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微積分學
微積分學의 基本整理 函數의 極限 連續 函數 平均값 整理 롤의 整理
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水熱 과 級數 幾何級數  ( 算術-幾何 水熱 ) 調和級數 交代級數 冪級數 이항級水 테일러 級數 收斂判定法 一般項 判定法 批判정法 近判定法 積分判定法 比較判定法 極限比較判定法 交代級數判定法 코시 凝集判定法 디리클레 判定法 아벨 判定法
벡터 微積分學 기울기 發散 回戰 라플라시안 方向導函數 벡터 微積分票 整理 발山整理 기울기整理 그린 整理 켈빈-스토크스 整理
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특수한 境遇 分水界 微積分學 말리아빈 微積分 確率微積分學 變分法
v t e

數學 에서 級數 (級數, 英語 : series , ∑ a _n )는 水熱 의 모든 港을 더한 것, 卽 數列의 合 이다. 項의 個數가 有限한 有限級數 (有限級數, 英語 : finite series )와 項의 個數가 無限한 無限級數 (無限級數, 英語 : infinite series )로 分類된다. 無限級數의 境遇, 港을 더해가면서 合이 어떤 값에 限없이 가까워지는 級水인 收斂級數 와 그렇지 않은 發散 級數 로 分類된다. 算術級數 , 幾何級數 (等比級數)로도 分類할 수 있다. 級數의 項은 失手 · 複素數 , 또는 벡터 · 行列 · 函數 · 亂數 等일 수 있으며, 이들은 主로 公式 이나 알고리즘 으로 表現된다. 有限級數는 代數學 의 初等的인 方法으로도 充分히 다룰 수 있으나, 無限級數에 對한 깊이 있는 分析은 解析學 敵 手段, 特히 極限 의 槪念을 必要로 한다. 水熱 의 合 에는 Σ (시그마, sigma) 畿湖가 쓰인다.

正義 [ 編輯 ]

水熱 ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$에 對한 (無限) 級數 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$는 數列의 項들의 形式的인 合이다. 卽,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$

級數 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$의 部分合 (部分合, 英語 : partial sum ) ${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}}$은 처음 오는 有限 個의 項에 對한 合이다. 卽,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}}$

部分合意 水熱 ${\displaystyle \textstyle \left(\sum _{n=0}^{N}a_{n}\right)_{N=0}^{\infty }}$이 收斂하면 이 級水를 收斂級數 , 그렇지 않다면 發散 級數 라고 한다. 收斂級數 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$의 合 은 그 部分合意 極限 이며, 이 亦是 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$로 表記한다. 卽,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}a_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$도 收斂하는 收斂級數를 絶對 收斂級數 , 그렇지 않은 收斂級數를 條件 收斂級數 라고 한다.

加算 尖袖 級數 [ 編輯 ]

加算 無限 集合 ${\displaystyle I}$ 및, 自然數 集合 ${\displaystyle \mathbb {N} }$과 ${\displaystyle I}$ 사이의 一對一 對應 ${\displaystyle i\colon \mathbb {N} \to I}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 函數 ${\displaystyle a\colon I\to \mathbb {R} }$에 對한 級數 ${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}}$는 다음과 같이 定義된다.

${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{i_{n}}}$

다만, 이 定義가 有效하려면, 級數 ${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}}$의 合이 一對一 對應 ${\displaystyle i}$의 選擇에 依存하지 않아야 한다. 萬若 級數가 적어도 하나의 ${\displaystyle i}$에 對하여 絶對 收斂 한다면, 다른 모든 ${\displaystyle i}$에 對해서도 絶對 收斂하며, ${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}}$의 合이 같다. 萬若 級數가 적어도 하나의 ${\displaystyle i}$에 對하여 條件 收斂 한다면, 다른 合을 갖게 되는 ${\displaystyle i}$가 存在하며, 나아가 리만 再配列 整理 에 따라, 任意의 주어진 合을 갖도록 ${\displaystyle i}$를 取할 수 있다.

任意 尖袖 級數 [ 編輯 ]

任意의 集合(特히 非加算 集合 ) ${\displaystyle I}$가 주어졌다고 하자. 모든 ${\displaystyle i\in I}$에 對해 ${\displaystyle a_{i}\geq 0}$이라고 假定하자. 級數 ${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}}$를 다음과 같이 定義할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup _{J\subset I,|J|<\infty }\sum _{i\in J}a_{i}\leq \infty }$

이때 集合 ${\displaystyle I'=\{i\in I\colon a_{i}\neq 0\}}$가 非加算 集合 裏面 ${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\infty }$이다. 卽 ${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}<\infty }$이라면

${\displaystyle I'=\bigcup _{n=0}^{\infty }{\left\{i\in I\colon a_{i}>{\frac {1}{n}}\right\}}}$

이며

${\displaystyle \left|\left\{i\in I\colon a_{i}>{\frac {1}{n}}\right\}\right|<n\sum _{i\in I}a_{i}<\infty \qquad (\forall n\in \mathbb {N} )}$

이므로, ${\displaystyle I'}$이 家産 個 有限 集合의 合集合 이 되어 可算 集合 이 되기 때문이다. 이에 기초하여, 函數 ${\displaystyle a\colon I\to [0,\infty ]}$에 對한 級數 ${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}}$는 다음과 같이 可算 集合에 對한 定義로 歸結된다.

