代數幾何學 과 微分幾何學 에서 K3 曲面 (K3曲面, 英語 : K3 surface )은 圓環面 이 아닌 2次元 칼라比-야우 多樣體 이다.

正義 [ 編輯 ]

K3 曲面 은 複素數體 위의 非特異 臺數 曲面 가운데, 標準 線다발 이 自明하며 2次元 아벨 多樣體 가 아닌 것이다.

複素數體 가 아닌 다른 체 에 對해서도 K3 曲面을 定義할 수 있다.

K3 曲面 ${\displaystyle X}$ 위에 複素數 線다발 ${\displaystyle L}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 이 線다발에 對應하는 人者 는 代數 曲線 으로서 종수 ${\displaystyle g}$가 다음과 같다.

${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=2g-2}$

여기서 ${\displaystyle c_{1}(L)}$은 ${\displaystyle L}$의 千 特性類 이다. 이와 같이, 종수 ${\displaystyle g}$의 線다발을 갖춘 K3 曲面 ${\displaystyle (X,L)}$을 종수 ${\displaystyle g}$의 K3 曲面 이라고 한다.

K3 多樣體 [ 編輯 ]

微分幾何學 에서, 콤팩트 單一 連結 複素數 2次元 칼라比-야우 多樣體 를 K3 多樣體 ( 英語 : K3 manifold )라고 한다. 모든 K3 曲面(에 對應되는 켈러 多樣體 )은 K3 多樣體이다. 反對로, 一部 K3 多樣體는 ( 고다이라 賣場 整理 따위로 인하여) 複素數體 위의 代數 曲線 을 이루지만, 一般的 K3 多樣體는 複素數 臺數多樣體 가 아니다.

性質 [ 編輯 ]

位相數學的 性質 [ 編輯 ]

複素數體 에서, 모든 K3 曲面(또는 K3 多樣體)은 서로 微分 同型 이다. 卽, 複素數 K3 曲面은 4次元 매끄러운 多樣體 로서 唯一하다.

複素數 K3 曲面의 精髓 係數를 가진 特異 호몰로지 는 꼬임(torsion)을 갖지 않는다. ^[1]

K3 曲面의 交叉 形式 은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Intersection} (\operatorname {K3} )=2(-E_{8})\oplus 3H}$

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle E_{8}={\begin{pmatrix}2&1\\1&2&1\\&1&2&1\\&&1&2&1\\&&&1&2&1&&1\\&&&&1&2&1\\&&&&&1&2&\\&&&&1&&&2&\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle E_{8}}$은 單純 里 軍 E ₈ 의 根系 格子人 유니모듈러 格子 이다.

이에 따라, K3 曲面의 베티 수 는 다음과 같다.

${\displaystyle b_{0}(\operatorname {K3} )=1}$

${\displaystyle b_{1}(\operatorname {K3} )=0}$

${\displaystyle b_{2}^{+}(\operatorname {K3} )=3}$

${\displaystyle b_{2}^{-}(\operatorname {K3} )=8\cdot 2+3=19}$

${\displaystyle b_{3}(\operatorname {K3} )=0}$

${\displaystyle b_{4}(\operatorname {K3} )=1}$

K3 曲面의 호모토피 軍 은 다음과 같다. ^{[2] :Theorem A}

${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {K3} )=0}$

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {K3} )=0}$

${\displaystyle \pi _{2}(\operatorname {K3} )=\mathbb {Z} ^{22}}$

${\displaystyle \pi _{3}(\operatorname {K3} )=\mathbb {Z} ^{252}}$

${\displaystyle \pi _{4}(\operatorname {K3} )=\mathbb {Z} ^{3520}\oplus (\mathbb {Z} /2)^{42}}$

${\displaystyle \pi _{k}(\operatorname {K3} )=\pi _{k}\left(\operatorname {\#} ^{21}(\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{3})\right)\qquad (k\geq 3)}$

심플렉틱 幾何學的 性質 [ 編輯 ]

一般的 K3 多樣體는 代數 曲線 이 아니며, 正則 曲線은 常數 函數 밖에 存在하지 않는다. 따라서, K3 曲面의 兩者 코호몰로지 는 特異 코호몰로지와 一致한다. ^{[3] :348, Example 8.4}

代數幾何學的 性質 [ 編輯 ]

複素數 K3 曲面은 칼라比-야우 多樣體 이며, ^[4] 圓環面 이 아닌 唯一한 複素 2次元 ( 失手 4次元) 콤팩트 칼라比-야우 多樣體 이다. SU(2) = USp(2) 이므로, K3 曲面은 超켈러 多樣體 이다. K3 曲面은 고다이라 次元 이 0이며, 그 호지 수 는 다음과 같다.

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

모듈라이 空間 [ 編輯 ]

K3 多樣體는 57個의 複素救助 모듈라이와 1個의 켈러 모듈라이를 가진다. 여기서 57=3×19個의 複素救助 모듈라이는 다음과 같이 解釋할 수 있다. K3 曲面의 2次 베티 수 는 22인데, 그 中 3個는 호지 雙대 에 對하여 固有값이 +1人 2次 弔花 形式 으로, 19個는 固有값이 ?1人 2次 弔花 形式으로 나타낼 수 있다. 複素救助 모듈라이의 變化는 2次 코호몰로지 同値類들 사이의 線型 變換 으로 나타낼 수 있으므로, 複素救助 모듈라이 空間은 大略 同次 空間

SO(3,19)/(SO(19)×SO(3))

의 꼴로 나타낼 수 있다. 이 同次 空間 의 次元은 19×3이다.

좀 더 正確히 말하면, K3의 複素救助 모듈라이 空間은 다음과 같은 오비폴드 다.

