![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Disambig_grey.svg/23px-Disambig_grey.svg.png)
繼承(繼承)에 對해서는
王位 繼承
文書를 參考하십시오.
數學
에서,
自然數
의
繼承
또는
팩토리얼
(階乘,
文化語
:
次例곱,
英語
:
factorial
)은 그 數보다 작거나 같은 모든 陽의 正數의 곱이다. n이 하나의 自然數일 때, 1에서 n까지의 모든 自然數의 곱을 n에 相對하여 이르는 말이다. 記號는
느낌標
(
!
)를 쓰며
팩토리얼
이라고 읽는다.
팩토리얼
水熱
(
OEIS
의 水熱
A000142
). 科學的 記數法으로 指定된 값들은 表現 正確度에 맞추어 어림數로 標示함
n
|
n
!
|
0
|
1
|
1
|
1
|
2
|
2
|
3
|
6
|
4
|
24
|
5
|
120
|
6
|
720
|
7
|
5
040
|
8
|
40
320
|
9
|
362
880
|
10
|
3
628
800
|
11
|
39
916
800
|
12
|
479
001
600
|
13
|
6
227
020
800
|
14
|
87
178
291
200
|
15
|
1
307
674
368
000
|
16
|
20
922
789
888
000
|
17
|
355
687
428
096
000
|
18
|
6
402
373
705
728
000
|
19
|
121
645
100
408
832
000
|
20
|
2
432
902
008
176
640
000
|
25
|
1.551
121
004
×
10
25
|
50
|
3.041
409
320
×
10
64
|
70
|
1.197
857
167
×
10
100
|
100
|
9.332
621
544
×
10
157
|
450
|
1.733
368
733
×
10
1000
|
1
000
|
4.023
872
601
×
10
2567
|
3
249
|
6.412
337
688
×
10
10
000
|
10
000
|
2.846
259
681
×
10
35
659
|
25
206
|
1.205
703
438
×
10
100
000
|
100
000
|
2.824
229
408
×
10
456
573
|
205
023
|
2.503
898
932
×
10
1
000
004
|
1
000
000
|
8.263
931
688
×
10
5
565
708
|
10
100
|
|
正義
[
編輯
]
音이 아닌 淨水 n의 繼承 n!은 다음과 같이 定義된다.
![{\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdots \cdot 3\cdot 2\cdot 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a8dbc0d20ef39a8a1fdb16f3bcebbe6d64d6d7)
特히, 0의 繼承은 1이다.
![{\displaystyle 0!=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22956a0fa255c6c9562eab440f8c23c2954a6cf4)
처음 몇 繼承은 다음과 같다.
- 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, 121645100408832000, 2432902008176640000, ... (
OEIS
의 水熱
A000142
)
- 쉽게 整理하면 5! = 1×2×3×4×5이다.
複素數의 繼承
[
編輯
]
감마 函數
를 통해 繼承의 定義域을 陰의 正數를 除外한
複素數
까지
擴張
할 수 있다. 감마 函數
의 定義域은
이며, 陽의 實數部에서의 값은 다음과 같다.
![{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\mathrm {d} t\qquad (\operatorname {Re} z>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0c93300d469489295a057c9474b44fc5db18e4)
감마 函數와 繼承의 關係는 다음과 같다.
![{\displaystyle n!=\Gamma (n+1)\qquad (n\in \mathbb {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1b2045ff3b51528b6e73b2a28faa2ea88855cd)
이에 따라, 陰의 整數가 아닌 複素數
의 繼承을 다음과 같이 定義할 수 있다.
![{\displaystyle z!=\Gamma (z+1)\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \{-1,-2,\dots \})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f94213f71e521eb70bdc9982be58e0536ab5ed)
特히,
半整數
의 繼承은 다음과 같다.
![{\displaystyle (n-1/2)!={\sqrt {\pi }}(2n-1)!!/2^{n}={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}(k-1/2)\qquad (n\in \mathbb {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a34cd42b9189463d8f28fa1c20279740a3f8823)
기수의 繼承
[
編輯
]
繼承이
對稱軍
의 크기와 같다는 事實을 통해 繼承을 任意의
期數
까지 擴張할 수 있다. 卽, 期數
의 繼承
는 다음과 같다.
[1]
:64, ??8
![{\displaystyle \kappa !=|\operatorname {Sym} (\kappa )|={\begin{cases}\kappa (\kappa -1)(\kappa -2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1&\kappa <\aleph _{0}\\2^{\kappa }&\kappa \geq \aleph _{0}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/840611e4193bbce524d8e258967d3ee53e29a99b)
多重 繼承
[
編輯
]
繼承의 正義에서 連續된 自然囚들을 곱하는 代身 法에 對하여 合同인 自然數들만 곱하면,
多重 繼承
(多重階乘,
英語
:
multifactorial
)의 正義를 얻는다. 卽, 陽의 精髓
과 精髓
가 주어졌을 때,
의
中 繼承은 다음과 같다. (이는
番의 繼承과 다른 槪念이다.)
![{\displaystyle n!_{k}=\prod _{m=0}^{\lfloor (n-1)/k\rfloor }(n-mk)=n(n-k)(n-2k)\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/061245f9caec0c1562fe6c5df046f4e7282a3ebe)
特히,
일 境遇 다음과 같다.
