兩者章論

파인만 圖形 의 예 ( 電子 와 陽電子 의 雙消滅 로 因한 中間者 生成)

對稱 時空間 丙辰 對稱 로런츠 軍 푸앵카레 軍 等角 對稱 離散 對稱 殿下 켤레 對稱 (C) 反轉性 (P) 時間 逆轉 對稱 (T) 기타 게이지 理論 招待칭 對稱 깨짐 自發 對稱 깨짐 골드스톤 보손 힉스 메커니즘 變則

道具 基本 槪念 傳播 人者 윅 整理 ( 標準 順序 ) LSZ 縮約 公式 相關 函數 量子化 정준 量子化 經路 積分 産卵 理論 産卵 行列 만델스탐 變數 攝動 理論 파인만 圖形 質量껍질 假想 粒子 調節 과 再規格化 파울리-빌라르 調節 次元 調節 最小뺄셈方式 再規格化軍 有效 理論 ( 有效 作用 ) 게이지 理論 공邊微分 파데예프-포포프 幽靈 BRST 對稱 워드-다카하시 恒等式

理論 장난감 模型 史乘 相互作用 콜먼-와인버그 模型 시그마 模型 베스-追尾노 模型 게이지 理論 量子 電氣力學 量-밀스 理論 兩者 色力學 電氣·藥 理論 標準 模型 大統一 理論 大統一 理論 페체이-퀸 理論 시소 메커니즘 最小 招待칭 標準 模型 테크니컬러

學者 初期 學者 위그너 마요라나 바일 電磁氣力 디랙 슈윙거 도모나가 파인만 다이슨 强한 相互作用 유카와 겔만 그로스 폴리處 윌첵 弱한 相互作用 양전닝 里正다오 嬾夫 글래쇼 살람 와인버그 고바야시 마스카와 힉스 앙글레르 再規格化 펠트만 엇호프트 윌슨

v t e

兩者章論 에서 게이지 理論 ( 英語 : gauge theory )이란 그 라그랑地言 이 局所的으로 對稱 人 場論이다. 게이지 理論의 局所的 對稱 變換을 게이지 變換 (gauge transformation)이라고 부른다. 게이지 理論의 局所的 對稱은 單純 (또는 反單純 ) 콤팩트 里 軍 을 이룬다. 이 리 君의 리 臺數 의 各 生成院 ( generator )은 各各 벡터 章을 이룬다. 이를 게이지 場이라고 한다. 兩者章論 에서는 各 章에 該當하는 粒子 가 있는데, 이를 게이지 보손 이라고 한다.

古典電磁氣學 이 古典的 게이지 理論의 代表的인 例로, U(1) 對稱을 가진다. 以外에도 古典的 量-밀스 理論 따위가 있다. 兩者章論으로는 標準 模型 과 이를 이에 包含된 理論들( 量子 電氣力學 , 兩者 色力學 , 글래쇼-살람-와인버그 理論 ) 모두 게이지 理論의 一種이다. 例를 들어 量子 電氣力學 은 아벨 里 軍 U(1)을 基盤으로 만들어졌고, 兩者 色力學 은 特需 유니타리 軍SU(3)으로 만들어졌다.

正義 [ 編輯 ]

駐多發 [ 編輯 ]

게이지 理論은 微分幾何學 의 올多發 理論으로 定義한다. 普通, 게이지 軍은 反單純 콤팩트 里 軍 ${\displaystyle G}$으로 잡는다. 이는 그 리 臺數에 自然스러운 內的( 킬링 形式 )이 存在하여, 게이지 醬의 內的을 定義할 수 있기 때문이다. (그러나 千-사이먼스 理論 等 位相 兩者章論 따위에서 非콤팩트 리 君을 使用하기도 한다.) 時空間 ${\displaystyle M}$은 매끄러운 多樣體 이다.

게이지 理論에서는 ${\displaystyle M}$ 위에 存在하는, 올이 ${\displaystyle G}$人 駐多發 ${\displaystyle P\twoheadrightarrow M}$들의 集合을 考慮한다. 可能한 駐다발들의 種類는 ${\displaystyle M\to BG}$ 連續函數 들의 호모토피類 ${\displaystyle [M,BG]}$에 依하여 分類된다. 여기서 ${\displaystyle BG}$는 ${\displaystyle G}$의 分類 空間 이다. 多樣體 ${\displaystyle M}$이 콤팩트하지 않은 境遇, 普通 그 알렉산드로프 콤팩트火 ${\displaystyle M^{+}}$ 위의 駐다발을 생각한다. 例를 들어, 通常的인 境遇는 4次元 민코프스키 空間의 알렉산드로프 콤팩트火 ${\displaystyle M^{+}=S^{4}}$를 使用하며, 이 境遇 可能한 주다발들은

${\displaystyle [S^{4},BG]=\pi _{4}(BG)=\pi _{3}(G)}$

에 依하여 分類된다. 여기서 ${\displaystyle \pi _{k}()}$는 ${\displaystyle k}$次 호모토피 軍 이다. 이러한 可能한 駐다발들을 物理學에서는 瞬間子 라고 한다.

