맥스웰-볼츠만 分布 (Maxwell-Boltzmann 分布)는 物理學 과 化學 에서 應用하는 確率 分布 이다. 一般的으로 使用되는 곳이 統計 力學 이다. 모든 物理 系의 溫度는 그 系를 構成하는 分子들이나 原子들의 運動에 依해 發生한다. 이 粒子들은 各各 다른 速度 範圍를 가지고 있는데 다른 粒子들과 衝突하면서 일정하게 變한다. 이러한 速度들의 맥스웰 分布는 모든 速度 範圍에 對해 系의 溫度에 對한 函數로 表現된다.

萬若, 이 分布가 標準 偏差 ${\displaystyle a}$에 對한 正規分布처럼 그 成分들이 分散되어 있다면 이 分布는 3次元 벡터의 크기로 생각할 수 있다. 卽, ${\displaystyle X_{i}}$가 ${\displaystyle X\sim N(0,a^{2})}$처럼 分布되면 아래 食餌 爬羅메터 ${\displaystyle a}$로 맥스웰-볼츠만 分布처럼 分布된다.

${\displaystyle Z={\sqrt {X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}}}}$

特性 [ 編輯 ]

맥스웰-볼츠만 分布 曲線은 粒子들의 平均 標本에서 어떻게 粒子 速度가 分布되는지 보여준다. 어떤 주어진 溫度에서 매우 적은 粒子들만이 매우 낮거나 높은 에너지를 갖는다.(대부분은 두 狀態 內部 어딘가에 에너지 準位를 가질 것이다.) 이것은 平均 에너지라고 불린다. 反應이 일어나려면 活性 에너지 障壁을 넘어야 한다. 萬若 粒子의 數를 늘리면, 反應 物質의 濃度가 增加하고 보다 높은 活性化 에너지를 만들 수 있다.

${\displaystyle a=1}$에서 맥스웰-볼츠만 分布는 Chi-分布와 同一하다. 追加로, 萬若 ${\displaystyle Z}$가 爬羅메터 ${\displaystyle a}$로 맥스웰-볼츠만 分布처럼 分布된다면 밑의 食餌 Chi-分布처럼 分布될 것이다.

${\displaystyle W={\frac {Z}{a}}}$

맥스웰-볼츠만 分布의 제곱 平均은 ${\displaystyle {\sqrt {3}}a}$가 된다. ${\displaystyle {\sqrt {2}}<2{\sqrt {2/\pi }}<{\sqrt {3}}}$이 될 때, 모드가 제곱 平均보다 恒常 낮은 期待값보다 낮을 것이다.

맥스웰-볼츠만 分布의 物理的 應用 [ 編輯 ]

맥스웰-볼츠만 分布는 氣體의 壓力, 擴散 과 같은 基本的인 그 性質을 說明하는 氣體 運動 理論의 基本을 形成한다. 이 分布는 氣體에서 分子 速度의 分布를 考慮할 수 있을 뿐만 아니라 速度 , 運動量 , 分子 運動量의 크기 等 서로 다른 確率 分布 函數를 가지지만 모두 聯關되어 있는 物理量을 廣範圍하게 나타낸다.

맥스웰-볼츠만 分布는 統計 力學 을 使用함으로써 誘導할 수 있다. 이 分布는 많은 數의 相互 作用이 없는 粒子들로 構成된 量子 效果가 無視되는 契에서 모든 速度 分布 可能性에 對應한다. 氣體 狀態에서 分子 間의 內部 反應은 一般的으로 매우 작고 이에 따라 맥스웰-볼츠만 分布는 氣體 狀態의 條件에서 매우 좋은 接近을 提示한다.

그러나 再組合 및 여기가 重要한 이온층과 空間 플라즈마의 物理學과 같이 彈性 衝突 條件 等이 適用되지 않는 境遇들도 있다. 萬若 맥스웰 分布와 그와 關聯된 家庭을 여기에 適用했다면 그것은 잘못된 것이며 物理的 意味를 把握하지 못한 것이다. 맥스웰-볼츠만 分布의 잘못된 結果를 가져다 주는 또다른 例는 바로 氣體의 兩者的 熱 波長이 粒子들 間의 距離에 比較하여 充分히 작지 않을 때의 境遇이다. 따라서 이 理論은 重要한 量子 效果를 說明하는 데 失敗한다. 또한 이것이 非相對論的 家庭에 기초하고 있기에 맥스웰-볼츠만 分布는 光速을 넘어서는 分子 速度들이 存在하지 않음을 보여주지 못한다.

