數學 에서 K理論 (K理論, 英語 : K-theory )은 位相 空間 또는 스킴 위에 存在하는 벡터 다발 또는 連接層 을 다루는 分野다. 空間에 存在하는 이러한 다발 또는 層의 性質들로부터, 位相 空間 또는 스킴의 構造를 알 수 있다. 幾何學 과 位相數學 , 代數學 , 數論 과 關聯 있다.

K理論은 位相 空間 또는 스킴에서 關聯 圜으로 死傷하는 K 함자 系列의 構成을 包含한다. 이 환는 元來 空間이나 스킴의 構造의 一部 側面을 反映한다. 代數的 位相數學에서 軍 에 對한 銜字와 마찬가지로 이 함자 思想의 理由는 元來 空間이나 스킴보다 寫像된 圜에서 一部 位相 性質을 計算하는 것이 더 쉽기 때문이다. K-理論 接近法에서 얻은 結果의 例로는 그로텐디크-리만-로흐 整理 , 보트 週期性, 아티야-싱어 指標 整理 및 애덤스 演算이 있다.

數學 分野 分類(MSC 2010) 코드는 19 .

그로텐디크 完備花 [ 編輯 ]

아벨 某盧이드 의 그로텐디크 完備花는 K理論을 定義하는 데 必須的인 過程이다. K理論의 모든 正義가 適切한 範疇에서 아벨 모노이드를 構成하고 이 普遍的인 構成을 통해 이를 아벨 軍으로 바꾸는 것으로 始作하기 때문이다. 주어진 아벨 某盧이드 ${\displaystyle (A,+')}$에 對해 ${\displaystyle a_{1}+'b_{2}+'c=a_{2}+'b_{1}+'c}$人 ${\displaystyle c\in A}$가 存在하는 境遇, ${\displaystyle \sim }$ 를 ${\displaystyle A^{2}=A\times A}$에서 定義된 關係

${\displaystyle (a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2})}$

라 하자. 그렇게 그런 다음 集合 ${\displaystyle G(A)=A^{2}/\sim }$는 軍 救助 ${\displaystyle (G(A),+)}$를 가지고 있다. 여기서,

${\displaystyle [(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+'b_{2})].}$

이 君의 同値類는 아벨 某盧이드 元素의 形式的 次(差)로 생각해야 한다. 이 君 ${\displaystyle (G(A),+)}$은 또한 ${\displaystyle a\mapsto [(a,0)]}$로 주어진 某盧이드 準同型寫像 ${\displaystyle i:A\to G(A)}$과 關聯이 있다. 이는 普遍 性質 을 가지고 있다.

이 君을 더 잘 理解하려면 아벨 某盧이드 ${\displaystyle (A,+)}$의 몇 가지 同値類 를 考慮하면 된다. 여기서 ${\displaystyle A}$의 恒等元을 ${\displaystyle 0}$으로 적어서 ${\displaystyle [(0,0)]}$가 ${\displaystyle (G(A),+)}$의 恒等元이도록 한다. 첫 番째로, ${\displaystyle c=0}$으로 設定할 수 있고 童穉 關係에서 方程式을 適用하여 ${\displaystyle n=n}$를 얻을 수 있기 때문에 ${\displaystyle \forall n\in A}$, ${\displaystyle (0,0)\sim (n,n)}$이다. 이것은

${\displaystyle [(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=[(0,0)]}$

를 의미한다. 따라서 ${\displaystyle G(A)}$의 各 元素에 對한 덧셈 驛員을 가지고 있다. 이것은 同値類 ${\displaystyle [(a,b)]}$를 形式的 次 ${\displaystyle a-b}$로 생각해야 한다는 힌트를 提供 한다. 또 다른 有用한 觀察은 스케일링에서 同値類의 不變性이다.

${\displaystyle (a,b)\sim (a+k,b+k)}$ ${\displaystyle \forall k\in A.}$

그로텐디크 完備花는 함자 ${\displaystyle G:\mathbf {AbMon} \to \mathbf {AbGrp} }$로 볼 수 있다. 該當 忘却 함자 ${\displaystyle U:\mathbf {AbGrp} \to \mathbf {AbMon} }$에 隣接하게 남겨지는 性質이 있다. 卽, 아벨 某盧이드 ${\displaystyle A}$에서 아벨 軍 ${\displaystyle B}$의 基底 아벨 모노이드로 가는 史上 ${\displaystyle \phi :A\to U(B)}$가 주어졌을 때, 唯一한 아벨 軍 史上 ${\displaystyle G(A)\to B}$이 存在한다.