게이지 理論을 量子化하는 過程에서, 經路 積分 은 可能한 모든 駐多發(들의 同型에 對한 同値類 )들에 對하여 積分한다. 이는 一般的으로 重要하지 않지만, 例를 들어 게이지 軍이 有限群 인 데이크흐라프-위튼 模型( 英語 : Dijkgraaf?Witten model )의 境遇에는 局所的 自由度가 없으므로 이러한 大逆的 自由度가 重要하다. ^{[1] [2]}

가장 簡單한 境遇인 ${\displaystyle G=U(1)}$ (電氣力學)의 境遇, ${\displaystyle BU(1)=\mathbb {C} P^{\infty }}$이다. 卽, U(1) 다발은 複素 線다발 과 對應하게 된다. 複素 線다발 ${\displaystyle L}$은 特性類 理論에 따라서 그 千 特性類 ${\displaystyle c_{1}(L)\in H^{2}(M;\mathbb {Z} )}$에 따라서 分類된다. 千 特性類는 線다발의 接續의 曲率의 코호몰로지類이므로, 千 特性類는 이는 장세기의 코호몰로지類이다. 卽, 장세기의 코호몰로지類는 精髓 係數의 코호몰로지에 屬하게 된다. 이는 디랙 量子化 (Dirac quantization)를 意味한다.

게이지 變換 [ 編輯 ]

一般的으로, 物理的인 長들은 ${\displaystyle P}$ 위에 定義된 童便(equivariant) 벡터장이다. 例를 들어, 軍 表現 ${\displaystyle R\colon G\to U(V)}$이고 ${\displaystyle V}$가 複素數 벡터 空間 이라면, 이에 따른 聯關 벡터多發( 英語 : associated vector bundle ) ${\displaystyle P\times _{G}V}$를 생각할 수 있다. 스칼라長은 이 벡터다발의 斷面

${\displaystyle \phi \in \Gamma (P\times _{G}V)}$

이 된다. 이는 函數

${\displaystyle \phi \in \Omega ^{0}(P,V)}$

로 생각할 수 있고, 이 境遇 ${\displaystyle \phi }$는 다음과 같은 洞變性( 英語 : equivariance ) 條件을 만족시킨다. 任意의 ${\displaystyle g\in G}$에 對하여,

${\displaystyle \phi (x\cdot g^{-1})=R(g)\cdot \phi (x)}$

萬若 ${\displaystyle U\subset M}$에 斷面 ${\displaystyle s\in \Gamma (P|_{U})}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle s\colon U\to P|_{U}}$이므로, 이에 따라 당김 을 定義할 수 있다.

${\displaystyle s^{*}\phi \in \Omega ^{0}(U,V)}$

이에 따라, ${\displaystyle \phi }$를 ${\displaystyle U\subset M}$ 위에 定義된, ${\displaystyle V}$값을 갖는 函數로 생각할 수 있다. 勿論 이는 斷面 ${\displaystyle s}$의 選擇에 따라 달라진다. 서로 다른 다른 斷面 ${\displaystyle s,s'\in \Gamma (P|_{U})}$의 차는 일一般的로 ${\displaystyle \alpha \colon U\to G}$와 같은 函數로 나타내어진다. 卽,

${\displaystyle s'(x)=s(x)\cdot \alpha (x)^{-1}}$

이다. 이러한 函數 ${\displaystyle \alpha }$를 게이지 變換 ( 英語 : gauge transformation )이라고 한다. ${\displaystyle \phi }$를 당기는 斷面을 바꾸는 것은 다음과 같은 게이지 變換을 加하는 것과 같다.

${\displaystyle (s\alpha ^{-1})^{*}\phi =R(\alpha (x))s^{*}\phi \in \Omega ^{0}(U,V)}$

萬若 表現 ${\displaystyle R}$이 自明한 表現이라면, 卽

${\displaystyle (s\alpha ^{-1})^{*}\phi =s^{*}\phi }$

라면, ${\displaystyle \phi }$는 斷面 ${\displaystyle s\in \Gamma (P|_{U})}$에 關係없이 ${\displaystyle M}$ 위의 函數로 생각할 수 있다. 이러한 境遇 ${\displaystyle \phi }$를 게이지 不變 ( 英語 : gauge-invariant )이라고 한다.

