群論 과 集合論 에서 화이트헤드 問題 ( 英語 : Whitehead problem )는 精髓 係數의 1次 Ext 함자 가 自明群 人 아벨 軍이 恒常 自由 아벨 軍 認知에 對한 問題다. 通常的인 集合論 公理系( 選擇 公理 를 追加한 체르멜로-프렝켈 集合論 )와 獨立的이다.

正義 [ 編輯 ]

화이트헤드 問題 는 다음 두 條件을 만족시키는 아벨 軍 ${\displaystyle A}$가 存在하는지 與否를 묻는다.

• ${\displaystyle A}$는 自由 아벨 軍 이 아니다.
• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,\mathbb {Z} )\cong 0}$

두 番째 條件은 아벨 軍 의 아벨 範疇 에서의 Ext 함자 에 對한 條件으로, 풀어 쓰면 다음과 같다.

• 任意의 아벨 軍 ${\displaystyle B}$ 및 戰死 軍 蠢動型 ${\displaystyle f\colon B\to A}$에 對하여, 萬若 ${\displaystyle \ker f\cong \mathbb {Z} }$라면, ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{A}}$人 軍 蠢動型 ${\displaystyle g\colon A\to B}$가 恒常 存在한다.

두 番째 條件을 만족시키는 君을 화이트헤드 軍 ( 英語 : Whitehead group )이라고 한다.

性質 [ 編輯 ]

모든 自由 아벨 軍은 화이트헤드 郡이다. 화이트헤드 君의 部分群 은 화이트헤드 郡이다. 加算 非自由 화이트헤드 軍은 存在하지 않는다. ^[1]

非加算 非自由 화이트헤드 軍의 存在 與否는 使用하는 集合論 에 따라 달라진다.

• 체르멜로-프렝켈 集合論 + 構成 可能性 公理 로부터, 화이트헤드 軍의 不在를 보일 수 있다.
• 체르멜로-프렝켈 集合論 + 마틴 公理 + 連續體 假說 의 不正으로부터, 크기가 ${\displaystyle \aleph _{1}}$人 화이트헤드 軍의 存在를 보일 수 있다.

이들 理論의 無矛盾性은 체르멜로-프렝켈 集合論 의 無矛盾性과 童穉이므로, 萬若 체르멜로-프렝켈 集合論이 無矛盾的이라면 화이트헤드 問題는 選擇 公理 를 追加한 체르멜로-프렝켈 集合論 과 獨立的이다. 또한, 나아가 화이트헤드 問題는 (체르멜로-프렝켈 集合論이 無矛盾的이라면) 체르멜로-프렝켈 集合論 + 選擇 公理 + 一般化 連續體 假說 過度 獨立的이다.

歷史 [ 編輯 ]

존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드 가 1950年代에 이 問題를 提起하였다. 1951年에 카를 슈타인( 獨逸語 : Karl Stein )은 모든 加算 화이트헤드 軍이 自由 아벨 軍 임을 證明하였다. ^[1]

1974年에 沙下론 셸라흐 는 크기가 ${\displaystyle \aleph _{1}}$印 軍에 對한 화이트헤드 問題가 選擇 公理 를 追加한 체르멜로-프렝켈 集合論 과 獨立的임을 보였고, ^[2] 이듬해에 構成 可能性 公理 를 假定하면 어떠한 크기의 非自由 화이트헤드 軍도 存在하지 않음을 보였다. ^[3] 셸라흐는 1977年~1980年에 화이트헤드 問題가 一般化 連續體 假說 을 追加로 假定하여도 亦是 獨立的임을 보였다. ^{[4] [5]}

各州 [ 編輯 ]

• Eklof, Paul C. (1976). “Whitehead’s problem is undecidable”. 《The American Mathematical Monthly》 (英語) 83 (10): 775?788. doi : 10.2307/2318684 . JSTOR   2318684 .  

外部 링크 [ 編輯 ]

• “Whitehead problem” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .