微分方程式
나비에-스토크스 方程式 은 障礙物 周圍의 空氣흐름을 시뮬레이션하는데 使用된다.
主題 自然科學 工學 天文學 物理學 化學 生物學 地質學 應用數學 連續體力學 混沌 理論 動力學界 社會科學 經濟學 個體群力學
分類
種類 常微分方程式 偏微分方程式 微分代數方程式 積分微分方程式 分水界 微分方程式 線型微分方程式 非線型微分方程式 變數의 種類 獨立變數와 從屬變數 自律微分方程式 複素微分方程式 聯立微分方程式 非聯立微分方程式 完全微分方程式 同次微分方程式 非同次微分方程式 特質 次數 微分演算子 微分記號
關聯 內容 差分方程式 確率微分方程式 遲延微分方程式
풀이
一般論 피카르-린델뢰프 整理 론스키 行列式 位相模倣 位相 空間 랴푸노프 安定性 漸近적 安定性 指數的 安定性 收斂速度 微分方程式의 冪級數 解法 微分方程式의 積分 解法 數値積分 디랙 델타 函數
풀이法 검산 特性曲線法 오일러 方法 指數應答公式 有限差分法  ( 크랭크-니콜슨 方法 ) 有限要素法 無限要素法 有限體的法 갤러킨 方法 페트로프-갤러킨 方法 積分因子 積分 變換 攝動 理論 룽게-쿠타 方法 變數分離法 未定係數法
人物 아이작 뉴턴 레온하르트 오일러 에밀 피카르 유제프 마리아 好에네브론스키 에른스트 레오나르드 린델뢰프 루돌프 립시츠 오귀스탱 루이 코시 존 크랭크 필리스 니콜슨 카를 다비트 톨메 룽게 마르틴 빌헬름 쿠타
v t e

微分 方程式 (微分方程式, differential equation)은 未知의 函數와 그 導函數 , 그리고 이 函數들의 函數값에 관계된 여러 個의 變數 들에 對한 函數 方程式 이다. 微分方程式의 計數(order)는 微分 回數가 가장 많은 獨立 變數의 係數가 결정짓고, 次數(degree)는 係數를 決定 지은 獨立 變數의 微分꼴이 거듭제곱된 回數에 따라 決定된다. ^[1]

應用 數學에서 한 媒介 變數가 다른 媒介 變數에 對한 依存性을 알 수 없는 問題가 種種 發生하지만 한 媒介 變數가 다른 媒介 變數 (微分)에 對한 變化率에 對한 表現을 作成할 수 있다. 이 境遇 問題는 다른 表現과 關聯된 導函數로 函數를 찾는 것으로 縮小된다.

微分 方程式은 엔지니어링 , 物理學 , 經濟學 等 數學 外의 學問에서도 重要한 役割을 차지하고, 流體力學 , 天體力學 等의 物理的 現象의 數學的 모델을 만들 때에도 使用된다. 따라서 微分 方程式은 純粹數學과 應用數學의 여러 分野에 걸쳐있는 넓은 學問이다. 物體의 運動이 物體의 位置와 時間값의 變化에 따른 速度로 表現되는 古典力學 이 그 代表的인 例다. 뉴턴의 運動 法則 은 物體의 未知의 位置를 時間에 對한 函數로 表現하고, 物體의 位置·速度·加速度·그리고 物體에 作用하는 힘 等을 그 函數에 對한 微分 方程式으로 나타냄으로써 이 變量들을 疫學的으로 表現할 수 있었다. 흔히 運動方程式 이라고 부르는 이 微分 方程式은 아주 쉽게 풀리는 境遇도 있다.

微分 方程式을 使用하여 實世界를 表現한 例로는, 重力과 空氣抵抗만 考慮하여 空中에서 떨어지는 共의 速度를 決定하는 것이 있다. 땅을 向한 공의 加速度는 重力에 依한 加速度 마이너스 空氣抵抗에 依한 加速度이다. 重力은 일정하다고 치고, 空氣抵抗은 공의 速度에 比例한다고 하자. 이것은 공의 加速度, 卽 공의 速度의 導函數가 공의 速度에 따라 決定된다는 것을 意味한다. 速度를 時間에 對한 函數로 나타내면 이 微分 方程式을 풀 수 있다.

數學에서 微分 方程式은 여러 가지 다른 觀點에서 硏究되고 있는데, 大槪 그 해―方程式을 만족시키는 函數의 集合―에 對한 硏究가 흔하다. 明快한 函數의 形態로 해가 求해지는 것은 가장 簡單한 微分 方程式들 뿐으로, 어떤 微分 方程式은 明確한 解를 求하지 않고, 그 特徵만 밝혀지는 境遇도 있다. 萬若 害를 獨立的으로 求하는 것이 不可能하다면, 컴퓨터를 利用해 數的 근사값을 求할 수도 있다. 動力學界 理論에서는 微分 方程式으로 表現되는 系의 質的 分析을 重要하게 여기는데, 주어진 正確度 안에서 解를 求하기 위한 많은 數値 解釋 方法이 開發되고 있다.

微分 方程式의 目標는 다음 세가지이다.

1. 특정한 狀況을 表現하는 微分 方程式을 發見하는 것.
2. 그 微分 方程式의 正確한 해를 찾는 것.
3. 그 찾은 害를 解釋하여 未來를 豫測하는 것.

微分 方程式에 對해 해가 있어야만 하는지, 아니면 해가 유일한地 等의 問題도 重要한 關心事이다. 그러나 應用數學者, 物理學者, 엔지니어들은 大槪 주어진 微分 方程式을 푸는 데에 關心을 두기 마련이고, 여기서 얻어진 해는 電氣回路, 다리, 自動車, 飛行機, 下水道 等을 만드는 데에 利用되고 있다.

微分 方程式의 種類 [ 編輯 ]

微分 方程式 理論은 잘 發展되어 왔으며, 學習을 위해 方程式의 形態에 따라 그것을 意味있게 分類시키기도 한다.

상미분 方程式과 偏微分 方程式 [ 編輯 ]

• 常微分方程式

상미분 方程式은 未知 函數와 從屬變數가 하나의 獨立變數를 가지는 函數인 微分 方程式을 말한다. 簡單한 形態로 未知函數가 失手 또는 複素數 函數 形態를 가진다.

• 偏微分 方程式

未知 函數의 獨立 變數가 둘 以上인 微分 方程式이다.

線型과 非線型 [ 編輯 ]

• 線型 微分 方程式

線型 微分 方程式은 y導函數 앞의 係數가 變數가 아닌 境遇이고 y導函數가 모두 1勝인 것을 말한다.

• 非線型 微分 方程式

非線型 微分 方程式은 線型 微分 方程式과 다르게 y導函數 앞의 係數가 變數이며, 代表的 豫示인 나비에-스톡스 方程式 에서는 y導函數 앞의 係數가 流體의 性質을 나타내는 媒介變數이다. 非線型 微分 方程式은 媒介變數의 테일러 級數로 近似解를 求하는 方式이 있다.

${\displaystyle y^{2}}$, ${\displaystyle \sin y}$ 等 y 앞에 무언가 있을 때 非線型 理라 하며 常數나 ${\displaystyle x}$는 可能하다.

微分 方程式의 예 [ 編輯 ]

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第1次 상미분 方程式 [ 編輯 ]

1次 第次 상미분 方程式의 一般型은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+f(x)y=0,}$

여기서 ${\displaystyle f(x)}$는 우리가 알고 있는 函數이며, 이 方程式은 簡單히 變數를 다음과 같이 兩邊으로 分離하여 놓아서 풀 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{y}}=-f(x)\,\mathrm {d} x}$

위 式을 積分하여 다음의 結果를 얻는다.

${\displaystyle \ln y=-F(x)+C}$

兩邊에 e를 取하면 다음의 結果를 얻는다.

${\displaystyle y=Ae^{-F(x)}}$

여기서

${\displaystyle A=e^{C}}$, ${\displaystyle F(x)=\int f(x)\,\mathrm {d} x.}$

${\displaystyle A}$는 任意의 常數이다. (이 結果가 맞는지 確認하려면, 이 式을 元來의 方程式에 代入해 보면 된다.)

${\displaystyle f(x)}$가 상수가 아닌 函數이고, 어떤 函數의 境遇에는 (우리가 잘 알고 있더라 하더라도) 그 積分이 不可能 할 수도 있기 때문에, 實際的인 풀이는 매우 어려울 수 있다.

1次 非第次 상미분 方程式 [ 編輯 ]

1次 線型 상미분 方程式 中 一部는 위의 例처럼 分離가 不可能하다. 이와 같은 1次 非第次 상미분 方程式을 풀기 위해선 積分因子를 알아야 한다. 이 方法을 아래에 說明하고 있다.

1次 상미분 方程式의 一般的인 形態를 생각해 보자.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+p(x)y=q(x)}$

이 方程式을 푸는 方法은 特別한 "積分 因子", ${\displaystyle \mu }$ 에 달려있다.

${\displaystyle \mu =e^{\int _{}^{}p(x)\,\mathrm {d} x}}$

위의 1次 상미분 方程式의 兩邊에 ${\displaystyle \mu }$를 곱瑕疵.

${\displaystyle \mu {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\mu {p(x)y}=\mu {q(x)}}$

우리가 選擇한 特別한 ${\displaystyle \mu }$의 性質에 依해 위 式은 다음과 같이 簡單한 模樣으로 變形된다.

${\displaystyle \mu {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+y{\frac {\mathrm {d} {\mu }}{\mathrm {d} x}}=\mu {q(x)}}$

微分에 對한 곱의 法則에 依해 위 式은 다시 다음과 같이 變形된다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{(\mu {y})}=\mu {q(x)}}$

兩邊을 積分하면,

${\displaystyle \mu {y}=\left(\int \mu q(x)\,\mathrm {d} x\right)+C}$

를 얻고, 마지막으로 ${\displaystyle y}$에 對해 풀고, ${\displaystyle \mu }$로 兩邊을 나누면,

${\displaystyle y={\frac {\left(\int \mu q(x)\,\mathrm {d} x\right)+C}{\mu }}}$

를 얻는다. ${\displaystyle \mu }$는 ${\displaystyle x}$의 函數이므로 더 以上 簡單히 할 수 없다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 상미분 方程式
• 偏微分 方程式
• 그린 函數
• 차분 方程式

各州 [ 編輯 ]

外部 링크 [ 編輯 ]

• 위키미디어 公用에 微分方程式 關聯 미디어 分類가 있습니다.