數學에서 自然數 (自然數, 英語 : natural number )는 數를 셀 때나 順序를 매길 때 使用되는 數다. 陽의 精髓 (陽-整數, 英語 : positive integer ) 1, 2, 3, ...로 定義되거나, 音이 아닌 淨水 (陰-整數, 英語 : non-negative integer ) 0, 1, 2, 3, ...로 定義된다. 汎自然數 (汎自然數, 文化語 : 고영수(-數), 고영수 바보(完數), 英語 : whole number )라는 用語는 첫째 正義를 擇할 境遇에 音이 아닌 整數를 가리키는 데 使用되며, 이에 對應하는 文化語와 英語는 둘째 正義를 擇할 境遇에 精髓 를 가리키는 데 使用된다. ^[1] 自然數의 集合 은 大文字 N 을 써서 表記하며, 普通 漆板 볼드체 ?를 使用한다.

藥水 關係나 少數 分布를 비롯한 自然數의 性質들은 數論 의 硏究 對象이며, 分割 이나 計數 를 비롯한 自然數의 問題들은 組合론 의 硏究 對象이다. 自然數는 많은 演算에 對하여 닫혀있지 않다. 精髓 는 自然水를 뺄셈 에 對하여 닫혀있도록 擴張하여 얻는 수 體系이며, 有理數 는 自然水를 追加로 나눗셈 에 對하여 닫혀있도록 擴張한 數 體系이다. 失手 는 追加로 코시 水熱 의 極限 에 對하여 닫혀있도록 擴張한 것이며, 複素數 는 追加로 多項式의 近 에 對하여 닫혀있도록 擴張한 것이다. 하나하나가 有限하지만, 無限 集合 을 이룬다. 自然數의 集合은 "가장 작은 크기"의 無限 集合이며, 自然數와 크기가 같은 集合을 加算 無限 集合 이라고 한다.

自然數가 만족시켜야 하는 一連의 공리 들을 提示하여 自然水를 一種의 無定義 槪念으로 看做할 수 있으며, 이러한 自然數의 公理들이 이루는 體系 가운데 가장 자주 使用되는 하나는 페아노 公理系 이다. 數理論理學 에서 이는 自然數의 理論 에 該當된다. 自然數를 特別한 集合 으로서 看做하여 다룰 수도 있는데, 이 境遇 普通 自然數의 集合은 最小 再歸 集合으로 定義된다. 數理論理學에서 이는 自然數의 模型 에 該當된다.

自然數의 數를 세는 役割을 一般化하면 期數 의 槪念을 얻으며, 自然數의 順序를 매기는 技能을 一般化하면 順序數 의 槪念을 얻는다. 自然數의 集合의 代數的 性質을 一般化하면 返還 의 槪念을 얻는다. 特히 自然數는 많은 스포츠 點數 같은 競技나 게임에 使用될수 있으며 우리가 가장 흔히 보는 數로도 볼 수 있다.

正義 [ 編輯 ]

功利的 正義 (페아노 公理系) [ 編輯 ]

가장 通用되는 自然數 理論인 페아노 公理系 는 常數 ${\displaystyle 0\in \mathbb {N} }$ 및 函數 ${\displaystyle s\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$에 對한 다음과 같은 公理들로 이루어진 2次 論理 理論 ${\displaystyle \mathbb {N} }$이다.

• 任意의 ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$에 對하여, ${\displaystyle s(x)\neq 0}$
• ( ${\displaystyle s}$는 丹沙 函數 ) 任意의 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {N} }$에 對하여, ${\displaystyle s(x)=s(y)}$裏面 ${\displaystyle x=y}$
• ( 數學的 歸納法 ) 任意의 ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {N} }$에 對하여, ${\displaystyle 0\in I}$이며 ${\displaystyle s(I)\subseteq I}$裏面, ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$

이 公理들 가운데 2次 論理 公式은 셋째 公理뿐이다. 이 셋째 公理를 1次 論理 公理꼴로 代身하면, 페아노 算術 을 얻으며, 이는 보다 더 弱한 公理系이다.