自然數 救助의 例示 [ 編輯 ]

살펴볼 例가 되는 例는 ${\displaystyle \mathbb {N} }$의 그로텐디크 完備花이다. ${\displaystyle G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+)}$을 볼 수 있다. 모든 雙 ${\displaystyle (a,b)}$에 對해 스케일링에서 不變性을 使用하여 極小 代表元 ${\displaystyle (a',b')}$을 찾을 수 있다. 例를 들어 스케일링 不變性에서 다음을 確認할 수 있다.

${\displaystyle (4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)}$

一般的으로 ${\displaystyle k:=\min\{a,b\}}$이다. 그러면,

${\displaystyle (a,b)\sim (a-k,b-k)}$ 形式인 것 ${\displaystyle (c,0)}$ 또는 ${\displaystyle (0,d).}$

이것은 ${\displaystyle (a,0)}$를 陽의 正數로 ${\displaystyle (0,b)}$를 陰의 正數로 생각해야 함을 보여준다.

正義 [ 編輯 ]

K理論은 여러 가지가 있으나, 모두 어떤 幾何學的 對象 위에, 그 위에 存在할 수 있는 벡터다발과 같은 構造들을 다룬다. 이러한 構造들은 ( 그로텐디크 軍 을 取하면) 自然스럽게 아벨 軍 을 이룬다. 이 群들을 K君 (K群, 英語 : K-group )이라고 하고, ${\displaystyle K_{n}(M)}$과 같이 쓴다. 여기서 ${\displaystyle M}$은 다루는 幾何學的 對象이고, ${\displaystyle n}$은 大略 "다발의 次元"에 該當하는 整數인 指數다. ${\displaystyle K_{n}}$은 아벨 軍 의 範疇 로의 함자 를 이룬다.

K理論에는 位相 K理論 , 代數的 K理論 , 作用素 K理論 等이 있다. 位相 K理論 은 局所 콤팩트 하우스도르프 空間 위에 存在하는 벡터 다발 들을 다룬다. 代數的 K理論 은 換 위에 存在하는 特定한 호모토피 理論的 構造들을 다룬다. (이는 스킴 理論을 통해, 스킴 위에 存在하는 連接層 으로 생각할 수 있다.) 作用素 K理論 은 C* 臺數 위에 存在하는 特定한 代數的 構造들을 다룬다. 이는 非可換 幾何學 을 통해, 非可換 空間 위에 存在하는 "벡터 다발"들로 생각할 수 있다.

K理論은 에일렌베르크-스틴로드 公理 에 따라, 特需(extraordinary) 코호몰로지 理論을 이룬다. 卽, 次元 公理를 除外하고, 普通 코호몰로지 의 性質들을 만족시킨다.

콤팩트 하우스도르프 空間에 對한 그로텐디크 軍 [ 編輯 ]

주어진 콤팩트 하우스도르프 空間 ${\displaystyle X}$에 對해 ${\displaystyle X}$ 위의 有限 次元 線型 다발의 同値類 集合 ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$을 考慮하자. 線型 다발 ${\displaystyle \pi :E\to X}$의 同型寫像 同値類 ${\displaystyle [E]}$를 보자. 線型 다발의 同値類에 對해 職合이 잘 定義되므로 同値類에 다음과 같이 演算을 作成할 수 있다.

${\displaystyle [E]\oplus [E']=[E\oplus E']}$

${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$는 自明한 線形 다발 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{0}\times X\to X}$에 依해 單位가 주어지는 아벨 모盧이드이다. 그런 다음 그로텐디크 完備花을 適用하여 이 아벨 모노이드에서 아벨 軍 을 얻을 수 있다. 이를 ${\displaystyle X}$의 K-理論이라하고 ${\displaystyle K^{0}(X)}$로 적는다.

