[理智스터디]數學동아와 함께하는 數學이야기

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入力 2010年 9月 27日 03時 00分

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생쥐 덮치는 수리부엉이는 왜 曲線으로 날까?

수리부엉이와 잉어의 움직임에 숨어있는 數學原理를 알아보자.

○ 가장 빠른 曲線

깊은 밤, 수리부엉이 한 마리가 나무 위에서 한 곳을 바라보고 있다. 視線을 따라가니 생쥐 한 마리가 아무것도 모른 채 食事를 즐기는 中이다. 수리부엉이는 가만히 날개를 펴는가 싶더니 瞬息間에 생쥐를 낚아챈다. 速度도 速度지만 생쥐를 덮친 수리부엉이의 飛行曲線은 藝術 그 自體다.

나무 위에서 생쥐까지의 가장 가까운 거리는 直線이 분명하다. 수리부엉이는 數學을 잘 몰라서 曲線을 擇한 것일까? 수리부엉이는 나무 아래로 떨어지듯 急한 傾斜로 내려오더니 땅과 平行할 程度의 角度로 생쥐에게 다가왔다. 놀랍게도 수리부엉이가 그려낸 曲線은 갈릴레이, 파스칼 같은 偉大한 數學者들이 硏究했던 ‘사이클로이드’다.

사이클로이드는 平面에 원을 굴렸을 때 원에 찍은 點이 그리는 曲線을 말한다. 바퀴에 껌이 붙은 自轉車를 例로 들면 바퀴가 平面을 1回戰 하는 동안 껌이 그리는 曲線을 생각하면 된다.

수리부엉이가 사이클로이드로 움직이는 理由는 重力 때문이다. 重力을 利用하면 힘들이지 않고 가장 빠르게 움직일 수 있다. 높은 支店에서 最大限의 加速度를 얻은 뒤 낮은 地點에서는 慣性을 利用하는 것이다. 萬若直線, 원, 사이클로이드 模樣으로 만든 세 가지 미끄럼틀에 공을 굴린다고 하면 功은 사이클로이드, 원, 直線의 順으로 바닥에 到着한다. 마찬가지로 롤러코스터를 사이클로이드로 만들면 가장 빠른 速度를 느낄 수 있다.

○ 물을 빠르게 避하는 法

조용한 낚시터에 歡呼聲이 터졌다. 팔뚝만 한 잉어가 잡힌 것이다. 햇살을 받은 銀빛 비늘이 눈부시다. 잉어의 몸에는 둥근 模樣의 비늘이 數없이 새겨져 있다. 비늘의 曲線이 사이클로이드를 이룬다는 事實은 놀라움 그 自體다. 잉어는 물이 가장 빠르게 흘러내리는 曲線을 아는 셈이다.

民俗村에 있는 집에는 봉긋한 草家지붕이 올려져 있다. 美術時間에 집을 그릴 때 흔히 지붕을 세모로 그리는 것과는 다르다. 祖上들은 여러 模樣의 지붕을 지으면서 빗물이 가장 잘 흘러내리는 曲線을 發見했다. 數學을 알기도 前에 사이클로이드의 原理를 깨달은 것이다.

草家집뿐 아니라 기와집에도 사이클로이드가 나타난다. 지붕을 덮은 널찍한 기왓張은 부드러운 曲線을 가진다. 여름에 비가 많이 오더라도 빗물을 빠르게 흘려보낼 수 있는 構造다. 나무로 만든 집에 빗물이 스며들어 기둥이 썩거나 弱해질 危險을 防止한 祖上들의 智慧를 엿볼 수 있다.

이 原理는 요즘에도 重要한 役割을 한다. 四時四철 싱싱한 菜蔬와 맛있는 과일을 먹을 수 있게 된 데는 비닐하우스 農家의 役割이 크다. 하지만 겨울에 暴雪이 내리면 農夫들의 걱정이 이만저만이 아니다. 비닐하우스 지붕에 눈이 많이 쌓이면 눈의 무게를 이기지 못해 무너져 내리기 때문이다. 이때 눈을 가장 잘 흘러내리게 하려면 사이클로이드 模樣의 지붕이 最善이다. 사이클로이드 曲線의 길이는 17世紀數學者들이 計算했다. 사이클로이드의 길이는 움직이는 圓의 지름의 4倍다. 사이클로이드 비닐하우스를 만들려면 지붕의 둘레를 높이의 4倍가 되도록 만들면 된다.