巨大 게이지 變換과 微細 게이지 變換 [ 編輯 ]

게이지 變換 ${\displaystyle \alpha \colon M\to G}$들의 集合

${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {C}}(M,G)}$

는 各 點마다의 合成을 통해 位相群 을 이룬다. 이 게이지 變換軍은 一般的으로 連結 空間 이 아닐 수 있고, 그 連結 彫刻들은 호모토피類

${\displaystyle {\mathcal {G}}/{\mathcal {G}}_{0}=[M,G]}$

에 따라서 分類된다. 여기서 ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$은 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$에서 單位元을 包含하는 連結 조각이다. 이러한 連結 조각들을 巨大 게이지 變換 ( 英語 : large gauge transformation )이라고 한다. 例를 들어, 4次元 민코프스키 空間(의 콤팩트火)의 境遇, 巨大 게이지 變換들은 호모토피 軍

${\displaystyle [S^{4},G]=\pi _{4}(G)}$

에 依하여 分類된다. 反面, ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$의 리 臺數 ${\displaystyle {\mathcal {C}}(M,{\mathfrak {g}})}$의 元素들은 微細 게이지 變換 ( 英語 : small gauge transformation )이라고 한다. 어떤 物理量이 게이지 不變임을 보이려면, 微細 게이지 變換과 巨大 게이지 變換에 따라서 不變임을 보이면 된다. 어떤 物理量이 微細 게이지 變換에 對하여 不變이라면 이는 ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}\subset {\mathcal {G}}}$ (單位元을 包含하는 連結 彫刻)에 對하여 不變이며, 여기에 또한 ${\displaystyle {\mathcal {G}}/{\mathcal {G}}_{0}}$에 따라서 不變이라면 이는 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ 全體에 對하여 不變이기 때문이다.

接續과 게이지長 [ 編輯 ]

駐多發 ${\displaystyle P\twoheadrightarrow M}$이 주어지면, 여기에 駐接續 ${\displaystyle A}$ 를 잡을 수 있다. 이 週接續은 物理學에 게이지 퍼텐셜 ( 英語 : gauge potential )이라고 한다.

${\displaystyle G}$의 리 臺數 를 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$라고 하자. 駐接續 ${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})}$는 ${\displaystyle P}$ 위에 定義된 童便 函數다. 여기서 童便性을 定義할 때는 리 臺數 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 위에 자연스럽게 存在하는 딸林表現 ${\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$을 使用한다. 위와 같이, 萬若 局所的인 斷面 ${\displaystyle s\in \Gamma (P|_{U})}$가 주어지면, 駐接續은 局所的으로 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$값을 가진 微分形式 ${\displaystyle s^{*}A\in \Omega ^{1}(U,{\mathfrak {g}})}$로 나타낼 수 있다. 駐接續의 게이지 變換은

${\displaystyle (s\alpha ^{-1})^{*}A=\operatorname {Ad} (\alpha (x))s^{*}A+\alpha (x)d\alpha (x)^{-1}\in \Omega ^{1}(U,{\mathfrak {g}})}$

이다.

駐接續의 曲率

${\displaystyle F=dA+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]\in \Omega ^{2}(P,{\mathfrak {g}})}$

을 定義할 수 있다.여기서 ${\displaystyle d}$는 外微分 이고, ${\displaystyle [\wedge A]}$는 리 括弧 와 쐐기곱 을 合成한 것이다. 駐接續의 曲率은 物理學에서 게이지 장세기 ( 英語 : gauge field strength )라고 한다. 맥스웰 方程式 에서의 패러데이 텐서 는 U(1) 장세기의 특수한 境遇다. 마찬가지로, 斷面 ${\displaystyle s\in \Gamma (P|_{U})}$이 주어지면 曲率 또한 ${\displaystyle s^{*}F\in \Omega ^{2}(U,{\mathfrak {g}})}$로 나타낼 수 있다. 曲率의 게이지 變換은

${\displaystyle (s\alpha ^{-1})^{*}F=\operatorname {Ad} (\alpha (x))s^{*}F\in \Omega ^{2}(U,{\mathfrak {g}})}$

이다.

