코시-슈바르츠 不等式

線型代數學 에서 코시-슈바르츠 不等式 (Cauchy-Schwarz不等式, 英語 : Cauchy?Schwarz inequality ) 또는 코시-部냐콥스키-슈바르츠 不等式 (Cauchy-Буняковский-Schwarz不等式, 英語 : Cauchy?Bunyakovsky?Schwarz inequality )은 內的空間 위에 成立하는 不等式 이다. ^[1] 이 不等式은 無限級數 · 函數空間 · 確率論 의 分散 과 共分散等에 널리 應用된다.

正義 [ 編輯 ]

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ 가 實數體 또는 複素數體 라고 하자.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

$\mathbb {K}$ - 벡터 空間 $V$
$V$ 위의 羊의 準政府號 에르미트 形式 $\langle ,\rangle$ ( $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ 일 때, 이는 羊의 準政府號雙線形形式 과 같다). 卽, 다음이 成立한다. (特히, 첫째 벡터에 對하여 反線形, 둘째 벡터에 對하여 線型이라고 하자.)
$\langle w,\alpha u+v\rangle =\alpha \langle w,u\rangle +\langle w,v\rangle ={\overline {\langle \alpha u+v,w\rangle }}\qquad \forall \alpha \in \mathbb {K} ,\;u,v\in V$

그렇다면, 코시-슈바르츠 不等式 에 依하면 다음이 成立한다.

|\langle u,v\rangle |^{2}\leq \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle \qquad \forall u,v\in V

證明: ^[2]

萬若 $\langle u,u\rangle =\langle v,v\rangle =0$ 이며 $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ 일 境遇, 羊의 準政府號條件에 따라

0\leq {\frac {1}{2}}\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,v\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle u-v,u-v\rangle \leq 0

이므로 自明하게 코시-슈바르츠 不等式이 成立한다. 마찬가지로, 萬若 $\langle u,u\rangle =\langle v,v\rangle =0$ 이며 $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ 일 境遇, 羊의 準政府號條件에 따라

0\leq {\frac {1}{2}}\langle u+v,u+v\rangle =\operatorname {Re} \langle u,v\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle u-v,u-v\rangle \leq 0

0\leq {\frac {1}{2}}\langle u-iv,u-iv\rangle =\operatorname {Im} \langle u,v\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle u+iv,u+iv\rangle \leq 0

이므로 코시-슈바르츠 不等式이 成立한다. ( 羊의 정부호 에르미트 形式 의 境遇 $\langle u,u\rangle =\langle v,v\rangle =0$ 은 $u=v=0$ 을 含意하며 이는 自明하게 $\langle u,v\rangle =0$ 을 含意하므로 위와 같은 過程이 必要 없다.) 따라서, $\langle u,u\rangle$ 또는 $\langle v,v\rangle$ 가운데 하나가 陽의 失手라고 假定할 수 있다. 便宜上 $\langle v,v\rangle >0$ 라고 하자.

羊의 準政府號條件에 依하여, 任意의 $\lambda \in \mathbb {K}$ 에 對하여

0\leq \langle u-\lambda v,u-\lambda v\rangle =\langle u,u\rangle +|\lambda |^{2}\langle v,v\rangle -\lambda \langle u,v\rangle -{\bar {\lambda }}\langle v,u\rangle

이다. 이제,

\lambda ={\frac {\langle v,u\rangle }{\langle v,v\rangle }}

를 代入하면 다음과 같다.

0\leq \langle u,u\rangle -{\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\langle v,v\rangle }}

이를 整理하면 다음과 같이 코시-슈바르츠 不等式을 얻는다.

|\langle u,v\rangle |^{2}\leq \langle u,u\rangle \cdot \langle v,v\rangle

또한, 萬若 $\langle ,\rangle$ 가 羊의 정부호 라면, 코시-슈바르츠 不等式에서 等號가 成立할 必要充分條件 은 $u$ 와 $v$ 日次從屬 인 境遇이다.

