範疇論
(範疇論,
英語
:
category theory
)은
數學
用語로,
數學的 構造
와 그들 間의 關係를
範疇
(
英語
:
category
)라는 抽象的인 槪念으로써 다루는 理論이다. 어떠한 '構造'를 가진 對象 및 그 構造를 反映하는 對象 사이의
史上
들의 모임이 '範疇'를 이룬다.
오늘날 範疇는
抽象代數學
을 비롯하여 數學의 많은 分野를 다루고 있으며, 特히
理論 컴퓨터 科學
이나
數學基礎論
,
數理物理學
과의 聯關性이 擡頭되고 있다. 以外에
範疇 理論
,
권론
(圈論),
카테고리 理論
等의 名稱으로도 불린다.
歷史
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範疇論은 다양한 階層의 數學的 構造들로부터 共通的인 性質을 이끌어내려고 하는 努力으로부터 始作되었다. 于先
範疇
의 槪念은
사무엘 에일렌베르크
와
손더스 매클레인
이 1942 ~ 1945年 頃에
代數的 位相數學
에서 靈感을 얻어 導入했다.
20世紀 前半部에는
集合論
이 數學 自體를 理解하는 道具로서 擡頭되었다. 이것은 數學의 理論이란 것은 모두 어떤 對象을 가지고 있으니, 이 對象의 모임을 集合이라 부르고 各各의 對象은 이 集合의 元素로 본다는 方法이다. 그러나 이런 對象을 理解하려면 集合만으로는 不足하며 이와 類似한 集合 사이의 關係를 把握함으로써만 可能하다는 事實을 곧바로 把握하여 두 集合 사이의 關係(relation), 特히 函數(function)을 통해 理解한다는 集合論을 만들었다.
그런데
호몰로지 理論
이 나오기 以前까지
位相空間
은 位相空間 사이의 問題만 생각했고 따라서 連續函數나
蠢動型 史上
(homomorphism)을 工夫한 反面, 代數學에서는 軍, 환, 체 等을 생각했고 그들 사이의 蠢動型 思想이나
同型 史上
(isomorphism)만을 생각하면 된다고 생각했다. 그런데 새로이 호몰로지 理論이 開發되면서 位相空間마다 郡이나 家君(module)을 對應시키고 連續函數(continuous map)마다 蠢動型 思想을 對應시키는 생각을 하니 以前에는 알지 못했던 엄청난 것을 알 수 있게 되었다.
이런 對應도 函數임에는 틀림 없지만 우리가 생각할 때는 位相空間 全體의 모임에서 軍 全體의 모임으로 한꺼번에 對應시키므로 뭔가 새로운 말을 만들 必要가 있었다.(사실 이런 對象 全體의 모임이 集合이 되기에는 너무 크다는 것도 다른 用語의 必要性을 提起했다.) 그래서 이런 어떤 構造를 갖는 對象 全體의 모임 (位相空間의 모임, 君의 모임, 等等)을 範疇(category)라고 부르고, 두 範疇 사이의 對應을 對應關係(functor)라고 부르기로 하였다. 그런데 호몰로지 理論을 잘 들여다 보면 이 對應關係만 알면 이 理論의 結果를 얻게 된다는 것을 알 수 있었다. 卽, 우리는 範疇의 여러 性質을 알아내는데 그 性質은 對應關係가 다 가지고 있다는 것이다. 여기서 集合論으로 돌아가 보아도 마찬가지 事實을 알 수 있다. 어떤 集合의 性質에 對하여 알고 싶은데 이 集合의 元素는 全혀 보지 않고 이 集合에서 나오고 들어가는 函數들 全體의 合成關係만 다 알면 이 集合의 集合으로서의 性質을 다 알 수 있다는 事實을 알게 되면서 集合果 元素의 性質을 決定하는 것은 元素 自身이 아니라 函數라는 새로운 事實이 重要한 事實로 擡頭되었다.
그래서 具體的인 範疇(位相空間의 範疇, 君의 範疇等)에 對한 이야기 말고, 一般的인 範疇의 理論을 만들려면, 集合論처럼 無定義 述語를 써서 功利的으로 만들듯 이 槪念의 核心을 잡아야 하는데, 結局 核心은 우리가 對象(object)이라 잡는 範疇의 元素들은 重要하지 않고 이들 사이의 函數에 該當하는 思想(morphism)의 合成關係만이 必要하니까 對象은 集合이라던가 하는 假定할 必要가 없어지게 되었다. 卽 對象 自體는 元素를 가질 必要가 없는 無定義 述語이고 思想도 더以上 함수일 必要 없이, 이들이 어떤 式으로 合成되는지 그 作用素만 定義되었다고 해도, 호몰로지 理論에서 하던 것과 같은 모든 이야기를 할 수 있다. 그리고 마음만 먹으면 이 思想에서부터 對象에 어떤 元素가 있는지도 어느 程度 알아낼 수 있다는 생각을 하게 된 것이다. 그러니까 範疇 理論은 集合論의 메타 理論이고, 어떤 意味에서 集合論이 集合을 主 對象으로 하고 이로부터 函數가 派生되어 나온 構造를 가지고 있다면, 範疇 理論은 函數(morphism)李 主 對象이고 이로부터 對象의 性質이 派生되어 나오는 것을 硏究하는 所謂 集合論에 이中(dual)的인 形態의 理論으로 자리잡게 되었다.
初期에는 이런 새로운 方法論이 集合論이 다루지 못했던 새로운 問題를 解決하리라고 생각했지만 이런 일은 일어나기 힘들다는 것을 알게 되었고, 따라서 매우 效率的인 言語임에는 틀림 없지만 集合論을 하는 것보다 더 알려주는 것은 없다는 批判을 받게 된다. 그러나 이 言語는 現代 數學의 모든 部分에서 集合만을 다루는 것보다 훨씬 便利하고 直觀的이어서 現代數學의 言語로 자리매김하였다. 그런데 以後 數十年이 지나면서 여러 다른 곳에서 이 槪念을 가져다 쓰게 되었다. 于先 컴퓨터에서 네트워크를 連結할 때 그 連結 네트워크의 構造를 그쪽 理論에서 普通 토폴로지(topology)라고 부르는데 이것이 컴퓨터의 內部와는 無關하므로 컴퓨터를 한 點이라고 보아 對象(object)이라고 부르고 네트워크가 連結되면 思想이 하나 있다는 式으로 使用하기 始作하여 範疇理論의 定理들을 거기 適用하였다. 한便 훨씬 더 時間이 지나 最近에는 論理學에서 어떤 論理學을 範疇와 思想으로 說明하고 이를 바탕으로 擴張된 論理學을 만들어나가는 等의 理論이 새로 생겨 兩者論理 라는 等의 새로운 試圖가 되고 있다. 이 理論은 層(sheaf)의 理論과 맞물려 論理學 自體가 또 다른 方向으로 매우 抽象的인 數學으로 變貌해 나가는 것을 보여준다.
參考 文獻
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主要 槪念들
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같이 보기
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外部 링크
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