디바이 模型

凝集物質物理學 에서 디바이 模型 ( Debye model )은 決定 의 卑劣 을 포논 을 使用하여 다루는 模型이다.

歷史 [ 編輯 ]

피터 디바이 가 1912年에 發表하였다. ^[1]

부피가 $V$ 이고, $N$ 個의 粒子로 이루어져 있는 決定 을 생각하자. 結晶 속 포논 이 다음과 같은 線形分散關係 를 가진다고 하자.

E=\hbar v\|\mathbf {k} \|

.

여기서 $\hbar$ 는 디랙 常數 , $v$ 는 決定 속 音速 , $\mathbf {k}$ 는 포논의 파수 벡터 이다. (勿論實際 포논의 分散關係는 非線形이지만, $E$ 가 매우 작은 境遇에는 分散關係를 大略線形으로 看做할 수 있다.)

結晶의 크기가 ${\sqrt[{3}]{V}}$ 이므로, 定常波 파수는 다음과 같다.

k_{i}=\pi n_{i}/{\sqrt[{3}]{V}}

(

n=1,2,3,4,\dots ,{\sqrt[{3}]{N}}

.

i=1,2,3

).

포논은 보스-아인슈타인 統計 를 따르고, 化學 퍼텐셜 이 0이다 (卽, 퓨가시티 가 1이다). 따라서 포논 氣體의 큰 바른틀 分配函數 는 다음과 같다.

\ln \Xi (\beta )=-\sum _{n_{1}=1}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{2}=1}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{3}=1}^{\sqrt[{3}]{N}}3\ln \left(1-\exp(-\beta hv{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}/2{\sqrt[{3}]{L}})\right)

.

(여기서 $3$ 은 포논의 自由도 의 數이다.)

\ln \Xi (\beta )=-3\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\ln \left(1-\exp(-\beta hv\|\mathbf {n} \|/2{\sqrt[{3}]{L}})\right))\;d^{3}\mathbf {n}

\approx -{\frac {3\pi }{2}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{6N/\pi }}n^{2}\ln \left(1-\exp(-\beta hvn/2{\sqrt[{3}]{L}})\right)\;dn

=-9N\int _{0}^{1}x^{2}\ln \left(1-\exp(-x(T_{\text{D}}/T))\right)\;dx

.

여기서

T_{\text{D}}={\frac {hv}{k}}{\sqrt[{3}]{3N/4\pi V}}

를 디바이 溫度 ( Debye temperature )라고 하고, 이에 對應하는 周波數

\nu _{\text{D}}=v{\sqrt[{3}]{3N/4\pi V}}

를 디바이 周波數 ( Debye frequency )라고 한다.

디바이 決定의 에너지는

E=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}\ln \Xi

=9NkT_{\text{D}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}}{\exp(x(T_{\text{D}}/T))-1}}\;dx

={\frac {9NkT^{4}}{T_{\text{D}}^{3}}}\int _{0}^{T_{\text{D}}/T}{\frac {y^{3}}{\exp y-1}}\;dy

이고, 그 非熱容量 은

c={\frac {1}{Nk}}{\frac {dE}{dT}}

=9T_{\text{D}}^{2}\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\exp(x(T_{\text{D}}/T))}{T^{2}(\exp(x(T_{\text{D}}/T))-1)^{2}}}\;dx

=9(T/T_{\text{D}})^{3}\int _{0}^{T_{\text{D}}/T}{\frac {y^{4}\exp y}{(\exp y-1)^{2}}}\;dy

이다.

↑ Debye, Peter (1912). “ Zur Theorie der spezifischen Warmen ”. 《 Annalen der Physik 》 344 (14): 789?839. doi : 10.1002/andp.19123441404 .