세르-스완 整理 와 어떤 代數를 使用하여 連續 複素 函數 圜 ${\displaystyle C^{0}(X;\mathbb {C} )}$에 對한 線形 다발의 射影 家君 說明을 얻을 수 있다. 그런 다음 이들은 어떤 行列환 ${\displaystyle M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))}$에서 멱等 行列로 識別될 수 있다. 멱等 行列의 同値類를 定義하고 아벨 某盧이드 ${\displaystyle {\textbf {Idem}}(X)}$를 形成할 수 있다. 이의 그로텐디크 完備花度 ${\displaystyle K^{0}(X)}$라고 한다. 位相 空間에 對한 그로텐디크 君을 計算하는 主要 技術 中 하나는 아티야?히르體부르흐 스펙트럼 熱에서 가져오므로 아주 쉽게 接近할 수 있다. 이 스펙트럼 熱를 理解하는 데 必要한 唯一한 計算은 舊 ${\displaystyle S^{n}}$에 對해 軍 ${\displaystyle K^{0}}$을 計算하는 것이다. ^{[1] 페이지 51-110}

代數 幾何學에서 線形 다발의 그로텐디크 軍 [ 編輯 ]

代數 幾何學 에서 線形 다발을 考慮하여 類似한 構成이 있다. 뇌터 스킴 ${\displaystyle X}$에 對해, ${\displaystyle X}$ 위의 代數的 線形 다발 의 모든 同値類 集合 ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$가 있다. 그런 다음 以前과 같이 職합 ${\displaystyle \oplus }$이 線形 다발의 同型寫像 同値類는 잘 定義되어 있으며, 아벨 某盧이드 ${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$를 提供한다. 그런 다음 아벨 모노이드에 그로텐디크 構成을 適用하여 그로텐디크 軍 ${\displaystyle K^{0}(X)}$이 定義된다.

代數幾何學에서 連接層의 그로텐디크 軍 [ 編輯 ]

代數幾何學에서는 同一한 構成을 매끄러운 스킴를 통해 臺數 線形 다발에 適用할 수 있다. 그러나 모든 뇌터 스킴 ${\displaystyle X}$에 對한 代案的 構成이 있다. 連接層 ${\displaystyle \operatorname {Coh} (X)}$의 同値類를 보면, 짧은 完全熱

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.}$

이 있는 境遇 關係 ${\displaystyle [{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']}$에 依해 修正할 수 있다. 이것은 그로텐디크 軍 ${\displaystyle K_{0}(X)}$을 提供한다. 萬若에 ${\displaystyle X}$가 매끄러우면 이는 ${\displaystyle K^{0}(X)}$과 同型이다. 軍 ${\displaystyle K_{0}(X)}$에는 圜 構造도 있기 때문에 特別하다. 그것을 다음과 같이 定義한다.

${\displaystyle [{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].}$

그로텐디크-리만-로흐 整理 를 使用하면

${\displaystyle \operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q} }$

는 圜 同型寫像이다. 따라서 交叉 理論에 對해 ${\displaystyle K_{0}(X)}$를 使用할 수 있다. ^[2]

歷史 [ 編輯 ]

K理論은 알렉산더 그로텐디크 가 1957年에 리만-로흐 整理 와 히르體브루흐-리만-로흐 整理 를 擴張한 그로텐디크-히르체브루흐-리만-로흐 整理 를 發表하면서 導入한 것으로 여길 수 있다. "K"는 獨逸語 : Klasse 클라세 ^{[ * ]} 의 略字로, 特性類 를 뜻한다. 그로텐디크가 創始한 理論은 代數的 K理論 에서의 ${\displaystyle K_{0}}$에 該當한다.

그로텐디크는 代數的 多形體 ${\displaystyle X}$에서 連接層 으로 作業해야 했다. 層으로 直接 作業하는 代身, 그는 層의 同値類를 君의 生成원으로 使用하여 君을 定義했으며, 두 層의 擴張을 그들의 合으로 識別하는 關係에 따라 달라졌다. 結果로 나온 軍은 局所 自由 層 萬 使用되는 境遇 ${\displaystyle K(X)}$로, 모두 連接層인 境遇 ${\displaystyle G(X)}$로 불린다. 이 두 構成 中 하나를 그로텐디크 軍 이라고 한다. ${\displaystyle K(X)}$는 코호몰로지 敵 行動을 하고 ${\displaystyle G(X)}$는 호몰로지 敵 行動을 한다.

${\displaystyle X}$가 매끄러운 多形體 인 境遇 두 軍은 同一하다. ${\displaystyle X}$가 매끄러운 아핀 多形體이라면, 局所的으로 自由 層의 모든 擴張이 分割되므로 軍은 大體的 定義를 갖는다.

位相數學 에서는 線型 다발 에 同一한 構成을 適用하여 1959年에 마이클 아티야 와 프리드리히 히르體브루흐 가 位相 空間 ${\displaystyle X}$에 對해 ${\displaystyle K(X)}$를 定義하고 보트 週期性 整理를 使用하여 이를 놀라운 코호몰로지 理論 의 基礎로 삼았다. 그것은 아티야-싱어 指標 整理 (1962年頃)의 두 番째 證明에서 重要한 役割을 했다. 게다가 이 接近法은 C*-臺數 에 對한 非可換 K-理論으로 이어졌다.

이미 1955年에 장피에르 세르 는 射影 家君 이 있는 線型 다발 의 類推를 使用하여 多項式 圜 위에 有限하게 生成된 모든 私營 家君이 自由 家君 이라는 세르 推測 을 公式化했다. 이 主張은 맞지만 20年이 지나도록 解決되지 않았다. ( 스완 整理 는 이 比喩의 또 다른 側面이다.)

代數的 K理論의 다른 歷史的 起源은 나중에 화이트헤드 비틀림으로 알려지게 된 화이트헤드 와 다른 사람들의 作業이다.

高次 K理論 함자 에 對한 다양한 部分的 正義가 있었던 期間이 뒤따랐다. 마지막으로 1969年과 1972年에 호모토피 理論을 使用하여 대니얼 퀼런 이 두 가지 有用하고 同等한 正義를 提供했다. pseudo-isotopies 硏究와 關聯된 空間의 代數的 K理論을 硏究하기 위해 프리드헬름 발트하우젠이 變形을 提供했다. 더 높은 K理論에 對한 많은 現代 硏究는 代數 幾何學 및 動機 코호몰로지 硏究와 關聯이 있다. 1973年에 대니얼 퀼런 이 高次 代數的 K君( ${\displaystyle K_{3}}$, ${\displaystyle K_{4}}$, …)을 定義하였다. ^[3]

補助 二次 形式 을 包含하는 該當 構成은 L-理論으로 불린다. 그것은 手術 理論 의 主要 道具이다. ^[4]

끈 理論 에서 라몬드-라몬드 腸 强度와 安定的인 D-膜 의 殿下의 K-理論 分類는 1997年에 처음 提案되었다. 끈 理論 의 D-膜 들이 時空間 의 位相 K理論 으로 分類된다는 事實이 밝혀졌다. ^{[5] [6] [7] [8]}

예 및 性質 [ 編輯 ]

체의 K ₀ [ 編輯 ]

그로텐디크 軍의 가장 쉬운 例는 체 ${\displaystyle \mathbb {F} }$에 對한 點 ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {F} )}$의 그로텐디크 郡이다. 이 空間 위의 線形 다발은 有限 次元 線型 空間이며, 이는 延接層 範疇의 自由 對象이므로 私營이므로 同値類의 모노이드는 ${\displaystyle \mathbb {N} }$과 같고 扇形 空間의 次元에 該當한다. 이 그로텐디크 軍이 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$이라는 것을 보이는 것은 쉬운 練習이다.

體에 對한 아틴 臺數의 K ₀ [ 編輯 ]

뇌터 스킴 ${\displaystyle X}$의 그로텐디크 軍의 重要한 性質 中 하나는 그것은 縮小 下에서 不變이라는 것이다. 卽, ${\displaystyle K(X)=K(X_{\text{red}})}$. ^[9] 따라서 아틴 ${\displaystyle \mathbb {F} }$-臺數의 그로텐디크 軍은 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$들의 직합이다. 이때 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$는 스펙트럼의 連結成分 黨 하나씩이다. 例를 들어,

射影 空間의 K ₀ [ 編輯 ]

그로텐디크 軍의 가장 一般的으로 使用되는 計算 中 하나는 체 위의 射影 空間 ${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$에 對한 計算이다. 이것은 射影 空間 ${\displaystyle X}$의 交叉數를 賣場 ${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}}$과 밂 당김 公式 ${\displaystyle i^{*}([i_{*}{\mathcal {E}}]\cdot [i_{*}{\mathcal {F}}])}$을 使用하여 計算할 수 있기 때문이다. 이렇게 하면 ${\displaystyle K(X)}$의 元素를 使用하여 具體的인 計算을 遂行할 수 있다. 왜냐하면