${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{i\in I'}a_{i}}$

收斂性 [ 編輯 ]

級水에게는 여러 類型의 收斂性이 存在하며, 이들 收斂性을 알아내는 많은 種類의 收斂 判定法 이 存在한다.

發散 級數 [ 編輯 ]

收斂級數가 아닌 給水를 發散 級數 라고 한다.

例를 들어, 0이 아닌 常數 ${\displaystyle c}$에 對해 常數項 級數

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c=c+c+c+\cdots }$

는 發散 級水이다.

또한 다음의 調和級數 亦是 發散한다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}+\cdots }$

${\displaystyle \;\;={1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 3}+{1 \over 4}\right)+\left({1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}\right)+\cdots }$

${\displaystyle >{1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 4}+{1 \over 4}\right)+\left({1 \over 8}+{1 \over 8}+{1 \over 8}+{1 \over 8}\right)+\cdots }$

${\displaystyle \;\;\;\;={1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 2}\right)+\cdots }$

${\displaystyle \;\;\;\;=1+0.5+0.5+0.5+0.5+\cdots }$

${\displaystyle \;\;\;\;=1+1+1+\cdots }$

${\displaystyle \therefore \;{1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}+\cdots >1+1+1+\cdots }$

또한 이것은 아래의 리만 제타 函數 ${\displaystyle \zeta (1)}$이기도 하다.

${\displaystyle {1 \over 1^{1}}+{1 \over 2^{1}}+{1 \over 3^{1}}+{1 \over 4^{1}}+{1 \over 5^{1}}+{1 \over 6^{1}}+{1 \over 7^{1}}+{1 \over 8^{1}}+\cdots }$

條件 收斂 [ 編輯 ]

絶對 收斂級數가 아닌 收斂級數를 보고 條件 收斂級數 라고 한다.

例를 들어, 交代級數

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots }$

는 自己 自身은 收斂級數이나, 絶對값을 醉한 調和級數 는 發散 級水이므로, 條件 收斂級數이다.

絶對 收斂 [ 編輯 ]

級數 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$에 港別로 絶對값을 醉한 級數 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$이 收斂級數라면, 元來 級數도 自動으로 收斂級數가 되며, 이 境遇 元來 給水를 絶對 收斂級數 라고 한다.

例를 들어, 幾何級數

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{n}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}-\cdots }$

는 自己 自身이 收斂級數이며, 絶對값을 醉한

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }$

도 收斂級數이므로, 絶對 收斂級數이다.

收斂 判定法 [ 編輯 ]

• ( n 港判定法 ) 萬若 lim _{n →∞} a _n = 0이지 않으면, ∑ a _n 은 發散한다.
• ( 比較判定法 ) 窮極的으로 | a _n | ≤ | b _n |人 境遇, ∑ b _n 이 絶對收斂하면 ∑ a _n 도 絶對收斂하며, ∑ a _n 이 絶對收斂夏至 않으면 ∑ b _n 도 絶對收斂하지 않는다.
• ( 批判정法 ) 萬若 窮極的으로 | a _{n + 1} | / | a _n | < q 이게 되는 q < 1街 存在한다면, ∑ a _n 은 絶對收斂한다. 萬若 窮極的으로 | a _{n + 1} | / | a _n | > q 이게끔 하는 q > 1街 存在한다면, ∑ a _n 은 絶對收斂하지 않는다.
• ( 近判定法 ) 萬若 窮極的으로 | a _n | ^{1 / n} < q 이게 되는 q < 1街 存在한다면, ∑ a _n 은 絶對收斂한다. 萬若 窮極的으로 | a _n | ^{1 / n} > q 이게끔 하는 q > 1街 存在한다면, ∑ a _n 은 絶對收斂하지 않는다.
• ( 積分判定法 ) 萬若 f 가 [1, ∞)에서 單調減少하고 f ( n ) = a _n ( n = 1, 2, ...)이면, ∑ a _n 과 ∫ ∞
  1 f ( x ) dx 는 同時에 收斂하거나 同時에 發散한다.
• ( 코시 凝集判定法 ) a _n 이 陰이 아니며 單調減少하는 境遇, ∑ a _n 과 ∑2 ^k a _{2 ^k} 은 同時에 收斂하거나 同時에 發散한다.
• ( 交代級數判定法 ) 萬若 a _n 이 單調減少하며 0으로 收斂한다면, ∑(-1) ⁿ a _n 은 收斂한다.
• ( 디니 判定法 )

같이 보기 [ 編輯 ]

• 總合
• 收斂 判定法
• 數列의 곱
• 調和級數
• 베르누이 수
• e
• 數列의 合

參考 文獻 [ 編輯 ]

• Tao, Terence (2016). 《Analysis I》. Texts and Readings in Mathematics (英語) 37 3板. Singapore: Springer. doi : 10.1007/978-981-10-1789-6 . ISBN   978-981-10-1789-6 . ISSN   2366-8725 . LCCN   2016940817 .