否定富豪의 境遇 [ 編輯 ]

一般的으로, 不正富豪 에르미트 形式 의 境遇 코시-슈바르츠 不等式은 成立하지 않는다. 다만, 민코프스키 空間 의 時間꼴 벡터의 境遇 다음이 成立한다.

具體的으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

失手 벡터 空間 $V$
$V$ 위의 雙線形形式 $\langle ,\rangle$ . 또한, $\{v\in V\colon \langle v,v\rangle <0\}\cup \{0\}$ 은 1次元部分 벡터 空間이다.

그렇다면, 다음이 成立한다. ^[3]^{:185, §10.2, Theorem 88(ii)} (政府湖의 境遇에 對하여 符號가 反對인 것에 注意.)

\forall u,v\in V\colon \min\{\langle u,u\rangle ,\langle v,v\rangle \}\leq 0\implies |\langle u,v\rangle |^{2}\geq \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle \qquad \forall u,v\in V

證明:

萬若 $\max\{\langle u,u\rangle ,\langle v,v\rangle \}\geq 0$ 이라면 (左邊은 音이 아닌 失手, 右邊은 量이 아닌 失手이므로) 不等式이 自明하게 成立한다. 따라서 $\langle u,u\rangle$ 와 $\langle v,v$ 둘 다 양이 아닌 失手라고 假定하자. 또한, 萬若 $u$ 와 $v$ 가 線型從屬 이라면 이 不等式은 自明하게 (等式으로) 成立한다. 따라서 이 둘이 線型獨立 이라고 假定하자. 이에 따라, 家庭에 따라 $\operatorname {Span} \{u,v\}$ 는 $\langle w,w\rangle \geq 0$ 人元素 $w\in \operatorname {Span} \{u,v\}\setminus \{0\}$ 를 包含한다. 便宜上 이것이 $w=u+\lambda _{0}v$ 라고 假定하자.

失手 $\lambda \in \mathbb {R}$ 에 對하여, 2次多項式

p(\lambda )=\langle u+\lambda v\rangle =\lambda ^{2}\langle v,v\rangle +2\lambda \langle u,v\rangle +\langle u,u\rangle

를 생각하자. 그렇다면 이는 $\lambda =0$ 에서 量이 아닌 失手이지만, $\lambda =\lambda _{0}$ 에서는 $p(\lambda )$ 가 音이 아닌 失手이게 된다. 卽, $p(\lambda )=0$ 는 적어도 하나의 根을 갖는다. 이것이 成立할 必要充分條件 은 判別式

D=\langle u,v\rangle ^{2}-\langle u,u\rangle \langle v,v\rangle

이 音이 아닌 失手인 것이며, 따라서

\langle u,v\rangle ^{2}\geq \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle

이다.

또한, 2次元 민코프스키 空間 의 境遇는 위와 같은 條件을 省略할 수 있다. 具體的으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

失手 벡터 空間 $V$
$V$ 위의 雙線形形式 $\langle ,\rangle$ . 또한, $\{v\in V\colon \langle v,v\rangle <0\}\cup \{0\}$ 은 1次元以下部分 벡터 空間이며, $\{v\in V\colon \langle v,v\rangle >0\}\cup \{0\}$ 亦是 1次元以下部分 벡터 空間이다.

그렇다면, 다음이 成立한다.

\forall u,v\in V\colon |\langle u,v\rangle |^{2}\geq \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle \qquad \forall u,v\in V

證明:

任意의 두 벡터 $u,v\in V$ 에 對하여, 恒常 다음 두 境遇 가운데 하나가 成立한다.

萬若 $\min\{\langle u,u\rangle ,\langle v,v\rangle \}\leq 0$ 일 때: 위의 整理를 使用한다.
萬若 $\max\{\langle u,u\rangle ,\langle v,v\rangle \}\geq 0$ 일 때: 위의 整理를 $(V,-\langle ,\rangle )$ 에 使用한다.