卽, 게이지 變換이 單純하므로 게이지 장세기는 (게이지 퍼텐셜과 달리) ${\displaystyle P\times _{G}{\mathfrak {g}}}$의 斷面으로 여길 수 있다.

${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M,P\times _{G}{\mathfrak {g}})}$

공邊 微分 [ 編輯 ]

스칼라長 ${\displaystyle \phi \in \Omega ^{0}(P,V)}$가 주어졌다면, 그 導函數

${\displaystyle d\phi \in \Omega ^{1}(P,V)}$

는 게이지 퍼텐셜과 類似하게 다음과 같이 게이지 變換한다.

${\displaystyle (s\alpha ^{-1})^{*}d\phi =R(\alpha (x))s^{*}d\phi +d(R(\alpha ))\wedge s^{*}\phi \in \Omega ^{1}(U,V)}$

反面 ${\displaystyle dR(A)\wedge \phi }$는 다음과 같이 變換한다. 여기서 ${\displaystyle dR\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {u}}(V)}$는 리 臺數의 表現으로, 里 軍 表現 ${\displaystyle R\colon G\to U(V)}$의 無限小 버전이다.

${\displaystyle (s\alpha ^{-1})^{*}(dR(A)\wedge \phi )=R(\alpha )s^{*}(dR(A)\wedge \phi )-d(R(\alpha ))\wedge s^{*}\phi }$

따라서, 다음과 같이

${\displaystyle D\phi =d\phi +dR(A)\wedge \phi \in \Omega ^{1}(P,V)}$

를 定義하자. 그렇다면

${\displaystyle (s\alpha ^{-1})^{*}D\phi =R(\alpha )s^{*}D\phi }$

가 되어, ${\displaystyle \phi }$와 같은 꼴로 게이지 變換하게 된다. 이 演算 ${\displaystyle D}$를 공邊 微分 ( 英語 : covariant derivative )이라고 한다. 이는

${\displaystyle D\colon \Omega ^{0}(M,P\times _{G}V)\to \Omega ^{1}(M,P\times G_{V})}$

로 생각할 수 있다.

페르微溫 [ 編輯 ]

스칼라長과 게이지 퍼텐셜 말고도, 페르微溫 이 存在할 수 있다. ${\displaystyle M}$이 스핀 構造 를 가졌다고 하자. 그렇다면 위와 같이 表現 ${\displaystyle R\colon G\to U(V)}$가 주어졌을 때, 適切한 複素 스피너 다발 ${\displaystyle \Delta \twoheadrightarrow M}$을 골라, 이에 따르는 페르微溫

${\displaystyle \psi \in \Gamma (\Delta \otimes V)}$

을 생각할 수 있다. 여기서 ${\displaystyle \Gamma }$는 複素벡터多發 ${\displaystyle \Delta \otimes V}$의 斷面(section)들의 集合이다.

이러한 物質은 게이지 變換 ${\displaystyle \alpha \colon M\to G}$에 對하여

${\displaystyle \psi (x)\mapsto R(\alpha (x))\cdot \psi (x)}$

으로 變換한다.

보다 一般的으로, 스핀 構造가 없더라도 適切한 스핀C 救助 가 存在한다면 게이지에 對하여 帶電된 페르미온이 存在할 수 있다.

作用과 라그랑地言 [ 編輯 ]

兩者章論은 作用 이라는 값

${\displaystyle S\in \mathbb {R} /2\pi }$

에 依하여 定義된다. 이에 따라, 經路 積分에 登場하는 값

${\displaystyle \exp(iS)\in \mathbb {C} }$

을 定義할 수 있다. 普通 作用은 참된 失手 ${\displaystyle S\in \mathbb {R} }$이지만, 특수한 境遇에는 그렇지 않을 수 있다 (例를 들어 베스-追尾노-위튼 模型 等). 作用은 普通 라그랑地言 이라는 函數 ${\displaystyle {\mathcal {L}}\colon M\to \mathbb {R} }$의 積分으로 나타내어진다.

${\displaystyle S=\int _{M}{\sqrt {|\det g|}}{\mathcal {L}}}$

代表的으로, ${\displaystyle M}$에 (類似) 리만 計量 이 주어져 있다고 하자. 그렇다면

${\displaystyle \langle F,F\rangle \in \Omega ^{0}(P)}$

를 定義할 수 있다. (여기서 리 臺數 指數의 境遇 킬링 形式 을 使用한다.) 이는 게이지 不變이므로, ${\displaystyle M}$ 위의 失手값 函數로 看做할 수 있다. 따라서 이를 라그랑誌언으로 놓아, 作用을 다음과 같이 놓을 수 있다.

${\displaystyle S={\frac {1}{4g^{2}}}\int \langle F,F\rangle }$

여기서 ${\displaystyle g^{2}\in \mathbb {R} ^{+}}$는 結合 常數 라고 불리는 任意의 失手이다. 이러한 ${\displaystyle S}$를 量-밀스 作用 ( 英語 : Yang?Mills action )이라고 한다. 여기에 變分法 을 適用하여 運動 方程式 을 誘導할 수 있다. 萬若 ${\displaystyle G=U(1)}$인 境遇는 맥스웰 方程式 을 얻고, ${\displaystyle G=SU(n)}$인 境遇는 量-밀스 方程式 을 얻는다.

또한, 萬若 ${\displaystyle M}$이 4次元이라면

${\displaystyle \int _{M}F\wedge F}$

또한 게이지 不變이다. 여기서도 暗默的으로 킬링 形式을 使用하였다. 이 境遇에는 ${\displaystyle M}$의 計量 텐서 가 必要없다는 것에 注目하라. 이러한 項은 兩者 色力學 의 CP 違反港 으로 알려져 있다.

物質의 境遇, 마찬가지로 다음과 같은 꼴들의 港을 라그랑誌언으로 使用할 수 있다.

${\displaystyle g^{\mu \nu }\delta _{{\bar {\imath }}j}{\overline {D_{\mu }\phi }}^{\bar {\imath }}D_{\nu }\phi ^{j}}$

${\displaystyle \delta _{{\bar {\imath }}j}{\bar {\phi }}^{\bar {\imath }}\phi ^{j}}$

여기서 ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$는 리만 計量 텐서 의 驛이고, ${\displaystyle \delta _{{\bar {\imath }}j}}$는 ${\displaystyle V}$ 위에 定義된 內的 이다.

윌슨 고리 [ 編輯 ]

作用에 다른 게이지 不變港을 追加할 수 있다. 例를 들어, 닫힌 曲線 γ 가 있으면, 다음과 같이 윌슨 고리 ${\displaystyle W}$를 定義할 수 있다.

${\displaystyle W=\chi ^{(\rho )}\left({\mathcal {P}}\exp \int _{\gamma }A\right)}$

여기서 ${\displaystyle \chi }$는 複素 軍 表現의 指標 고, ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$는 經路順序 禍 演算子다. 그러니 이런 項은 一般的인 施工에서는 大槪 로런츠 對稱 을 따르지 않는다. 칼累差-클라인 理論 에서는 縮小化 된 次元에 따라 이런 港을 적을 수 있다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 아로盧프-봄 效果
• 게이지 變換軍
• 칼累差?클레인 理論
• 兩者 色力學
• 量子 電氣力學
• 電磁氣 퍼텐셜
• 電磁氣場 텐서
• 兩者章論
• 標準 模型
• 殿下 (物理學)
• 量-밀스 理論
• 量-밀스 質量 間隙 假說
• 게이지 理論 (數學)

各州 [ 編輯 ]

• 김재관 (1999年 12月). “게이지理論의 發展” . 《物理學科 尖端技術》 8 (12). 2014年 11月 9日에 原本 文書 에서 保存된 文書 . 2013年 1月 13日에 確認함 .  
• 김진의 (1984). 《素粒子와 게이지 相互作用》 . 민음사. ISBN   89-374-3500-4 .  
• Jean Zinn-Justin, Riccardo Guida (2008年 12月 3日). “Gauge invariance”. 《Scholarpedia》 3 (12): 8287. doi : 10.4249/scholarpedia.8287 . ISSN   1941-6016 .  
• 't Hooft, Gerard (2008年 12月 19日). “Gauge theories”. 《Scholarpedia》 3 (12): 7443. doi : 10.4249/scholarpedia.7443 . ISSN   1941-6016 .  
• Jackson, J.D.; L. B. Okun (2001年 9月 14日). “Historical roots of gauge invariance”. 《Reviews of Modern Physics》 73 (3): 663?680. arXiv : hep-ph/0012061 . Bibcode : 2001RvMP...73..663J . doi : 10.1103/RevModPhys.73.663 . ISSN   0034-6861 .   더 以上 支援되지 않는 變數를 使用함 ( 도움말 )
• Collinucci, Andres; Alexander Wijns. “Topology of fibre bundles and global aspects of gauge theories”. arXiv : hep-th/0611201 . Bibcode : 2006hep.th...11201C .   더 以上 支援되지 않는 變數를 使用함 ( 도움말 )