集合論的 定義 (폰 노이만) [ 編輯 ]

自然數 理論의 한 가지 模型 ${\displaystyle (\mathbb {N} ,0,s)}$을 체르멜로-프렝켈 集合論 에서 具體的으로 다음과 같이 構成할 수 있다.

${\displaystyle 0=\varnothing }$

${\displaystyle s(x)=x\cup \{x\}}$

${\displaystyle \mathbb {N} =\bigcap _{I\colon 0\in I\supseteq s(I)}I}$

이 境遇, 各 自然數는 그보다 작은 自然數들의 集合이다. 例를 들어, 처음 몇 自然數는 다음과 같다.

${\displaystyle 0=\varnothing }$

${\displaystyle 1=\{0\}=\{\varnothing \}}$

${\displaystyle 2=\{0,1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$

${\displaystyle 3=\{0,1,2\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}}$

集合論的 定義 (프레게와 러셀) [ 編輯 ]

固有 모임 이 許容되는 集合論의 境遇, 自然水를 有限 集合 의 對等 關係에 對한 同値類 로서 定義할 수 있다. 卽, 各 自然數는 그 自然水를 元素 個數로 하는 集合들의 모임이다. 卽, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle 0=\{\varnothing \}}$

${\displaystyle s(x)=\{y\cup \{z\}\colon y\in x,\;z\not \in y\}}$

${\displaystyle \mathbb {N} =\bigcap _{I\colon 0\in I\supseteq s(I)}I}$

그러나, 이러한 構成은 固有 모임을 使用하므로, 分類 公理꼴 을 만족시키는 集合論에서 使用할 수 없다.

性質 [ 編輯 ]

自然數의 集合은 可換 順序 返還 을 이룬다.

數學的 歸納法 [ 編輯 ]

自然數의 集合 ${\displaystyle \mathbb {N} }$의 正義에 따라, 數學的 歸納法 이 成立한다. 卽, 다음과 같은 꼴의 命題를 數學的 歸納法을 통해 證明할 수 있다.

• 任意의 自然數 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 對하여, ${\displaystyle n}$은 性質 ${\displaystyle S}$를 만족시킨다.

여기서 ${\displaystyle S}$는 주어진 性質이며, 自然數 部分 集合 ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {N} }$으로 看做할 수 있다. 이 命題를 證明하려면 다음 두 가지를 證明하기만 하면 된다.

• ${\displaystyle 0\in S}$. 卽, 0은 이 性質을 만족시킨다.
• 萬若 ${\displaystyle n\in S}$라면, ${\displaystyle n+1\in S}$. 卽, 어떤 自然數가 이 性質을 만족시키면, 뒤따르는 自然수도 이를 만족시킨다.

自然數의 集合 위의 初寒 歸納法 에 따르면, 다음 한 가지를 證明하는 것으로 代身할 수도 있다.

• 萬若 ${\displaystyle 0,1,2,\dotsc ,n-1\in S}$라면, ${\displaystyle n\in S}$. 卽, 어떤 自然數보다 작은 自然數가 모두 이 性質을 만족시키면, 그 自然數 亦是 이를 만족시킨다.

特히, ${\displaystyle n=0}$인 境遇 이 條件이 뜻하는 바는 單純히 ${\displaystyle 0\in S}$인데, 이는 이 條件의 前提가 恒常 참이기 때문이다.

自然數의 集合 위의 初寒 再歸 整理 에 따르면, 水熱 을 漸化式 을 통해 定義할 수 있다. 卽, 集合 ${\displaystyle X}$에서 값을 取하는 水熱 ${\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }\subseteq X}$은, 그 一般港을 통하지 않고서도, 다음과 같은 漸化式을 줌으로써 定義할 수 있다.

${\displaystyle x_{n}=f(x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n-1})}$

여기서 ${\displaystyle \textstyle f\colon \bigcup _{n=0}^{\infty }X^{n}\to X}$는 ${\displaystyle X}$에서 값을 取하는 各 有限 數列에 ${\displaystyle X}$의 元素를 對應시키는 函數이다. 特히, 이 漸化式에서 ${\displaystyle n=0}$인 境遇, 이 漸化式이 뜻하는 바는 공(空)水熱 ${\displaystyle ()}$의 函數값 ${\displaystyle f()}$을 첫港 ${\displaystyle x_{0}}$으로 定義하는 式 ${\displaystyle x_{0}=f()}$이다.

無限 降下法 [ 編輯 ]

自然數의 集合은 整列 集合 이다. 卽, 空集合 이 아닌 自然數 部分 集合 ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \mathbb {N} }$은 恒常 最小 元素 ${\displaystyle \min S\in S}$를 갖는다.

自然數의 集合 위에서 無限 降下法 이 成立한다. 卽, 自然數의 減少 無限 水熱 ${\displaystyle n_{0}>n_{1}>n_{2}>\cdots }$는 存在하지 않는다. 이는 위에서 證明한 自然數의 整列性을 통해 嚴密하게 證明할 수 있다. 卽, 萬若 自然數의 減少 無限 數列이 存在한다면, 그 數列의 項들의 集合은 自然數의 部分 集合인데, 이는 空集合이 아니면서 最小 元素를 갖지도 않으므로 矛盾이다. 無限 降下法을 使用하여 다음과 같은 꼴의 命題를 證明할 수 있다.

• 性質 ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {N} }$을 만족시키는 自然數 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$은 存在하지 않는다.

이를 證明하려면 다음 한 가지를 證明하기만 하면 된다.

• 萬若 ${\displaystyle n\in S}$라면, ${\displaystyle n'\in S}$인 自然數 ${\displaystyle n'\in \{0,1,2,\dotsc ,n-1\}}$가 存在한다.

集合論的 性質 [ 編輯 ]

自然數의 集合 ${\displaystyle \mathbb {N} }$은 無限 集合 이다. 自然數의 集合의 크기 를 알레프 0 ${\displaystyle \aleph _{0}=|\mathbb {N} |}$으로 定義하며, 이는 最小 無限 期數 이다. 卽, 任意의 無限 集合 ${\displaystyle S}$에 對하여, ${\displaystyle |S'|=\aleph _{0}}$人 部分 集合 ${\displaystyle S'\subseteq S}$가 存在한다. 自然數의 集合과 크기가 같은 集合(= 全單射 函數 ${\displaystyle \mathbb {N} \to S}$가 存在하는 集合 ${\displaystyle S}$)을 加算 無限 集合 이라고 한다. 例를 들어, 有理數 의 集合 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$는 加算 無限 集合이며, 失手 의 集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$는 非(非)家山 無限 集合이다.

수論的 性質 [ 編輯 ]

自然水에 對한 곱셈式 ${\displaystyle ab=c}$이 成立할 때, ${\displaystyle a,b}$가 ${\displaystyle c}$의 藥水 라고 하며, 反對로 ${\displaystyle c}$를 ${\displaystyle a,b}$의 排水 라고 한다. 0은 모든 自然數를 藥水로 가지며, 0의 倍數는 0뿐이다. 그러나, 陽의 正數의 境遇만을 생각하기도 한다. 恒等式 ${\displaystyle 1a=a}$에 따라, 自然數는 恒常 1과 自己 自身을 藥水로 가지는데, 藥水가 이들뿐인 自然水를 少數 라고 하며, 그렇지 않은 自然水를 合成數 라고 한다. 다만, 0과 1은 小數도 合成數도 아니라고 定義한다. 算術의 基本 整理 에 따르면, 모든 合成數는 有限 個의 少數들의 곱으로 表現 可能하며, 이러한 表現은 少數들을 곱하는 順序를 無視하면 唯一하다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 精髓
• 少數

各州 [ 編輯 ]

外部 링크 [ 編輯 ]

• “自然數 VS 有理數” . 《 네이버캐스트 》.  
• “自然數 VS 失手” . 《 네이버캐스트 》.  
• “Natural number” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Natural number” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• “Natural number” . 《nLab》 (英語).  
• “Natural numbers type” . 《nLab》 (英語).  
• “Natural numbers in SEAR” . 《nLab》 (英語).  
• “Extended natural number” . 《nLab》 (英語).  
• “Natural number” . 《Groupprops》 (英語).  
• “Natural number” . 《PlanetMath》 (英語).