라그랑주 力學 에서 라그랑地言 ( Lagrangian )이란 界 의 動力學 을 나타내는 函數다. 라그랑주 力學에서는 契의 狀態를 一般化 座標 와 一般化 速度 로 나타내므로, 라그랑誌언은 一般化 座標와 一般化 速度의 函數다. 數學者 조제프루이 라그랑주 가 導入하였다. 畿湖는 大槪 L 이다.

라그랑주 力學 과 뉴턴 力學 은 서로 同等하지만, 라그랑주 力學에서는 直交座標系 뿐만 아니라 任意의 座標系 ( 球面座標界 , 圓筒座標系 뿐만 아니라 3次元 現實 世界와 全혀 聯關되지 않은 抽象的인 一般化 座標界 )를 使用할 수 있어 便利하다.

古典力學에서의 라그랑地言 [ 編輯 ]

古典力學에서의 라그랑誌언은 系의 運動에너지 T에서 位置에너지 V를 뺀 것으로 定義된다.

${\displaystyle L=T-V\;}$

라그랑誌언을 알면 이를 오일러-라그랑주 方程式 에 代入하여 運動方程式 을 얻을 수 있다.

라그랑誌讞議 唯一性 [ 編輯 ]

어떤 運動方程式을 주는 라그랑誌언은 唯一하지 않다. 例를 들어, 古典力學의 라그랑地言 ${\displaystyle L_{A}(q,\;{\dot {q}},\;t)=T(q,\;{\dot {q}},\;t)-V(q,\;t)}$와 다음과 같은 座標와 時間만의 任意의 函數 ${\displaystyle f(q,\;t)}$의 時間에 對한 前微分 을 包含하는 라그랑地言

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{B}(q,\;{\dot {q}},\;t)={\mathcal {L}}_{A}(q,\;{\dot {q}},\;t)+{d \over dt}f(q,\;t)}$

을 比較해보자. 두 이들이 주는 作用 의 差異는

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{B}&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{L_{B}(q,\;{\dot {q}},\;t)}\,dt\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{L_{A}(q,\;{\dot {q}},\;t)}\,dt+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{{d \over dt}f(q,\;t)}\,dt\\&=S_{A}+\left.f(q,\;t)\right|_{t=t_{2}}-\left.f(q,\;t)\right|_{t=t_{1}}\end{aligned}}}$

이므로 ${\displaystyle \left.f(q,\;t)\right|_{t=t_{2}}-\left.f(q,\;t)\right|_{t=t_{1}}}$만큼 差異가 난다. 하지만 이는 常數이므로 여기에 變分 을 取하면

${\displaystyle \delta S_{B}=\delta S_{A}+\delta \left[\left.f(q,\;t)\right|_{t=t_{2}}-\left.f(q,\;t)\right|_{t=t_{1}}\right]=\delta S_{A}}$

가 되어 最終的으로 다음과 같은 오일러-라그랑주 方程式 을 얻게 되며 두 라그랑誌언에 依해 얻게 되는 運動方程式은 같게 된다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}={\frac {\partial L}{\partial q}}}$

一般的으로, 라그랑至言이 어떤 任意의 函數의 前微分만큼 달라도 같은 오일러-라그랑주 方程式 을 얻는다.

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