맥스웰에 依한 最初 計算은 3가지 方向이 같은 方式으로 行動할 것이라고 假定했다. 그러나 以後에, 볼츠만에 依한 計算은 運動 理論을 使用하는 家庭으로 낮췄다.맥스웰-볼츠만 分布는 에너지에 對한 볼츠만 分布로부터 大部分 誘導될 수 있다.

${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}\exp \left(-E_{i}/kT\right)}{\sum _{j}^{}g_{j}\,{\exp \left(-E_{j}/kT\right)}}}\qquad \qquad (1)}$

여기서 N _i 은 에너지 E _i 를 가지는 狀態 i 와 겹침 g _i 에서, 坪型溫度 T 를 가지는 分子들의 數이며, N 는 系 안에서 가지는 總 分子들의 數가 된다.그리고 k 는 볼츠만 常數가 된다.(가끔 위의 식은 겹침 人者 g _i 를 빼고 쓰는 境遇가 있음에 留意하라). 이 境遇에서, 添字 i 는 各個 狀態를 나타낼 것이다. 오히려 g _i 의 集團은 同一한 에너지 E _i .를 가지는 것으로 나타낼 수 있다. 왜냐하면 速力과 速度는 에너지로 聯關되어 있고, 式 1은 氣體 狀態의 分子 速度와 溫度 間의 關係를 誘導하기 위해 使用될 수 있기 때문이다.이 式에 있는 分母는 모듬 分配 函數로 알려져 있다.

運動量 벡터의 分布 [ 編輯 ]

只今까지 맥스웰에 依해 다양하고 廣範圍하게 誘導된 計算들이 後에 1877年 볼츠만이 적은 家庭으로 說明되고 이 家庭이 더 說得力을 얻었다. 바닥 狀態에서 相互 作用이 없는 原子들로만 構成된 " 異常 氣體 "의 境遇, 모든 에너지는 運動 에너지의 形態로 되어 있고 一般的인 粒子들에 對하여 運動 에너지와 運動量은 아래와 같다.

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$

여기서 p ²는 運動量 벡터의 제곱이 된다. p  = [ p _x ,  p _y ,  p _z ]. 따라서 우리는 式 1을 다음과 같이 使用할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}=k{\frac {1}{Z}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]\qquad \qquad (3)}$

Z 는 여기서 分配 函數를 나타내며, 式 1에서 分母에 該當된다. m 은 氣體의 分子 質量이며, T 는 熱力學 溫度, k 는 볼츠만 常數 이다. N _i / N 의 分布는 運動量 成分들의 값으로 分子를 찾을 確率 密度 函數 f _p 에 比例的이다. 따라서 밑의 式으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\frac {c}{Z}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right].\qquad \qquad (4)}$

規格化 常數 c 는 어떠한 運動量이 반드시 1이 되는 값을 가지는 分子의 確率을 알아내는 것으로 考慮될 수 있다. 그래서 食 4에 對한 積分은 모두 p _x , p _y , 그리과 p _z 이 1이 되어야만 한다. 이것은 다음 式으로 證明된다.

${\displaystyle c={\frac {Z}{({\sqrt {2\pi mkT}})^{3}}}.\qquad \qquad (5)}$

式 5를 食 4에 代入하여 풀면 다음과 같이 나온다.

${\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\sqrt {\left({\frac {1}{2\pi mkT}}\right)^{3}}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right].\qquad \qquad (6)}$

이 分布는 分散 ${\displaystyle mkT}$에 依한 3個의 獨立的인 正規 分布 값들 ${\displaystyle p_{x}}$, ${\displaystyle p_{y}}$, ${\displaystyle p_{z}}$의 곱으로 보일 수 있다. 게다가 運動量의 크기가 ${\displaystyle a={\sqrt {mkT}}}$만큼 맥스웰-볼츠만 分布처럼 分布될 것이라고 보일 수 있다.

에너지의 分布 [ 編輯 ]

${\displaystyle p^{2}=2mE}$를 使用하여 에너지 分布에 對한 式을 誘導할 수 있다.

${\displaystyle f_{E}\,dE=f_{p}\left({\frac {dp}{dE}}\right)\,dE=2{\sqrt {\frac {E}{\pi (kT)^{3}}}}~\exp \left[{\frac {-E}{kT}}\right]\,dE.\qquad \qquad (7)}$

에너지가 正規 分布된 세 運動量 값들의 제곱에 對한 合에 比例할 때, 이 分布를 自由度가 3級인 chi-제곱 分布라 한다.