이므로 構造를 明示的으로 알 必要 없기 때문이다 ^[10] . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$의 그로텐디크 君을 決定하는 한 가지 技法은 다음과 같은 階層化에서 비롯된다. 아핀 空間에 對한 延接層의 그로텐디크 軍은 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$와 同型이기 때문에 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}},\mathbb {A} ^{n-k_{2}}}$의 交集合은 一般的으로 ${\displaystyle k_{1}+k_{2}\leq n}$에 對해

射影 다발의 K ₀ [ 編輯 ]

그로텐디크 軍에 對한 또 다른 重要한 公式은 私營 다발 公式이다. ^[11] 주어진 랭크 ${\displaystyle r}$ 線型 다발 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ 뇌터 스킴 ${\displaystyle X}$을 통해, 私營 다발의 그로텐디크 軍 ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))}$는 基底가 ${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{n-1}}$人 랭크 ${\displaystyle r}$ 自由 ${\displaystyle K(X)}$-家君이다. 이 公式을 使用하면 ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n}}$의 그로텐디크 君을 計算할 수 있다. 이렇게 하면 ${\displaystyle K_{0}}$ 또는 히르體부르흐 曲面을 計算할 수 있다. 또한 이것이 체 ${\displaystyle \mathbb {F} }$ 위의 私營 多發임을 觀察함으로써 그로텐디크 軍 ${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$을 計算하는 데 使用할 수 있다.

特異 空間의 K ₀ 와 分離된 몫 特異點이 있는 空間 [ 編輯 ]

${\displaystyle K^{0}(X)}$와 ${\displaystyle K_{0}(X)}$의 差異를 計算하는데서 오는 些少한 特異點을 가진 空間의 그로텐디크 君을 計算하는 最近 技法 中 하나는, 이는 모든 線形 다발이 連接層으로 同等하게 說明될 수 있다는 事實에서 비롯된다. 이것은 誘導된 非可換 代數 幾何學 에서 Singularity 範疇 ${\displaystyle D_{sg}(X)}$의 그로텐디크 君을 使用하여 遂行된다. ^{[12] [13]} . 다음으로 始作하는 긴 完全熱을 提供한다.

여기서 高次 項은 高次 K-理論 에서 나온다. 매끄러운 零點 ${\displaystyle X_{sm}\hookrightarrow X}$들 위의 線形 다발 ${\displaystyle E\to X_{sm}}$로 提供된 特異한 ${\displaystyle X}$의 線形 다발에 留意하자. 이것은 一般的으로 分離된 몫 特異點을 가지기 때문에 加重 射影 空間에서 그로텐디크 君을 計算하는 것을 可能하게 한다. 特히 이러한 特異點에 燈榜 軍 ${\displaystyle G_{i}}$들이 있는 境遇, 史上 는 丹沙이고 女核은 ${\displaystyle n=\dim X}$人 ${\displaystyle {\text{lcm}}(|G_{1}|,\ldots ,|G_{k}|)^{n-1}}$에 依해 消滅된다. ^{[13] 3페이지}

매끄러운 私營 曲線의 K ₀ [ 編輯 ]