![{\displaystyle 1=0!_{k}=(-1)!_{k}=(-2)!_{k}=\cdots =(-(k-1))!_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/479b39b1b83f482cb591d4bfa304e42146d9cf1c)
例를 들어, 일中 繼承은 繼承이다. 또한,
二重 繼承
(二重階乘,
英語
:
double factorial
)은 다음과 같다. 任意의
에 對하여,
![{\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!=\prod _{k=1}^{n}2k=(2n)(2n-2)(2n-4)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546229d3b7f0fc74c2674b0663e6095c1779ecf2)
![{\displaystyle (2n-1)!!=(2n)!/(2^{n}n!)=\prod _{k=1}^{n}(2k-1)=(2n-1)(2n-3)(2n-5)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee5ee8c9afcd056f1563d6108bd81e4102f8618f)
特히,
이다.
처음 몇 二重·三重·四重 繼承은 各各 다음과 같다.
- 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, ... (
OEIS
의 水熱
A006882
)
- 1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280, 880, ... (
OEIS
의 水熱
A007661
)
- 1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231, ... (
OEIS
의 水熱
A007662
)
指數 繼承
[
編輯
]
繼承의 正義에서 곱셈 代身 덧셈을 使用하면,
三角鬚
의 正義를 얻는다. 卽, 音이 아닌 淨水
의 三角鬚
은 다음과 같다.
![{\displaystyle T_{n}=n(n+1)/2=\sum _{k=1}^{n}k=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +2+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f28fd5d39847367a197584e3b9dc51d8582c38)
繼承의 正義에서 곱셈 代身
거듭제곱
을 使用하면,
指數 繼承
(指數階乘,
英語
:
exponential factorial
)의 正義를 얻는다. 卽, 音이 아닌 淨水
의 指數 繼承
은 다음과 같다.
![{\displaystyle a_{n}=n^{(n-1)^{(n-2)^{\cdots ^{2^{1}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e92b863468fe1c6ccc377b92e612048cf9629e)
처음 몇 指數 繼承은 다음과 같다.
- 1, 1, 2, 9, 262144, ... (
OEIS
의 水熱
A049384
)
性質
[
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]
恒等式
[
編輯
]
繼承·
中 繼承·지수 繼承의
漸化式
은 各各 다음과 같다.
![{\displaystyle n!=n(n-1)!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c8793403bec3f04229b29b9412dd68476de16d)
![{\displaystyle n!_{k}=n(n-k)!_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/013c4d5a5a7119fbba1a33baf7afc4e8d13393e6)
![{\displaystyle a_{n}=n^{a_{n-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5416b7116c0d15aa7630a079dfbac097235f5e2c)
漸近 公式
[
編輯
]
또한, 任意의
에 對하여, 다음과 같은 不等式이 成立한다.
![{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}(n/e)^{n}<n!<{\sqrt {2\pi n}}(n/e)^{n}e^{1/(12n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b2445641e25c51e0ebb0a4f458b90ad578507a)
特히, 큰
에 對하여, 繼承에 對한
스털링 近似
는 다음과 같다.
![{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}(n/e)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f9f7ebab931196c5bf8933b38a8d3ad7e66e74)
수論的 性質
[
編輯
]
윌슨 整理
[
編輯
]
2 以上의 淨水
에 對해 다음이 成立한다
가
少數
裏面
을
로 나눈 나머지가
이다.
를
로 나눈 나머지가
裏面
가 少數이다.
르장드르 公式
[
編輯
]
任意의
및 少數
에 對하여,
은
과
同治
이다. 또한,
르장드르 公式
(Legendre公式,
英語
:
Legendre's formula
)에 따르면,
의
素因數 分解
에서
의 指數
는 다음과 같다. (充分히 뒤에 있는 項들이 모두 0이므로 이는 有限 級水이다.)
![{\displaystyle v_{p}(n!)=\sum _{k=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor ={\frac {n-\alpha _{p}(n)}{p-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9571185534ac32e80a91e24d363fa4267aeb799)
여기서
는
바닥 函數
이다.
은
의
p
陣法 展開의 자릿數의 合이다.
應用
[
編輯
]
繼承 少數
[
編輯
]
關聯 槪念
[
編輯
]
少數 繼承
[
編輯
]
音이 아닌 淨水
의 少數 繼承은
以下의 모든
少數
의 곱이다.
上昇 繼承과 下降 繼承
[
編輯
]
歷史
[
編輯
]
繼承의 基本的인 槪念은
n
個의 元素의
順列
의 個數로서 이미 12世紀 印度 數學에 알려져 있었다.
[2]
프랑스語
:
factorielle
팍토리엘
[
*
]
이라는 이름은 프랑스의
루이 프랑수아 앙투안 아르보가
(
프랑스語
:
Louis Francois Antoine Arbogast
)가 使用하였다.
느낌標
表記法은
1808年
數學者
크리스티앙 크랑
(
프랑스語
:
Christian Kramp
)이 著書 《普遍 算術 原論》(
프랑스語
:
Elements d’arithmetique universelle
)
[3]
에서 처음으로 使用하였다. 크랑은 元來 繼承을
프랑스語
:
faculte
파퀼테
[
*
]
)라고 불렀으나, 以後 아르보가를 따라 "팩토리얼"을 代身 使用하였다.
같이 보기
[
編輯
]
各州
[
編輯
]
- ↑
戴牧民; ?海燕; ??? (2011). 《公理集合??引》 (中國語). 北京: 科?出版社.
ISBN
978-7-03-031276-1
.
- ↑
Biggs, N. L. (1979). “The roots of combinatorics”. 《Historia Math.》 (英語)
6
: 109?136.
- ↑
Kramp, Christian (1808). 《Elements d’arithmetique universelle》 (프랑스語).
쾰른
: De l’imprimerie de Th. F. Thiriart, et se vend chez Hansen.
參考 文獻
[
編輯
]
外部 링크
[
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]