사이클로이드

사이클로이드 ( cycloid ) 또는 波線 (擺線)은 直線慰勞 원 을 굴렸을 때 圓 위의 頂點이 그리는 曲線이다. 사이클로이드는 룰렛 (커브 위에 다른 커브를 돌리면 나오는 커브)의 一種이다.

歷史 [ 編輯 ]

사이클로이드는 17世紀數學者들 사이에서 頻繁히 論爭을 惹起하여 헬렌의 幾何學이라고 불린다. 數學의 歷史家들은 사이클로이드의 發見者로 여러 候補者들을 提案하였다. 數學歷史學者 Paul Tannery는 代表的인 시리아 哲學者인 Iamblichus의 硏究를 高大에 잘 알려져 있던 曲線의 證據로써 비슷하게 引用했다. 英國의 數學者 존 월리스 가 1679年에 쓴 글은 Nicholas of Cusa의 發見에 寄與했다. 그러나 以後에 學問은 월리스가 잘못했거나 월리스가 使用한 證據가 이제는 사라졌음을 나타낸다. 갈릴레오 갈릴레이의 이름은 19世紀末에 登場하였고 적어도 한名의 著者는 Marin Mersenne에게도 功이 있다는 것을 報告했다. Moritz Cantor와 Siegmund Gunther의 硏究를 始作으로, 이제 學者들은 1503年에 出版된 幾何學의 基礎에서 프랑스 數學者인 Charles de Bovelles가 說明한 사이클로이드를 가장 優先的이라고 定한다. 이러한 硏究에서, Bovelles는 작은 圓보다 120퍼센트 더 큰 半지름의 一部를 원을 굴려 남은 자취의 曲線으로 誤解했다.

갈릴레오는 사이클로이드라는 用語를 만들었고 最初로 曲線에 對한 硏究를 始作하였다. 그의 弟子 에반젤리스타 토리첼리 에 따르면, 1599年 갈릴레오는 (사이클로이드 밑의 面積과 같은 面積의 正四角形을 만든) 사이클로이드의 求積法 을 板金에 圓을 만들고 사이클로이드를 生成하고 그것을 자르고 무게를 재며 자취를 따라가는 非正常的이고 經驗的인 接近으로 試圖했다. 그는 比率이 대충 3:1이라는 것을 發見했지만 比率이 無理數의 分數로 直交/求積法이 不可能하다고 不正確하게 結論지었다. 1628年頃에, Gilles Persone de Roberval은 아마도 Pere Marin Mersenne에게 求積法問題를 배웠고 Cavalieri의 理論을 使用함으로써 1634年에 直交/求積法에게 影響을 주었다. 그러나, (Traite des Indivisibles에 있던) 그의 努力은 1693年까지 드러나지 않았다. 사이클로이드의 接線을 그리는 것은 Mersenne이helm Leibniz는 單 하나의 方程式으로 曲線을 說明하기 위해서 分析的인/분해의 幾何學을 使用했다. 1696年에는 요한 베르누이 (Johann Bernoulli)가 사이클로이드의 疑問을 풀어주는 최속 강하선 證明을 使用했다.

方程式 [ 編輯 ]

{\begin{aligned}x&=r(t-\sin t)\\y&=r(1-\cos t),\end{aligned}}

길이 [ 編輯 ]

{\begin{aligned}l&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt\\&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {dr(t-\sin t)}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dr(1-\cos t)}{dt}}\right)^{2}}}dt\\&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {2r^{2}(1-\cos t)}}dt\\&=\int _{0}^{2\pi }2r\sin {\frac {t}{2}}dt\\&=8r\end{aligned}}

特徵 [ 編輯 ]

時點과 終點이 같은 複數의 直線이나 曲線中에서, 重力場內에서 그 위를 物體가 가장 빨리 움직이는 것은 사이클로이드이다. 사이클로이드의 이러한 特性을 最短江河谷선 (Brachistochrone curve)이라고 한다. 또한 重力場內에서 사이클로이드의 어느 位置에 物體를 降下하기 始作하여도 사이클로이드의 水平의 끝點에 到着하는 時間은 同一하다. 이러한 性質을 나타내는 曲線을 等時曲線 (isochrone curve, tautochrone curve)이라고 한다.

같이 보기 [ 編輯 ]

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