${\displaystyle f_{E}(E)\,dE=\chi ^{2}(x;3)\,dx}$

여기서 맥스웰-볼츠만 常數는 氣體가 兩者 氣體로 考慮되는 것으로부터 얻어질 수 있다.

${\displaystyle x={\frac {2E}{kT}}.\,}$

速度 벡터 分布 [ 編輯 ]

速力 確率 密度 f _v 는 運動量 確率 密度 函數에 比例한다는 事實로부터 다음과 같이 된다.

${\displaystyle f_{\mathbf {v} }d^{3}v=f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}v}$

그리고 p = m v 임을 利用하면 다음을 얻을 수 있다.

${\displaystyle f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})={\sqrt {\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3}}}\exp \left[{\frac {-m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right],\qquad \qquad (8)}$

이것이 바로 맥스웰-볼츠만의 速度 分布이다. 無限小[ dv _x ,  dv _y ,  dv _z ]에서 v  = [ v _x ,  v _y ,  v _z ]에 對한 어떤 速度를 가진 粒子를 찾을 確率은 밑의 式이 된다.

${\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.}$

運動量처럼 이 分布는 分散 ${\displaystyle kT/m}$만큼 주어진 세 가지 獨立的인 正規 分布 값들 ${\displaystyle v_{x}}$ ${\displaystyle v_{y}}$, ${\displaystyle v_{z}}$ 의 곱으로 보인다. 이것 亦是 벡터 速度 [ v _x ,  v _y ,  v _z ]에 對한 맥스웰-볼츠만 速度 分布가 各 세 가지 方向에 對하여 分布들의 곱이라는 것으로 보일 수 있다.

${\displaystyle f_{v}\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})}$

한 方向에 對한 分布는 分散 ${\displaystyle {\frac {kT}{m}}}$의 正規 分布의 形態를 가지고 있다. 停止 狀態의 氣體에 對해 豫測했던 것처럼,어떤 方向에 對한 平均 速度는 0이 된다.

${\displaystyle f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2}}{2kT}}\right].\qquad \qquad (9)}$

速力 分布 [ 編輯 ]

統計 物理에서는 分子 個個의 速度보다 分子들의 速力에 더 關心을 가진다. 速力에 對한 맥스웰-볼츠만 分布는 아래와 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle f(v)=4\pi \left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\!\!v^{2}\exp \left[{\frac {-mv^{2}}{2kT}}\right]\qquad (10)}$

여기서 速力 v 는 아래와 같이 定義된다.

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$

式 10에 있는 f(v)의 單位는 單位 速力當 確率이거나, 그래프의 오른쪽에서 團地 速力의 反比例가 된다. 그리고 速度가 定規化 分布된 세 速度 成分들의 제곱의 合意 제곱根이 되면, 이 分布는 ${\displaystyle a={\sqrt {kT/m}}}$만큼의 맥스웰-볼츠만 分布가 된다. 또한 우리는 實際 分布보다 粒子들의 平均速力과 같은 物理量을 必要로 한다. 平均 速度, 豫想 速度와 제곱 平均은 맥스웰-볼츠만 分布의 特性으로부터 나타내질 수 있다.

全體 速力 [ 編輯 ]

위의 式들이 速力 分布를 알 수 있게 해 주지만 一般的으로 實際 分布보다 粒子들의 平均 速力과 같이 그 實際的인 量을 必要로 한다. v _p 는 어떤 系에서 어느 分子에 依해 같아진 速力이고 最大값이나 f ( v )의 모드에 對應한다. 이것을 찾으려면 df / dv 을 計算해야 한다.이것을 0으로 두고 v 에 對하여 풀면 밑의 式처럼 된다.

${\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}=0}$

이 式은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{M}}}}$

平均 速力은 速力 分布의 數學的 平均이므로 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \langle v\rangle =\int _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}}$

또한 제곱 平均 速度, v _rms 는 速力에 제곱하여 평균한 값에 제곱根을 取한 것이기 때문에 밑의 式으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\int _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv}}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}}$

따라서 全體 速力은 아래와 같다.

${\displaystyle v_{p}<\langle v\rangle <v_{\mathrm {rms} }.}$

참고 하기 [ 編輯 ]

• 볼츠만 常數
• 레일리 分布
• 異常 氣體
• 제임스 클러크 맥스웰
• 動力學
• 紫外線 破綻

같이 보기 [ 編輯 ]

• 맥스웰-볼츠만 統計
• 볼츠만 分布
• 레일리 分布
• 氣體 分子 運動論

外部 링크 [ 編輯 ]

• 매스월드에서 맥스웰 分布를 說明한 部分