微積分學 에서 船積분 (線積分, 英語 : line integral )과 直線 위의 定積分 을 曲線 위의 積分까지 一般化한 槪念이다. 두 種類의 船積분이 存在하며, 하나는 스칼라 腸 , 하나는 벡터 腸 에 對한 것이다. 스칼라 醬의 船積분은 密度 分布가 주어진 끈의 質量 을 求하는 問題와 같으며, 벡터 醬의 船積분은 어떤 驛長 이 주어진 經路를 따라 運動하는 物體에 한 日 을 求하는 問題와 같다. 스칼라 長과 벡터 醬의 船積분의 正義는 서로 轉換 可能하다. 卽, 벡터 醬의 船積분은 (스칼라 章을 이루는) 椄成分 의 船積분과 같다.

正義 [ 編輯 ]

曲線 위에 定義된 函數의 船積분은 리만 合 을 使用하여 定義하거나, 曲線을 媒介化 한 뒤 定積分을 使用하여 定義할 수 있다. 이 境遇, 船積분은 曲線의 再媒介化 아래 不變이다.

스칼라 長의 境遇 [ 編輯 ]

스칼라 腸 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$의, 曲線 ${\displaystyle {\vec {\gamma }}\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ 위의 船積분 은 다음과 같다.

${\displaystyle \int _{{\vec {\gamma }}([a,b])}fds=\int _{a}^{b}f({\vec {\gamma }}(t))\Vert {\vec {\gamma }}'(t)\Vert dt}$

特히, 曲線 ${\displaystyle {\vec {\gamma }}([a,b])}$의 길이 는 다음과 같다.

${\displaystyle \int _{{\vec {\gamma }}([a,b])}ds=\int _{a}^{b}\Vert {\vec {\gamma }}'(t)\Vert dt}$

벡터 長의 境遇 [ 編輯 ]

벡터 腸 ${\displaystyle {\vec {F}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$의, 曲線 ${\displaystyle {\vec {\gamma }}\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ 위의 船積분 은 다음과 같다.

${\displaystyle \int _{{\vec {\gamma }}([a,b])}{\vec {F}}\cdot d{\vec {\gamma }}=\int _{{\vec {\gamma }}([a,b])}{\vec {F}}\cdot {\frac {{\vec {\gamma }}'(t)}{\Vert {\vec {\gamma }}(t)\Vert }}ds=\int _{a}^{b}{\vec {F}}({\vec {\gamma }}(t))\cdot {\vec {\gamma }}'(t)dt}$

複素 函數의 境遇 [ 編輯 ]

 이 部分의 本文은 經路積分法 입니다.

函數 ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$의, 曲線 ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C} }$ 위의 船積분 은 다음과 같다.

${\displaystyle \int _{\gamma ([a,b])}fdz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)dt}$

性質 [ 編輯 ]

解析函數의 不定積分 [ 編輯 ]

${\displaystyle f\left(z\right)}$가 單純連結 領域 D內에서 解釋的 理라 하자. 그러면 領域 D內에 ${\displaystyle f\left(z\right)}$의 不定積分 , 卽, D內에 ${\displaystyle F'\left(z\right)=f\left(z\right)}$를 滿足하는 解析函數 ${\displaystyle F\left(z\right)}$가 存在하며, D內의 두 點 ${\displaystyle z_{0}}$와 ${\displaystyle z_{1}}$을 連結하는 D內의 모든 經路에 對하여

${\displaystyle \int _{z_{0}}^{z_{1}}{f\left(z\right)dz=F\left(z_{1}\right)-F\left(z_{0}\right)}}$

가 成立한다.

經路를 使用한 積分 [ 編輯 ]

이 方法은 解析函數에만 制限되지 않고 모든 連續인 複素函數 에 適用된다. ${\displaystyle a\leq t\leq b}$에서 ${\displaystyle z=z\left(t\right)}$에 依해 標示되는, 區分敵으로 매끄러운 經路를 ${\displaystyle C}$라 하고, ${\displaystyle f\left(z\right)}$가 ${\displaystyle C}$위에서 連續인 函數라 하면,

${\displaystyle \int _{C}^{}{f\left(z\right)}dz=\int _{a}^{b}{f\left[z\left(t\right)\right]}{\dot {z}}\left(t\right)dt}$   ${\displaystyle \left({\dot {z}}={\frac {dz}{dt}}\right)}$

이다.

應用 [ 編輯 ]

어떤 끈의 密度 를 그 끈을 따라 船積분하면, 끈의 質量 을 얻는다.

驛長 을 物體의 運動 經路를 따라 船積분하면, 힘이 物體에 한 日 을 얻는다. 힘이 한 일이 出發點과 到着點의 位置에만 依存하고 經路와 無關하다면, 그 힘을 保存力 이라고 한다. 保存力醬의 '圓函數'를 그 힘에 依한 位置 에너지 라고 한다.

外部 링크 [ 編輯 ]

• 李哲熙. “船積분” . 《數學노트》.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Path Integral” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Line integral” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• “Line integral” . 《nLab》 (英語).  
• “Path integral” . 《PlanetMath》 (英語).