은 振動數는 다르지만 波形은 비슷해서 우리 귀에 비슷하게 들리는 것이다.

둘째는 乳母 細胞와 關聯된 接近이다. 하나의 乳母 細胞를 絃樂器의 絃처럼 생각하면 乳母 細胞는 定常波를 만든다고 볼 수 있다. 乳母 細胞는 自身의 固有 振動數와 비슷한 振動數를 갖는 소리를 感知한다고 보면, 하나의 乳母 細胞는 自身의 基本 振動數의 自然手配(1, 2, 3, 4, …배)의 소리를 모두 感知할 것이다. 中間 度 陰과 한 옥타브 높은 度 音이 어떤 振動數의 自然數 배일 것이므로, 中間 度 陰과 한 옥타브 높은 度 音을 같은 乳母 細胞가 感知할 것이다. 中間 度 陰과 한 옥타브 높은 度 音을 같은 乳母 細胞가 感知하므로 사람은 비슷한 소리로 認識한다.

<청솔학원 참여강사:="" 송문섭(수리논술),="" 김성훈(수리논술),="" 유병석="" (지구과학),="" 주성문(물리),="" 윤정식(물리),="" 허경태(물리),="" 장성호(생물),="" 박상현(생물)="">

▶2008 서울대 論述考査 自然系列 例示答案