매끄러운 私營 曲線 ${\displaystyle C}$에 對해, ${\displaystyle C}$의 피카르 軍 의 그로텐디크 軍은

이는 代數的 K-理論 의 브라운-게르스텐-퀼런 스펙트럼 熱 ^{[14] 72쪽} 에서 由來한다. 體에 對한 有限 類型의 正規 스킴의 境遇, 餘次元 ${\displaystyle p}$人 部分 스킴 ${\displaystyle x:Y\to X}$들의 集合을 의미하는 女次元 ${\displaystyle p}$인 點들의 集合 ${\displaystyle X^{(p)}}$에 對해 收斂 스펙트럼 熱이 있다. 여기서 ${\displaystyle k(x)}$는 部分 스킴의 代數的 函數體이다. 이 스펙트럼 熱은 性質 ^{[14] pg 80} 을 가진다. ${\displaystyle X}$의 藷芋 環의 境遇, 本質的으로 ${\displaystyle K_{0}(C)}$의 計算을 提供한다. 왜냐하면 ${\displaystyle C}$가 餘次元 ${\displaystyle 2}$인 點을 갖지 않기 때문에, 스펙트럼 熱意 唯一한 重要하지 않은 部分은 ${\displaystyle E_{1}^{0,q},E_{1}^{1,q}}$이다. 따라서 그런 다음 coniveau 濾過 를 使用하여 ${\displaystyle K_{0}(C)}$을 完全熱 을 提供하므로 願하는 明示的 職合으로 決定할 수 있다. 여기서 왼쪽 項은 ${\displaystyle {\text{CH}}^{1}(C)\cong {\text{Pic}}(C)}$과 同型이다. 오른쪽 項은 ${\displaystyle CH^{0}(C)\cong \mathbb {Z} }$과 同型이다. ${\displaystyle {\text{Ext}}_{\text{Ab}}^{1}(\mathbb {Z} ,G)=0}$이므로, 同型寫像을 提供하는 分離 위의 아벨 君의 熱를 가진다. 萬若 ${\displaystyle C}$가 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 위의 종수 ${\displaystyle g}$의 매끄러운 私營 曲線이면, 또한, 孤立된 特異點에 對해 誘導된 特異點 範疇를 使用하는 위의 技術은 孤立된 코언-매콜리 特異點으로 擴張되어 모든 特異 代數 曲線의 그로텐디크 君을 計算하는 技術을 提供한다. 縮小는 一般的으로 매끄러운 曲線을 提供하고 모든 特異點은 코언-매콜리이기 때문이다.

應用 [ 編輯 ]

假想 다발 [ 編輯 ]

그로텐디크 君의 有用한 應用 中 하나는 假想 線形 다발을 定義하는 것이다. 例를 들어 매끄러운 空間을 揷入한 境遇 ${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$ 짧은 完全熱이 있다.

${\displaystyle 0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0}$

여기서 ${\displaystyle C_{Y/X}}$는 ${\displaystyle X}$에서 ${\displaystyle Y}$의 如法 다발이다. 特異 空間 ${\displaystyle Y}$이 있다면 매끄러운 空間 ${\displaystyle X}$에 묻힌 假想 如法 다발을 다음과 같이 定義한다.

${\displaystyle [\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]}$

假想 다발의 또 다른 有用한 適用은 空間 交叉點의 假想 접다발의 定義이다. ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}\subset X}$를 매끄러운 私營 多形體의 私營 部分 多形體이라 하자. 그런 다음 交集合 ${\displaystyle Z=Y_{1}\cap Y_{2}}$의 假想 椄다발을 定義할 수 있다.

${\displaystyle [T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}]|_{Z}.}$

콘세비치는 그의 論文 中 하나에서 이 構成을 使用한다. ^[15]

千 特性 [ 編輯 ]

千 特性類 는 空間의 位相 K-理論 에서 有利 코호몰로지(의 完備)로 가는 換衣 同型寫像을 構成하는 데 使用할 수 있다. 線다발 ${\displaystyle L}$의 境遇 千 特性 ch는 다음과 같이 定義된다.

${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$

더 一般的으로, 萬若 ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n}}$ 첫 番째 千 特性類 ${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i})}$가 있는 線다발의 직합이다. 千 特性은 加法的으로 定義된다.

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\dots +x_{n}^{m}).}$

千 特性은 텐서 곱의 千 特性類 計算을 容易하게 하기 때문에 部分的으로 有用하다. 千 特性는 히르體부르흐-리만-로흐 整理 에서 使用된다.

等邊 K-理論 [ 編輯 ]

等邊 代數的 K-理論은 範疇와 關聯된 代數的 K-理論 이다. ${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$ 代數的 스킴에서 等邊 連接層 ${\displaystyle X}$ 線型 臺數 軍 ${\displaystyle G}$의 作用으로, 퀼런의 Q-構成을 통해; 따라서 正義에 따라

${\displaystyle K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X)).}$

特히, ${\displaystyle K_{0}^{G}(C)}$는 ${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$의 그로텐디크 軍 이다. 이 理論은 1980年代에 토마슨에 依해 開發되었다. ^[16] 具體的으로 그는 局所化 定理와 같은 基本 整理의 等邊敵으로 類似한 命題를 證明했다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 그로텐디크-리만-로흐 整理
• 보트 週期性
• KK 理論
• KR-理論
• 코호몰로지 理論 目錄
• 代數的 K-理論
• 位相 K-理論
• 演算子 K 理論
• 物理學에서 K理論

參考 文獻 [ 編輯 ]

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外部 링크 [ 編輯 ]

• Weisstein, Eric Wolfgang. “K-theory” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.