解釋的 數論 에서 少數 整理 (素數定理, 英語 : prime number theorem , 弱者 PNT)는 少數 의 分布를 近似的으로 記述하는 整理이다.

槪念的으로, 少數 整理는 어떤 큰 數 ${\displaystyle N}$에 가까운 精髓 하나를 無作爲로 골랐을 때 그 精髓가 少數일 確率은 ${\displaystyle {\frac {1}{\ln N}}}$ 에 近似한다는 것을 보여 준다. (이때 ${\displaystyle \ln }$은 자연로그 이다.) 이 式의 뜻은 少數의 分布는 더 큰 數로 갈수록 적어진다는 것을 意味한다.

正義 [ 編輯 ]

任意의 失手 ${\displaystyle x}$에 對해 少數 計量 函數 ${\displaystyle \pi (x)}$는 ${\displaystyle x}$ 보다 작거나 같은 少數의 個數를 가리키는 函數라고 하자.

例를 들어, 10 以下의 少數는 2, 3, 5, 7로 4개이므로 ${\displaystyle \pi (10)=4}$ 가 된다.

작은 몇 個의 값에 對해 少數 計量 函數의 函數값을 써 보면 다음과 같다.

${\displaystyle \pi (1)=0,\pi (2)=1,\pi (3)=2,\pi (4)=2,\pi (5)=3,\pi (6)=3,\pi (7)=4}$

少數 整理는 두 函數 ${\displaystyle \pi (x)}$와 ${\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}$의 비가 x 가 無限히 커질수록 1에 收斂한다는 것을 말한다. 卽,

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)\ln x}{x}}=1}$

가 成立한다. 漸近 表記法 에 依해 다음과 같이 表現할 수도 있다.

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}$

이것은 두 函數의 差가 ${\displaystyle x}$가 無限히 커질수록 0에 收斂한다는 것을 뜻하지는 않는다.

또한, 파프累티 체비쇼프 는 少數 整理를 다음과 같이 改良하였다.

1. 萬一 어떤 常數 C에 對하여 : ${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {Cx}{\ln x}}}$ 이라면, C가 가질 수 있는 값은 1밖에 없다.
2. ${\displaystyle \pi (x)}$와 ${\displaystyle x/\log(x)}$의 差異는 위아래로 4%를 벗어나지 않는다.

歷史 [ 編輯 ]

少數 整理를 처음 提案한 것은 1798年 아드리甇마리 르장드르 이다. 카를 프리드리히 가우스 도 1792年 과 1793年 사이에 少數 整理를 硏究한 적이 있지만 發表를 하지는 않았다. 1896年 에는 자크 아다마르 와 샤를腸 드 라 발레푸생 이 各各 獨立的으로 證明하였다. 이 證明은 解釋的 數論 , 卽 리만 제타 函數 를 통한 複素解釋學 敵 技法을 바탕으로 하고 있다. 오랫동안 少數 整理의 初等적 (卽, 複素 解釋學을 쓰지 않는) 證明 難題로 남아 있었으나, 1949年 에 아틀레 셀베르그 와 에르되시 팔 이 初等적 證明을 發表하였다. 에르되시는 이 結果를 셀베르그와 共著 論文으로 出版하려 하였으나, 셀베르그는 이를 拒否하였다. 이 때문에 셀베르그와 에르되시 사이의 關係는 惡化되고 말았다. ^[1]

證明 [ 編輯 ]

解釋的 證明의 槪略 [ 編輯 ]

수論的 函數 人 少數 計量 函數 의 漸近적 成長은 리만 제타 函數 를 통해 複素解釋學的인 命題로 置換할 수 있다. 于先, 다음과 같은 同値 關係는 初等敵으로 보일 수 있다.

${\displaystyle \pi (x)\sim x\Leftrightarrow \psi (x)\sim x\Leftrightarrow {\frac {1}{x^{2}}}\int _{1}^{x}\psi (x')\,dx'={\frac {1}{x^{2}}}\sum _{n\leq x}(x-n)\Lambda (n)\sim {\frac {1}{2}}}$

여기서

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)}$

는 第2種 체비쇼프 函數 이며, ${\displaystyle \Lambda (n)}$는 폰 망골트 函數 이다. 反面, 리만 제타 函數 의 로그 導函數는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\zeta '(z)}{\zeta (z)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{z}}}}$

두 合을 서로 聯關짓기 위해, 다음과 같은 複素解釋學的 補助定理를 使用한다.

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}{\frac {(x/n)^{z}dz}{z(z+1)}}={\begin{cases}1-n/x&n\leq x\\0&n>x\end{cases}}\qquad (c>1)}$

따라서, 제타 函數와 체비쇼프 函數를 다음과 같이 聯關지을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}\int _{1}^{x}\psi (x')\,dx'=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}{\frac {x^{z-1}}{z(z+1)}}{\frac {\zeta '(z)}{\zeta (z)}}\,dz\qquad (c>1)}$

이제, 右邊이 ${\displaystyle x\to \infty }$ 極限에서 1/2로 收斂함을 經路積分法 으로 證明할 수 있다. ^[2]

初等적 證明의 槪略 [ 編輯 ]

多츠者와 지카誤(Tikao Tatuzawa)와 哥네時로 이세키(Iseki Kanesiroo)의 等式 ^[3] 을 利用하거나 또는 아틀레 셀베르그 의 다음 等式

${\displaystyle \Lambda (n)\log n+\sum _{d|n}\Lambda (d)\Lambda \left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{d|n}\mu (d)\log ^{2}{\frac {n}{d}}}$

을 利用하여 證明의 核心的이라 할 수 있는, 아틀레 셀베르그 가 證明한 다음 漸近적 等式을 誘導한다.

${\displaystyle \sum _{p\leq x}\log ^{2}p+\sum _{pq\leq x}\log p\log q=2x\log x+O(x)}$

${\displaystyle \sigma (x)=e^{-x}\psi (e^{x})-1}$로 置換할 때, 積分形態의 다음 不等式을 誘導할 수 있다.

${\displaystyle |\sigma (x)|x^{2}\leq 2\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}|\sigma (u)|dudy+O(x)}$

少數 整理는 ${\displaystyle \sigma (x)=o(1)}$과 童穉이다. 萬若 다음과 같이 이 函數의 上極限 을

${\displaystyle C=\limsup _{x\to \infty }|\sigma (x)|}$

라고 둔다면, 이 常數가 영으로 가는 것을 確認하여 少數 定理를 證明할 수 있다. 萬若 이 常數가 讓受라고 假定하여 矛盾임을 證明한다. 定義에 依해 常數部分을 뗀 나머지 영으로 가는 函數를 다음과 같이 定義한다.

${\displaystyle |\sigma (x)|\leq C+g(x)}$

位 積分形態의 不等式과 이 不等式을 利用하여 다음과 같은 類似한 形態의 不等式을 誘導한다.

${\displaystyle |\sigma (x)|\leq C'+h(x)}$

다만 이 境遇 ${\displaystyle 0<C'<C}$가 된다. 여기서 ${\displaystyle C<C'}$임을 誘導하여 矛盾을 이끌어 낸다. ^[2]

같이 보기 [ 編輯 ]

• 리만 假說

各州 [ 編輯 ]

外部 링크 [ 編輯 ]

• “Distribution of prime numbers” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Prime number theorem” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.