SO(3,19;?)\SO(3,19)/(SO(19)×SO(3))

K3의 唯一한 켈러 모듈라이는 K3의 크기를 나타낸다. 卽, K3의 總 모듈라이 空間은

? ⁺ ×(SO(3,19;?)\SO(3,19)/(SO(19)×SO(3)))

이다.

예 [ 編輯 ]

다음과 같은 射影 臺數多樣體 들은 K3 曲面을 이룬다.

• 3次元 複素數 射影 空間 속의 4次 曲面. 이 境遇, 射影 空間으로부터 誘導되는 線다발의 種數는 3이다.
• 4次元 複素數 射影 空間 에서, 2次 超曲面 과 3次 超曲面의 交集合 . 이 境遇, 射影 空間으로부터 誘導되는 線다발의 種數는 4이다.
• 5次元 複素數 射影 空間 에서, 세 個의 2次 超曲面 들의 交集合. 이 境遇, 射影 空間으로부터 誘導되는 線다발의 種數는 5이다.

이 밖에도, 다음과 같이 K3 曲面을 얻을 수 있다.

• 射影 平面 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$ 속의 非特異 6次 代數 曲線 ${\displaystyle C\subset \mathbb {CP} ^{2}}$을 따라 두 겹 被覆 空間 을 取하면, K3 曲面을 얻는다. 이 境遇, 射影 平面으로부터 誘導되는 線다발의 種數는 2이다.
• 2次元 아벨 多樣體 ${\displaystyle A}$에서, ${\displaystyle a\mapsto -a}$에 對한 몫空間 을 取한 것을 쿠머 曲面 ( 英語 : Kummer surface )이라고 한다. 쿠머 曲面의 最小 分解( 英語 : minimal resolution )는 K3 曲面을 이룬다.

應用 [ 編輯 ]

K3 曲面은 比較的 다루기 쉬운 칼라比-야우 多樣體 이므로, 끈 理論 을 縮小化 할 때 쓰인다. ^[5] K3에 縮小化한 끈 理論에는 다음과 같은 二重性들이 存在한다.

• (楕圓 다발 構造를 갖춘) K3에 縮小化한 F理論 = T ² 에 縮小化한 雜種 끈 理論
• K3에 縮小化한 M理論 = T ³ 에 縮小化한 雜種 끈 理論
• K3에 縮小化한 ⅡA語 끈 理論 = T ⁴ 에 縮小化한 雜種 끈 理論
• K3×S ¹ 에 縮小化한 ⅡB語 끈 理論 = T ⁵ 에 縮小化한 雜種 끈 理論

特히, K3 曲面의 모듈러스들을 M理論 - 雜種 끈 理論 二重性을 使用하여 解釋할 수 있다. SO( n ,16+ n ,?)\SO( n ,16+ n )/(SO( n )×SO(16+ n )는 T ⁿ 에 縮小化한 雜種 끈 理論의 모듈라이이다. (이는 雜種 끈 理論의 보손 正義( 英語 : bosonic construction )에서 使用하는 格子 의 모듈라이다.) 켈러 모듈러스는 雜種 끈 理論의 딜라톤 에 該當한다.

歷史와 어원 [ 編輯 ]

앙드레 베유 가 1958年에 명명하였다. ^{[6] :546} 베유는 "K3"라는 이름을 다음과 같이 說明하였다.

報告書 第2部에서는 이런 켈러 多樣體 를 "K3"라고 부르겠다. 이는 쿠머 · 켈러 · 고다이라 와 카슈미르 의 아름다운 K2 山 을 기리기 위한 것이다.
Dans la seconde partie de mon rapport, il s’agit des varietes kahleriennes dites K3, ainsi nommees en l’honneur de Kummer, Kahler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire.

여기서 에른스트 쿠머 와 에리히 켈러 , 고다이라 拘泥히코 는 모두 이름의 머리글字가 "K"人 세 名의 有名한 代數幾何學子 들이다.

各州 [ 編輯 ]

• Dolgachev, Igor V.; Kond?, Shigeyuki (2007). 〈Moduli spaces of K3 surfaces and complex ball quotients〉. 《Arithmetic and Geometry Around Hypergeometric Functions. Lecture Notes of a CIMPA Summer School held at Galatasaray University, Istanbul, 2005》. Progress in Mathematics 260 . Basel : Birkhauser. 43?100쪽. arXiv : math/0511051 . Bibcode : 2005math.....11051D . doi : 10.1007/978-3-7643-8284-1_3 . MR   2306149 . Zbl   1124.14032 .  
• Laza, Radu; Schutt, Matthias; Yui, Noriko (2013年 5月). 《Arithmetic and geometry of K3 surfaces and Calabi?Yau threefolds》 . Fields Institute Communications (英語) 67 . Springer. doi : 10.1007/978-1-4614-6403-7 . ISBN   978-1-4614-6402-0 . ISSN   1069-5265 .  
• Gritsenko, V.; Hulek, K.; Sankaran, G.K. (2011). “Moduli of K3 surfaces and irreducible symplectic manifolds” (英語). arXiv : 1012.4155 . Bibcode : 2010arXiv1012.4155G .  
• Dolgachev, Igor V. (1995). “Mirror symmetry for lattice polarized K3 surfaces” (英語). arXiv : alg-geom/9502005 . Bibcode : 1995alg.geom..2005D .  

外部 링크 [ 編輯 ]

• Rudakov, A.N. (2001). “K3-surface” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “K3 surface” . 《nLab》 (英語).  
• “K3-spectrum” . 《nLab》 (英語).  
• “Duality between F-theory and heterotic string theory” . 《nLab》 (英語).  
• “What are the higher homotopy groups of a K3 suface?” (英語). Math Overflow.  
• “Mirror symmetry for hyperkahler manifold” (英語). Math Overflow.