層 理論에서, fpqc 位相 (fpqc位相, 英語 : fpqc topology )은 스킴 의 範疇 위에 定義되는 매우 섬세한 그로텐디크 位相 이다. 이러한 섬세함에도 不拘하고, fpqc 位相에서 多樣한 내림 理論 을 展開할 수 있다.

正義 [ 編輯 ]

fpqc 位相 [ 編輯 ]

fpqc 史上 ( 英語 : fpqc morphism )은 다음 條件들을 만족시키는 스킴 史上 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$이다. ^{[1] :Definition 2.34}

• 戰死 函數 이다.
• 平坦 史上 이다.
• ${\displaystyle Y}$의 모든 콤팩트 열린集合 ${\displaystyle K_{Y}\subseteq Y}$에 對하여, ${\displaystyle f(K_{X})=K_{Y}}$가 되는 콤팩트 열린集合 ${\displaystyle K_{X}\subseteq X}$가 存在한다. (여기서 콤팩트 空間 의 正義는 하우스도르프 條件 을 包含하지 않는다.)

스킴 의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {Sch} }$는 모든 雙대곱 을 가지며, 集合 으로서 이는 分離合集合 이다. (그러나 밂 은 一般的으로 存在하지 않는다.) 같은 工役 을 갖는 스킴 思想들의 集合 ${\displaystyle \{f_{i}\colon U_{i}\to U\}_{i\in I}}$에 對하여, 萬若 普遍 性質 에 依하여 存在하는 思想

${\displaystyle f=\bigsqcup _{i\in I}f_{i}\colon \bigsqcup _{i\in I}U_{i}\to U}$

이 fpqc 思想이라면, ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$를 fpqc 덮개 라고 한다. fpqc 덮개들은 ${\displaystyle \operatorname {Sch} }$ 위의 그로텐디크 準位相 을 이루며, 이로부터 誘導되는 그로텐디크 位相 을 fpqc 位相 ( 英語 : fpqc topology )이라고 한다.

fppf 位相 [ 編輯 ]

같은 工役 을 갖는 스킴 史上 들의 集合 ${\displaystyle \{f_{i}\colon U_{i}\to U\}_{i\in I}}$에 對하여, 普遍 性質 에 依하여 存在하는 思想

${\displaystyle f=\bigsqcup _{i\in I}f_{i}\colon \bigsqcup _{i\in I}U_{i}\to U}$

을 생각하자. 萬若

• ${\displaystyle f_{i}}$가 各各 局所 有限 標示 史上 利子 平坦 史上 이며
• ${\displaystyle f}$가 戰死 函數 라면

${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$를 fppf 덮개 라고 한다. ^{[1] :Example 2.32} fppf 덮개들은 ${\displaystyle \operatorname {Sch} }$ 위의 그로텐디크 準位相 을 이루며, 이로부터 誘導되는 그로텐디크 位相 을 fppf 位相 ( 英語 : fppf topology )이라고 한다.

性質 [ 編輯 ]

位相의 比較 [ 編輯 ]

모든 fppf 덮개는 fpqc 덮개이다. 따라서, fpqc 位相은 fppf 位相보다 더 섬세하다. 마찬가지로, fppf 位相은 에탈 位相 보다 더 섬세하다. fpqc 位相에서 모든 表現 可能 準層 이 層 을 이루므로, fpqc 位相은 標準 位相 보다는 더 엉성하다.

fpqc 位相을 스킴의 範疇 위에 흔히 使用되는 位相 가운데 가장 섬세한 것이며, fpqc 位相(및 그보다 더 엉성한 모든 位相)의 境遇 準連接層 에 對한 내림 이 成立한다. ^[1]

集合論的 問題 [ 編輯 ]

fpqc 位相은 (더 엉성한 位相과 달리) 여러 集合論的 問題를 가진다. fppf 位相이나 에탈 位相 等의 境遇, 주어진 스킴 ${\displaystyle S}$ 위에, 다음 條件을 만족시키는 덮개들의 集合 ${\displaystyle \{{\mathcal {U}}_{i}\}_{i\in I}}$이 存在한다.

• 任意의 ${\displaystyle S}$의 덮개에 對하여 그보다 더 섬세한 덮개 ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$가 存在한다.

그러나 fpqc 位相의 境遇 이 條件이 成立하지 않는다. 卽, 이러한 條件을 만족시키는 덮개들의 모임 은 一般的으로 固有 모임 이다. 이에 따라, fpqc 位相 위의 準層 의 層化는 一般的으로 存在하지 않는다. ^{[2] :605, Theorem 5.5}

어원 [ 編輯 ]

"fpqc"라는 이름은 프랑스語 : fidelement plat et quasi-compact (充實하게 平坦하며 準콤팩트 )라는 뜻이다. 여기서 "充實하게 平坦"하다는 것은 戰死 函數 利子 平坦 思想이라는 것이다. 이름과 달리, fpqc 位相은 ${\displaystyle \bigsqcup _{i}f_{i}}$가 準콤팩트 戰死 平坦 思想인 덮개로서 定義할 수 없다. ^{[1] :§2.3.2} 이러한 思想들로 그로텐디크 位相 을 定義할 수는 있지만, 이 位相은 準標準 位相 이 아니다 (卽, 層 을 이루지 않는 表現 可能 準層 이 存在한다).

"fppf"라는 이름은 프랑스語 : fidelement plat et de presentation finie (充實하게 平坦하며 有限 標示 )라는 뜻이다. 이름과는 달리, 그 定義에서는 有限 標示 史上 代身 局所 有限 標示 史上 을 使用한다.

各州 [ 編輯 ]

外部 링크 [ 編輯 ]

• “fpqc site” . 《nLab》 (英語).  
• “fpqc topology” . 《nLab》 (英語).  
• “fppf site” . 《nLab》 (英語).  
• Mathew, Akhil (2010年 9月 9日). “The fpqc topology” . 《Climbing Mount Bourbaki》 (英語).  
• Ward, Matt (2013年 6月 5日). “What’s up with the fppf site?” . 《A Mind for Madness》 (英語). 2016年 10月 13日에 原本 文書 에서 保存된 文書 . 2016年 6月 2日에 確認함 .  
• Belmans, Pieter (2013年 12月 31日). “The fppf topology is generated by Zariski coverings and surjective finite locally free morphisms” . 《On Music, Computing and Math》 (英語).  
• de Jong, Johan (2011年 3月 3日). “Comparing topologies” . 《The Stacks Project Blog》 (英語).  
• “What is the purpose of the flat/fppf/fpqc topologies?” (英語). Math Overflow.  
• “fpqc covers of stacks” (英語). Math Overflow.