數學 에서 等差數列 (等差數列, 文化語 : 같은差數列, 英語 : arithmetic progression, AP 또는 arithmetic sequence )은 連續하는 두 項의 差異가 모두 일정한 水熱 을 뜻한다. 例를 들어 1, 3, 5, 7, 9, ...은 等差數列이다. 이때 두 項의 差異는 이 數熱意 모든 連續하는 두 項들에 對해서 공 통으로 나타나는 次 이므로, 貢茶 ( common difference )라고 한다. 例를 들어, 앞의 數熱意 공차는 2이다.

數列의 첫港을 ${\displaystyle a_{1}}$, 空車를 ${\displaystyle d}$라고 할 때, 一般港을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

等差數列 救하기 [ 編輯 ]

等差數列의 項과 貢茶 利用 [ 編輯 ]

${\displaystyle x}$番째 港을 ${\displaystyle a_{x}}$, 空車를 ${\displaystyle d}$라 하면 等差數列의 一般項은 다음과 같다.

${\displaystyle a_{n}=a_{x}+(n-x)d}$

勿論 여기에 ${\displaystyle x=1}$을 代入하면 잘 알려진 一般港으로 다음을 얻는다.

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

이를테면 第5番째 項이 9이고, 公差가 2라면

${\displaystyle a_{n}=a_{5}+(n-5)d}$

${\displaystyle a_{n}=9+2(n-5)}$

${\displaystyle a_{n}=2n-1}$

貢茶 [ 編輯 ]

等差數列에서 連續하는 두 數의 差異를 貢茶(公差)라고 한다. 普通 ${\displaystyle d}$로 標示한다.

例示를 들면 다음과 같다.

• 1, 2, 3, 4,…으로 增加하는 數列이 있을 때, 貢茶 ${\displaystyle d}$는 1이다.
• 1, 1, 1, 1, 1, … 이런 數列이 있을 때, 貢茶 ${\displaystyle d}$는 0이다.(특히, 이런 數列을 常數水熱 이라고 한다)
• 2, 10, 18, 26, …으로 增加하는 數列이 있을 때, 貢茶 ${\displaystyle d}$는 8이다.
• 342, 345, 348, 351 …으로 增加하는 數列이 있을 때, 貢茶 ${\displaystyle d}$는 3이다.
• 0, -1, -2, -3, -4 …으로 增加하는 數列이 있을 때, 貢茶 ${\displaystyle d}$는 -1이다.

${\displaystyle d}$는 ${\displaystyle a_{(}n+1)}$ - ${\displaystyle a_{n}}$ (但, ${\displaystyle n}$은 ${\displaystyle >=}$ 2)로 求할 수 있다. 또는 ${\displaystyle a_{x}}$ - ${\displaystyle a_{y}}$ ${\displaystyle /}$ ${\displaystyle x}$ - ${\displaystyle y}$ 로 求할 수 있다.

等差中項 [ 編輯 ]

세 數 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$가 이 順序로 等差數列을 이룰때, ${\displaystyle b}$를 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle c}$의 等差中項이라고 한다. 세 數 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$에 對하여 ${\displaystyle b}$가 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle c}$의 等差中項이면 等差數列의 定義에 依해서 ${\displaystyle b-a=c-b}$ 이므로 다음이 成立한다.

${\displaystyle b={\frac {a+c}{2}}}$

等差中項은 두 數를 1:1로 內分하는 等分點이라고 생각하면 쉽다. 세 數 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$가 이 順序로 等差數列을 이룰때, ${\displaystyle b}$는 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle c}$의 二等分點이다. 네 數 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$가 이 順序로 等差數列을 이룰때, ${\displaystyle b}$는 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle d}$의 1:2 內分點이고 ${\displaystyle c}$는 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle d}$의 2:1 內分點이다. 卽, ${\displaystyle b}$와 ${\displaystyle c}$는 三等分點이 된다.

數列의 正義上 函數처럼 생각하면 이를 內分點, 或은 外分點의 意味로 받아 들일 수 있다. 抗議 비로 表現이 可能하다. ^[1]

等差級數 [ 編輯 ]

等差級數( 英語 : arithmetic series )는 다음과 같은 公式으로 나타난다. 初項부터 n番째 項까지의 合 ${\displaystyle S_{n}}$은

${\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}}$

이것은 다음과 같은 方法으로 證明할 수 있다.

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n-1}+a_{n}}$ 은, 卽

${\displaystyle =a_{1}+(a_{1}+d)+\dots +\{a_{1}+(n-2)d\}+\{a_{1}+(n-1)d\}}$

${\displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+\dots +a_{2}+a_{1}}$ 은, 卽

${\displaystyle =\{a_{1}+(n-1)d\}+\{a_{1}+(n-2)d\}+\dots +(a_{1}+d)+a_{1}}$

${\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+\dots +(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})}$

${\displaystyle 2S_{n}=[2a_{1}+(n-1)d]+[2a_{1}+(n-1)d]+\dots +[2a_{1}+(n-1)d]+[2a_{1}+(n-1)d]}$

${\displaystyle 2S_{n}=n[2a_{1}+(n-1)d]}$

${\displaystyle S_{n}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}}$

결론적으로 等差級數는 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$의 平均값 x ${\displaystyle \{a_{n}\}}$의 項의 個數 로 整理할 수 있다.(단, ${\displaystyle \{a_{n}\}}$은 有限數列)

等差級數의 公式은 實生活에서는 圖形의 넓이(ex-사다리꼴의 넓이)를 求하는데 主로 使用된다.

또 다른 方法 [ 編輯 ]

사람들은 다음과 같은 形態의 合을 쉽게 計算 할 수 있다.

${\displaystyle S=-5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5}$

${\displaystyle S=0}$임을 쉽게 알 수 있다.

等差數列의 合도 이와같은 方法을 利用할 수 있다. 卽, 兩 끝의 合이 0이 되도록 兩 끝의 合意 平均을 救해 項의 個數만큼 빼주는 것이다.

그 平均값을 m이라 하면

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}}$

兩邊 m을 n개 빼주면 右邊은 위와 같은 形態로 쉽게 0이 되어버린다.

${\displaystyle S_{n}-m*n=0}$

${\displaystyle S_{n}=m*n}$

${\displaystyle S_{n}=\{{\frac {(a_{1}+a_{n})}{2}}\}\cdot n}$

${\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$

等差級數의 無限合 [ 編輯 ]

첫項과 公差가 同時에 0이 아닌 어떤 等差數列 ${\displaystyle a_{n}}$에 對하여, 이 數熱意 無限合 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$은 恒常 發散 한다.

各州 [ 編輯 ]

같이 보기 [ 編輯 ]

• 等比數列
• 少數로 이루어진 等差數列
• 水熱 슬라이드 資料 (위키버시티)