集合論 에서 이름 ( 英語 : name )은 强制法 에 登場하는, 集合 의 槪念의 一種의 一般化인 累積 位階 이다. 集合의 境遇 무언가가 集合의 元素인지 與否는 참 또는 거짓이지만, 무언가가 이름의 元素인지 與否는 보다 一般的인 願順序 集合 또는 完備 불 臺數 의 元素에 따라 나타내어진다.

正義 [ 編輯 ]

이름 [ 編輯 ]

任意의 集合 ${\displaystyle X}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 演算

${\displaystyle Q\colon S\mapsto {\mathcal {P}}(S\times X)}$

에 對한 累積 位階 를 ${\displaystyle X}$- 이름 位階 ( 英語 : hierarchy of ${\displaystyle X}$-names )라고 하며, ^{[1] :188, Definition VII.2.5} ${\displaystyle \operatorname {Name} _{X,\alpha }}$로 表記한다. 이 槪念은 强制法 에 核心的으로 使用된다.

任意의 두 이름 ${\displaystyle \sigma ,\tau \in \operatorname {Name} _{X}}$에 對하여, ${\displaystyle \sigma \in \tau }$의 "참·거짓 與否"는 다음과 같은 ${\displaystyle X}$의 部分 集合으로 나타내어진다.

${\displaystyle \{x\in X\colon (\sigma ,x)\in \tau \}}$

卽, 이 境遇 참·거짓 與否가 (古典 論理의) 2元素 불 臺數 ${\displaystyle \{\top ,\bot \}}$ 代身 불 臺數 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$로 나타내어진다.

任意의 順序數 ${\displaystyle \alpha }$에 對하여, 다음과 같은 函數를 定義하자.

${\displaystyle \operatorname {dom} \colon \operatorname {Name} _{X,\alpha }\to {\mathcal {P}}(\operatorname {Name} _{X,\alpha })}$

${\displaystyle \operatorname {dom} (\tau )=\{\sigma \colon (\sigma ,x)\in X\}}$

좋은 이름 [ 編輯 ]

願順序 集合 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$와 ${\displaystyle P}$-이름 ${\displaystyle \tau }$가 주어졌다고 하자. 또한, 函數 ${\displaystyle f\colon \operatorname {dom} \tau \to {\mathcal {P}}(X)}$의 値域 의 모든 元素가 ${\displaystyle P}$의 江上向 反사슬 이라고 하자. 이 境遇, 다음과 같은 이름을 構成할 수 있다.

${\displaystyle \sigma =\{(\tau ',x)\colon \tau '\in \operatorname {dom} \tau ,\;x\in f(\tau ')\}}$

이러한 꼴의 이름을 ${\displaystyle \tau }$에 對한 좋은 이름 ( 英語 : nice name )이라고 한다. ^{[1] :208, Definition VII.5.11}

特히, ${\displaystyle \tau }$에 對한 좋은 이름 ${\displaystyle \sigma }$가 주어졌을 때, 다음이 成立한다.

${\displaystyle \operatorname {dom} \sigma \subseteq \operatorname {dom} \tau }$

性質 [ 編輯 ]

範疇論的 性質 [ 編輯 ]

任意의 順序數 ${\displaystyle \alpha }$에 對하여, ${\displaystyle \operatorname {Name} _{-,\alpha }\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Set} }$는 함자 를 이룬다. 具體的으로, 任意의 函數 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 對하여,

${\displaystyle \operatorname {Name} _{f,\alpha }\colon N\mapsto \{\left(\operatorname {Name} _{f,\beta }(a),f(x)\right)\colon (a,x)\in N,\;a\in \operatorname {Name} _{X,\beta },\;\beta <\alpha \}}$

이다.

보다 一般的으로, ${\displaystyle \operatorname {Rel} }$이 集合과 이항 關係 의 範疇 일 때, 다음과 같은 銜字가 存在한다.

${\displaystyle \operatorname {Name} _{-,\alpha }\colon \operatorname {Rel} \to \operatorname {Set} }$

${\displaystyle \operatorname {Name} _{R,\alpha }\colon \sigma \mapsto \{\left(\operatorname {Name} _{R,\beta }(\tau ),y\right)\colon (\tau ,x)\in \sigma ,\;(x,y)\in R\}}$

任意의 部分 集合 ${\displaystyle S\subseteq X}$ 및 한元素 集合 ${\displaystyle \{\bullet \}}$에 對하여, 다음과 같은 이항 關係 ${\displaystyle R_{S}}$를 생각하자.

${\displaystyle (x,\bullet )\in R_{S}\iff x\in S}$

그렇다면, 函數

${\displaystyle \operatorname {Name} _{R_{S}}\colon \operatorname {Name} _{X}\to \operatorname {Name} _{\{\bullet \}}\cong V}$

를 생각하자. 이를 ${\displaystyle X}$-이름의 ${\displaystyle S}$- 解釋 이라고 하며,

${\displaystyle \operatorname {val} _{S}\colon \operatorname {Name} _{X}\to V}$

로 表記한다. ^{[1] :189, Definition VII.2.7}

强制法 에서, ${\displaystyle \operatorname {val} _{S}(u)}$는 包括的 順序 아이디얼 ${\displaystyle S}$를 使用하여 定義한 擴張된 元素를 나타낸다.

模型 理論的 性質 [ 編輯 ]

이름의 槪念은 ZFC 의 標準 秋移籍 模型 에 對하여 絶對的 이다. ^{[1] :188, §VII.2} 卽, ZFC 의 標準 秋移籍 模型 ${\displaystyle M}$ 및 ${\displaystyle X\in M}$ 및 集合 ${\displaystyle \tau \in M}$에 對하여, 다음이 成立한다.

${\displaystyle \left(M\models (\tau \in \operatorname {Name} _{X})\right)\iff \tau \in \operatorname {Name} _{X}}$

다시 말해, ${\displaystyle (\operatorname {Name} _{X})^{M}=\operatorname {Name} _{X}\cap M}$이다. 마찬가지로, 좋은 이름의 槪念은 絶對的 이다. ^[1]

ZFC 의 標準 秋移籍 模型 ${\displaystyle M}$ 및 願順序 集合 ${\displaystyle X\in M}$ 및 두 이름 ${\displaystyle \mu ,\sigma \in M\cap \operatorname {Name} _{X}}$에 對하여, 다음이 成立하는 ${\displaystyle \sigma }$-좋은 이름 ${\displaystyle \tau }$가 存在한다.

${\displaystyle \forall x\in X\colon x\Vdash (\mu \subseteq \sigma \implies \mu =\tau )}$

다시 말해, 任意의 ${\displaystyle X}$의 包括的 順序 아이디얼 ${\displaystyle G}$ 및 ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Name} _{X}\cap M}$ 및 ${\displaystyle S\in {\mathcal {P}}(\operatorname {val} _{G}(\sigma ))\cap M[G]}$에 對하여, ${\displaystyle \operatorname {val} _{G}(\tau )=S}$人 ${\displaystyle \sigma }$-좋은 이름 ${\displaystyle \tau }$가 存在한다. (그러나 그 驛은 一般的으로 成立하지 않는다. 卽, 萬若 ${\displaystyle \tau }$가 ${\displaystyle \sigma }$-좋은 이름일 때, ${\displaystyle \operatorname {val} _{G}(\tau )\subseteq \operatorname {val} _{G}(\sigma )}$日 必要는 없다. ^{[1] :209} )

예 [ 編輯 ]

萬若 ${\displaystyle X}$가 空集合 이라면 ${\displaystyle \operatorname {Name} _{\varnothing }=\{\varnothing \}}$이다.

萬若 ${\displaystyle X}$가 한元素 集合 이라면 ${\displaystyle Q}$는 冪集合 연산과 同型이며, 이름 位階는 폰 노이만 全體 와 同型이다. 이에 따라 이름 位階는 폰 노이만 全體 의 擴張으로 여길 수 있다.

參考 文獻 [ 編輯 ]