自然數
(自然水)는 自然에서 나는 물을 가리키기도 합니다.
數學에서
自然數
(自然數,
英語
:
natural number
)는 數를 셀 때나 順序를 매길 때 使用되는 數다.
陽의 精髓
(陽-整數,
英語
:
positive integer
) 1, 2, 3, ...로 定義되거나,
音이 아닌 淨水
(陰-整數,
英語
:
non-negative integer
) 0, 1, 2, 3, ...로 定義된다.
汎自然數
(汎自然數,
文化語
:
고영수(-數), 고영수 바보(完數),
英語
:
whole number
)라는 用語는 첫째 正義를 擇할 境遇에 音이 아닌 整數를 가리키는 데 使用되며, 이에 對應하는 文化語와 英語는 둘째 正義를 擇할 境遇에
精髓
를 가리키는 데 使用된다.
[1]
自然數의
集合
은 大文字
N
을 써서 表記하며, 普通
漆板 볼드체
?를 使用한다.
藥水
關係나
少數
分布를 비롯한 自然數의 性質들은
數論
의 硏究 對象이며,
分割
이나
計數
를 비롯한 自然數의 問題들은
組合론
의 硏究 對象이다. 自然數는 많은 演算에 對하여 닫혀있지 않다.
精髓
는 自然水를
뺄셈
에 對하여 닫혀있도록 擴張하여 얻는 수 體系이며,
有理數
는 自然水를 追加로
나눗셈
에 對하여 닫혀있도록 擴張한 數 體系이다.
失手
는 追加로
코시 水熱
의
極限
에 對하여 닫혀있도록 擴張한 것이며,
複素數
는 追加로
多項式의 近
에 對하여 닫혀있도록 擴張한 것이다. 하나하나가 有限하지만,
無限 集合
을 이룬다. 自然數의 集合은 "가장 작은 크기"의 無限 集合이며, 自然數와 크기가 같은 集合을
加算 無限 集合
이라고 한다.
自然數가 만족시켜야 하는 一連의
공리
들을 提示하여 自然水를 一種의 無定義 槪念으로 看做할 수 있으며, 이러한 自然數의 公理들이 이루는 體系 가운데 가장 자주 使用되는 하나는
페아노 公理系
이다.
數理論理學
에서 이는 自然數의
理論
에 該當된다. 自然數를 特別한
集合
으로서 看做하여 다룰 수도 있는데, 이 境遇 普通 自然數의 集合은 最小 再歸 集合으로 定義된다. 數理論理學에서 이는 自然數의
模型
에 該當된다.
自然數의 數를 세는 役割을 一般化하면
期數
의 槪念을 얻으며, 自然數의 順序를 매기는 技能을 一般化하면
順序數
의 槪念을 얻는다. 自然數의 集合의
代數的
性質을 一般化하면
返還
의 槪念을 얻는다. 特히 自然數는 많은 스포츠 點數 같은 競技나 게임에 使用될수 있으며 우리가 가장 흔히 보는 數로도 볼 수 있다.
正義
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]
功利的 正義 (페아노 公理系)
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]
가장 通用되는 自然數 理論인
페아노 公理系
는 常數
및 函數
에 對한 다음과 같은 公理들로 이루어진
2次 論理
理論
이다.
- 任意의
에 對하여,
- (
는
丹沙 函數
) 任意의
에 對하여,
裏面
- (
數學的 歸納法
) 任意의
에 對하여,
이며
裏面,
이 公理들 가운데 2次 論理 公式은 셋째 公理뿐이다. 이 셋째 公理를
1次 論理
公理꼴로 代身하면,
페아노 算術
을 얻으며, 이는 보다 더 弱한 公理系이다.
集合論的 定義 (폰 노이만)
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自然數 理論의 한 가지 模型
을
체르멜로-프렝켈 集合論
에서 具體的으로 다음과 같이 構成할 수 있다.
이 境遇, 各 自然數는 그보다 작은 自然數들의 集合이다. 例를 들어, 처음 몇 自然數는 다음과 같다.
集合論的 定義 (프레게와 러셀)
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]
固有 모임
이 許容되는 集合論의 境遇, 自然水를
有限 集合
의
對等
關係에 對한
同値類
로서 定義할 수 있다. 卽, 各 自然數는 그 自然水를 元素 個數로 하는 集合들의 모임이다. 卽, 이는 다음과 같다.
그러나, 이러한 構成은 固有 모임을 使用하므로,
分類 公理꼴
을 만족시키는 集合論에서 使用할 수 없다.
性質
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]
自然數의 集合은
可換
順序 返還
을 이룬다.
數學的 歸納法
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]
自然數의 集合
의 正義에 따라,
數學的 歸納法
이 成立한다. 卽, 다음과 같은 꼴의 命題를 數學的 歸納法을 통해 證明할 수 있다.
- 任意의 自然數
에 對하여,
은 性質
를 만족시킨다.
여기서
는 주어진 性質이며, 自然數
部分 集合
으로 看做할 수 있다. 이 命題를 證明하려면 다음 두 가지를 證明하기만 하면 된다.
- . 卽, 0은 이 性質을 만족시킨다.
- 萬若
라면,
. 卽, 어떤 自然數가 이 性質을 만족시키면, 뒤따르는 自然수도 이를 만족시킨다.
自然數의 集合 위의
初寒 歸納法
에 따르면, 다음 한 가지를 證明하는 것으로 代身할 수도 있다.
- 萬若
라면,
. 卽, 어떤 自然數보다 작은 自然數가 모두 이 性質을 만족시키면, 그 自然數 亦是 이를 만족시킨다.
特히,
인 境遇 이 條件이 뜻하는 바는 單純히
인데, 이는 이 條件의 前提가 恒常 참이기 때문이다.
自然數의 集合 위의
初寒 再歸 整理
에 따르면,
水熱
을
漸化式
을 통해 定義할 수 있다. 卽, 集合
에서 값을 取하는 水熱
은, 그 一般港을 통하지 않고서도, 다음과 같은 漸化式을 줌으로써 定義할 수 있다.
여기서
는
에서 값을 取하는 各 有限 數列에
의 元素를 對應시키는 函數이다. 特히, 이 漸化式에서
인 境遇, 이 漸化式이 뜻하는 바는 공(空)水熱
의 函數값
을 첫港
으로 定義하는 式
이다.
無限 降下法
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]
自然數의 集合은
整列 集合
이다. 卽,
空集合
이 아닌 自然數
部分 集合
은 恒常
最小 元素
를 갖는다.
歸謬法
을 使用하여,
가 最小 元素를 갖지 않는다고 假定하자. 이제
임을 强한 數學的 歸納法을 통해 證明瑕疵. 萬若
라면,
이다. 그렇지 않다면
이므로 矛盾이기 때문이다. 따라서,
이며, 이는 矛盾이다.
自然數의 集合 위에서
無限 降下法
이 成立한다. 卽, 自然數의
減少 無限 水熱
는 存在하지 않는다. 이는 위에서 證明한 自然數의 整列性을 통해 嚴密하게 證明할 수 있다. 卽, 萬若 自然數의 減少 無限 數列이 存在한다면, 그 數列의 項들의 集合은 自然數의 部分 集合인데, 이는 空集合이 아니면서 最小 元素를 갖지도 않으므로 矛盾이다. 無限 降下法을 使用하여 다음과 같은 꼴의 命題를 證明할 수 있다.
- 性質
을 만족시키는 自然數
은 存在하지 않는다.
이를 證明하려면 다음 한 가지를 證明하기만 하면 된다.
- 萬若
라면,
인 自然數
가 存在한다.
集合論的 性質
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自然數의 集合
은
無限 集合
이다. 自然數의
集合의 크기
를
알레프 0
으로 定義하며, 이는 最小
無限 期數
이다. 卽, 任意의 無限 集合
에 對하여,
人 部分 集合
가 存在한다. 自然數의 集合과 크기가 같은 集合(=
全單射 函數
가 存在하는 集合
)을
加算 無限 集合
이라고 한다. 例를 들어,
有理數
의 集合
는 加算 無限 集合이며,
失手
의 集合
는 非(非)家山 無限 集合이다.
수論的 性質
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自然水에 對한 곱셈式
이 成立할 때,
가
의
藥水
라고 하며, 反對로
를
의
排水
라고 한다. 0은 모든 自然數를 藥水로 가지며, 0의 倍數는 0뿐이다. 그러나, 陽의 正數의 境遇만을 생각하기도 한다. 恒等式
에 따라, 自然數는 恒常 1과 自己 自身을 藥水로 가지는데, 藥水가 이들뿐인 自然水를
少數
라고 하며, 그렇지 않은 自然水를
合成數
라고 한다. 다만, 0과 1은 小數도 合成數도 아니라고 定義한다.
算術의 基本 整理
에 따르면, 모든 合成數는 有限 個의 少數들의 곱으로 表現 可能하며, 이러한 表現은 少數들을 곱하는 順序를 無視하면 唯一하다.
같이 보기
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各州
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外部 링크
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複素數
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自然數의 分類
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有理數의 分類
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實數의 分類
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複素數의 分類
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기타
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