테오도로스 와선 ( 英語 : spiral of Theodorus )은 隣接하여 놓인 直角三角形 들로 만들어진 와선 이다.

救助 [ 編輯 ]

테오도로스 와선 은 直角二等邊三角形에서 始作된다. 오른쪽 그림과 같이 二等邊三角形의 빗邊이 아닌 한 邊의 길이를 單位 길이로 하여 한 邊의 길이는 單位 길이로 同一하고 以前에 그려진 三角形의 빗邊을 다른 한 便으로 삼아 새로운 直角三角形을 그리면, 빗邊의 길이는 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$과 같이 늘어나게 된다.

歷史와 利用 [ 編輯 ]

테오도로스 의 著書는 모두 紛失되었으나 플라톤 이 《 테아이테토스 》에서 테오도로스가 테오도로스의 渦線을 利用하여 3에서부터 17까지의 精髓 가운데 정사각수 가 아닌 모든 數가 無理手 임을 證明하였다고 言及하였다. ^[1]

플라톤은 테오도로스가 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$이 無理手임을 證明하였다고 여기지는 않았는데, 그의 時代에 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$가 無理數라는 것은 이미 널리 알려져 있었기 때문이다. 플라톤은 《테아이테토스》에서 테오도로스와 같이 有理數와 無理數를 다른 範疇로 取扱하였다. ^[2]

빗邊 [ 編輯 ]

테오도로스의 渦線에서 直角三角形의 빗邊들은 自然數의 제곱根이 된다. 처음 始作한 二等邊 直角三角形의 빗邊을 h ₁ 이라고 하면, h ₁ = ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$이 되고, n番째 빗邊의 길이 h _n 은 ${\displaystyle {\sqrt {n+1}}}$ 가 된다.

플라톤은 테오도로스의 渦線에 對해 배우면서 테오도로스가 왜 ${\displaystyle {\sqrt {17}}}$에서 멈추었는지 疑問을 품었다. 그 理由에 對한 一般的인 說明은 ${\displaystyle {\sqrt {17}}}$이 圖形의 線들이 겹치지 않고 와선을 그릴 수 있는 最大값이기 때문이란 것이다. ^[3]

1958年 에릭 퇴펠은 三角形을 繼續 追加하여 ${\displaystyle {\sqrt {17}}}$보다 긴 빗邊들을 그리더라도 빗邊이 서로 겹치는 일은 일어나지 않으며 線이 꼭지點과 겹치지도 않는다는 것을 證明하였다. ^[4]

擴張 [ 編輯 ]

테오도로스는 17個의 直角三角形으로 이루어진 와선을 그렸으나 테오도로스 와선은 繼續하여 直角三角形을 追加하여 無限히 그릴 수 있다.

增加率 [ 編輯 ]

角度 [ 編輯 ]

φ _n 가 n 番째 三角形의 와선의 中心에 놓인 꼭지點의 角度라고 하면:

${\displaystyle \tan \left(\varphi _{n}\right)={\frac {1}{\sqrt {n}}}.}$

따라서 φ _n-1 에 對한 φ _n 의 增加率은

${\displaystyle \varphi _{n}=\arctan \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right).}$

첫番째 直角三角形에서 k 番째 直角三角形까지의 와선의 中心에 놓인 꼭지點의 角度의 合은 유계 函數 c ₂ 로 補正할 때 k 의 제곱根에 比例한다.

${\displaystyle \varphi \left(k\right)=\sum _{n=1}^{k}\varphi _{n}=2{\sqrt {k}}+c_{2}(k)}$

이때 유계 函數의 값은

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }c_{2}(k)=-2.157782996659\ldots .}$

半지름 [ 編輯 ]

빗邊을 와선의 半지름으로 보아 n 番째 三角形에서 半지름의 增加率을 求하면

${\displaystyle \Delta r={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}.}$

連續 曲線 [ 編輯 ]

나선의 이산點을 褓간하는 方法에 對한 質問이다. 부드러운 曲線에 依한 테오도로스가 提案되어 答辯되었다 ( Davis 2001 , 페이지. 37?38) harv error: 對象 없음: CITEREFDavis2001 ( help ) 要因 函數의 오일러는 要因 函數의 이터플런트 감마 函數에 對한 오일러函數이다. 데이비스가 函數를 찾았다. ${\displaystyle T(x)=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+i/{\sqrt {k}}}{1+i/{\sqrt {x+k}}}}\qquad (-1<x<\infty )}$

이는 그의 學生 指導者와 Iserles에 依해 追加 硏究되었다(Davis 2001)의 附錄에서). 이 函數의 功利的 特性은 (Gronau 2004)에 函數 方程式을 만족시키는 固有 函數로 주어진다.

${\displaystyle f(x+1)=\left(1+{\frac {i}{\sqrt {x+1}}}\right)\cdot f(x),}$

初期 條件이다. ${\displaystyle f(0)=1,}$ 그리고 引受와 計數 모두의 單調性; 代替 條件과 弱點도 여기서 硏究된다. 代替 派生은 原點에서 反對 方向으로 뻗어나가는 데비스의 連續된 形態 테오도로스의 나선의 分析的인 連續은 (Waldvogel 2009)에 提示되어 있다. 그림에서 原本의 노드(分離)는 다음과 같다. 테오도로스 螺旋은 작은 綠色 원으로 나타난다. 파란色은 螺旋形의 反對 方向으로 追加된 것이다. 노드만 있다.극 半지름의 定數 값을 使用한다. 스타일 ${\displaystyle r_{n}=\pm {\sqrt {|n|}}}$그림에서 番號가 매겨진다.

${\displaystyle O}$ 座標 原點의 波線 원이다. ${\displaystyle O}$.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 테오도로스 수

參考 文獻 [ 編輯 ]

各州 [ 編輯 ]