예 [ 編輯 ]

낮은 次元 [ 編輯 ]

$V=\mathbb {K} ^{n}$ 일 때, 코시-슈바르츠 不等式은 다음과 같은 꼴이 된다.

\left|{\bar {a}}_{1}b_{1}+{\bar {a}}_{2}b_{2}+\dotsb +{\bar {a}}_{n}b_{n}\right|^{2}\leq \left(|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\dotsb +|a_{n}|^{2}\right)\left(|b_{1}|^{2}+|b_{2}|^{2}+\dotsb +|b_{n}|^{2}\right)\qquad \forall a_{i},b_{i}\in \mathbb {K}

特히, $n=2$ 인 境遇에는 다음과 같은 不等式을 얻는다.

|{\bar {a}}c+{\bar {b}}d|^{2}\leq (|a|^{2}+|b|^{2})(|c|^{2}+|d|^{2})\qquad \forall a,b,c,d\in \mathbb {K}

特히, 2次元 민코프스키 空間 에 對한 코시-슈바르츠 不等式은 다음과 같다.

(ac-bd)^{2}\geq (a^{2}-b^{2})(c^{2}-d^{2})\qquad \forall a,b,c,d\in \mathbb {R}

르베그 空間 [ 編輯 ]

가측 空間 $X$ 위의 $p=2$ 르베그 空間 $V=\operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} )$ 은 $\mathbb {K}$ - 힐베르트 空間 을 이룬다. 이 境遇 코시-슈바르츠 不等式은 다음과 같다.

\left|\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx\qquad \forall f,g\in \operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} )

이는 回더 不等式 의 특수한 境遇이다.

C* 臺數 [ 編輯 ]

C* 臺數 $A$ 위의 狀態

f\colon A\to \mathbb {C}

가 주어졌을 때,

\langle a,b\rangle =f(a^{*}b)\qquad \forall a,b\in A

는 $A$ 위의 羊의 準政府號 에르미트 形式 을 이룬다. 이에 對한 코시-슈바르츠 不等式은 다음과 같다.

|f(a^{*}b)|^{2}\leq f(a^{*}a)f(b^{*}b)\qquad \forall a,b\in A

歷史 [ 編輯 ]

빅토르 部냐콥스키. 部냐콥스키는 無限次元의 코시-슈바르츠 不等式을 最初로 證明하였다.

헤르만 我慢두스 슈바르츠 . 슈바르츠는 無限次元의 코시-슈바르츠 不等式을 獨自的으로 再發見하였다.

1821年에 오귀스탱 루이 코시 가 有限次元 벡터 空間에 對한 코시-슈바르츠 不等式을 證明하였다. ^[4]

1859年에 빅토르 野코블레비치 部냐콥스키( 러시아語 : Ви?ктор Я?ковлевич Буняко?вский , 우크라이나語 : В??ктор Я?кович Буняко?вський 빅토르 야코비치 부냐코우시키 ^[
*
], 1804~1889)가 無限次元의 境遇를 證明하였다. ^[5] 그러나 部냐콥스키의 論文은 널리 알려지지 않았다. 以後 1888年에 헤르만 我慢두스 슈바르츠 가 無限次元 코시-슈바르츠 不等式을 再發見하였다. ^[6]

1896年에 앙리 푸앵카레 가 “슈바르츠 不等式”( 프랑스語 : inegalite de Schwarz )이라는 用語를 最初로 使用하였다. ^[7]^{:73, §II.2} 以後 이 不等式은 西유럽 및 美國에서 通常的으로 “코시-슈바르츠 不等式”으로 일컬어지고 있다. 反面, 東유럽에서는 部냐콥스키의 業績을 기려 이를 “部냐콥스키 不等式” 또는 “코시-部냐콥스키-슈바르츠 不等式” 等으로 일컫는다.

各州 [ 編輯 ]

↑ Steele, J. Michael (2004年 4月). 《The Cauchy?Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities》 (英語). Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511817106 . ISBN 978-0-521-83775-0 .
↑ Wu, Hui-Hua; Wu, Shanhe (2009年 4月). “Various proofs of the Cauchy-Schwarz inequality” (PDF) . 《Octogon Mathematical Magazine》 (英語) 17 (1): 221?229. ISSN 1222-5657 . 2022年 10月 9日에 原本文書 (PDF) 에서 保存된 文書 . 2017年 3月 11日에 確認함 .
↑ Schutz, John W. (1997年 10月 8日). 《Independent axioms for Minkowski space-time》 . Pitman Research Notes in Mathematics Series (英語) 373 . Longman. ISBN 978-0-582-31760-4 .
↑ Cauchy, A. L. (1821). 〈Sur les formules qui resultent de l’emploie du signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantites〉. 《Cours d’analyse. Premiere partie: analyse algebrique》 (프랑스語).
↑ Bouniakowsky, V. (1859年 7月). “Sur quelques inegalites concernant les integrales aux differences finies” (PDF) . 《Memoires de l’Academie des sciences de St-Petersbourg》 (프랑스語) 1 : 9.
↑ Schwarz, H. A. (1888). “Uber ein Flachen kleinsten Flacheninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung” (PDF) . 《Acta Societatis scientiarum Fennicae》 (獨逸語) 15 : 318.
↑ Poincare, Henri (1897). “La methode de Neumann et le probleme de Dirichlet” . 《Acta Mathematica》 (英語): 59?142. doi : 10.1007/BF02418028 .

外部 링크 [ 編輯 ]

“Bunyakovskii inequality” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4 .
“Cauchy Schwarz inequality” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4 .
Weisstein, Eric Wolfgang. “Cauchy’s inequality” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Schwarz’s inequality” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.
“Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality” . 《ProofWiki》 (英語).
“Cauchy?Schwarz inequality” . 《nLab》 (英語).
“Cauchy-Schwarz inequality” . 《Earliest uses of some of the words of mathematics》 (英語).
“Cauchy-Schwarz for metrics with arbitrary signatures” (英語). Stack Exchange.

[1] Steele, J. Michael (2004年 4月). 《The Cauchy?Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities》 (英語). Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511817106 . ISBN 978-0-521-83775-0 .

[2] Wu, Hui-Hua; Wu, Shanhe (2009年 4月). “Various proofs of the Cauchy-Schwarz inequality” (PDF) . 《Octogon Mathematical Magazine》 (英語) 17 (1): 221?229. ISSN 1222-5657 . 2022年 10月 9日에 原本文書 (PDF) 에서 保存된 文書 . 2017年 3月 11日에 確認함 .

[3] Schutz, John W. (1997年 10月 8日). 《Independent axioms for Minkowski space-time》 . Pitman Research Notes in Mathematics Series (英語) 373 . Longman. ISBN 978-0-582-31760-4 .

[4] Cauchy, A. L. (1821). 〈Sur les formules qui resultent de l’emploie du signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantites〉. 《Cours d’analyse. Premiere partie: analyse algebrique》 (프랑스語).

[5] Bouniakowsky, V. (1859年 7月). “Sur quelques inegalites concernant les integrales aux differences finies” (PDF) . 《Memoires de l’Academie des sciences de St-Petersbourg》 (프랑스語) 1 : 9.

[6] Schwarz, H. A. (1888). “Uber ein Flachen kleinsten Flacheninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung” (PDF) . 《Acta Societatis scientiarum Fennicae》 (獨逸語) 15 : 318.

[7] Poincare, Henri (1897). “La methode de Neumann et le probleme de Dirichlet” . 《Acta Mathematica》 (英語): 59?142. doi : 10.1007/BF02418028 .

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