微積分學 에서 바이어슈트라스 置換 (-置換, 英語 : Weierstrass substitution ) 또는 탄젠트 半角 置換 (-半角置換, 英語 : tangent half-angle substitution ) 또는 t-置換 (-置換, 英語 : t-substitution )은 半角의 탄젠트 를 새로운 變數로 代身하는 置換 積分 이다. 三角 函數 의 有理 函數 를 積分 하는 데 使用된다.

正義 [ 編輯 ]

모든 三角 函數 의 有理 函數 는 어떤 2變數 有理 函數 ${\displaystyle R(u,v)}$에 對하여 ${\displaystyle R(\sin x,\cos x)}$와 같은 꼴로 나타낼 수 있다. 바이어슈트라스 置換 은 이러한 函數를 積分하는 데 使用되는 다음과 같은 置換 積分 技法이다.

${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}=t}$

이 境遇 다음이 成立한다.

${\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}},\;\cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\;x=2\arctan t,\;\mathrm {d} x={\frac {2}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t}$

따라서 ${\displaystyle R(\sin x,\cos x)}$의 積分은 다음과 같은 有理 函數 積分으로 變한다. ^{[1] :263-264 [2] :351}

${\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int R\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right){\frac {2}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t}$

모든 有理 函數의 圓函數는 初等 函數 이므로, 모든 三角 函數의 有理 函數의 圓函數 亦是 初等 函數이다. ^{[1] :264}

다른 方法 [ 編輯 ]

바이어슈트라스 置換은 때로 複雜한 計算을 가져온다. 다음과 같은 몇 가지 특수한 꼴의 境遇에는 보다 더 簡便한 技法이 存在한다. ^{[1] :264-265 [2] :351}

• 萬若 ${\displaystyle R(-u,v)=-R(u,v)}$라면, 이는 恒常 ${\displaystyle R(u,v)=uR_{1}(u^{2},v)}$ 꼴로 나타낼 수 있으며, 이 境遇 ${\displaystyle \cos x=t}$와 같이 置換하는 것이 좋다.

  ${\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)dx=\int \sin xR_{1}(\sin ^{2}x,\cos x)dx=-\int R_{1}(1-t^{2},t)dt}$

• 萬若 ${\displaystyle R(u,-v)=-R(u,v)}$라면, 이는 ${\displaystyle R(u,v)=vR_{1}(u,v^{2})}$ 꼴로 나타낼 수 있으며, 이 境遇 ${\displaystyle \sin x=t}$와 같이 置換하는 것이 좋다.

  ${\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)dx=\int \cos xR_{1}(\sin x,\cos ^{2}x)dx=\int R_{1}(t,1-t^{2})dt}$

• 萬若 ${\displaystyle R(-u,-v)=R(u,v)}$라면, ${\displaystyle R(u,v)=R_{1}(u/v,v^{2})}$ 꼴이므로, 이 境遇 ${\displaystyle \tan x=t}$와 같이 置換하는 것이 좋다.

  ${\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)dx=\int R_{1}(\tan x,\cos ^{2}x)dx=\int R_{1}\left(t,{\frac {1}{1+t^{2}}}\right){\frac {1}{1+t^{2}}}dt}$

事實 모든 有理 函數는 各各 위와 같은 性質을 만족시키는 세 有理 函數의 合으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle R(u,v)={\frac {R(u,v)-R(-u,v)}{2}}+{\frac {R(-u,v)-R(-u,-v)}{2}}+{\frac {R(-u,-v)+R(u,v)}{2}}}$

雙曲線 函數의 境遇 [ 編輯 ]

바이어슈트라스 置換의 雙曲線 函數 버전인 쌍곡 탄젠트 反變數 置換 (雙曲-半變數置換, 英語 : hyperbolic tangent half-argument substitution 또는 쌍곡 t-置換 (雙曲-置換, 英語 : hyperbolic t-substitution )은 雙曲線 函數의 有理 函數 ${\displaystyle R(\sinh x,\cosh x)}$를 積分하는 데 使用되며, 이는 다음과 같다. ^{[3] :185, Exercise 13}

${\displaystyle \tanh {\frac {x}{2}}=t}$

이 境遇 다음이 成立한다.

${\displaystyle \sinh x={\frac {2t}{1-t^{2}}},\;\cosh x={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\;x=2\tanh ^{-1}t,\;\mathrm {d} x={\frac {2}{1-t^{2}}}\mathrm {d} t}$

따라서 ${\displaystyle R(\sinh x,\cosh x)}$의 積分은 다음과 같은 琉璃 函數 積分으로 變한다. ^{[4] :29}

${\displaystyle \int R(\sinh x,\cosh x)\mathrm {d} x=\int R\left({\frac {2t}{1-t^{2}}},{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\right){\frac {2}{1-t^{2}}}\mathrm {d} t}$

따라서 모든 雙曲線 函數의 有理 函數의 圓函數는 初等 函數이다.

예 [ 編輯 ]

다음과 같은 敵분들을 생각하자. ^{[2] :352, 例6.3.8, (3), (4) [1] :265, 例6.3.4}

${\displaystyle \int {\frac {\sin x}{1+\sin x}}\mathrm {d} x,\;\int {\frac {\mathrm {d} x}{5+3\sin x+4\cos x}},\;\int {\frac {\cos ^{3}x}{1+\sin ^{2}x}}\mathrm {d} x}$

첫째 積分은 바이어슈트라스 置換 ${\displaystyle \tan(x/2)=t}$을 통해 다음과 같이 求할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\sin x}{1+\sin x}}\mathrm {d} x&=\int {\frac {4t}{(1+t)^{2}(1+t^{2})}}\mathrm {d} t\\&=\int \left(-{\frac {2}{(1+t)^{2}}}+{\frac {2}{1+t^{2}}}\right)\mathrm {d} t\\&={\frac {2}{1+t}}+2\arctan t+C\\&={\frac {2}{1+\tan(x/2)}}+x+C\end{aligned}}}$

둘째 積分 亦是 바이어슈트라스 置換 ${\displaystyle \tan(x/2)=t}$을 통해 다음과 같이 求할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\mathrm {d} x}{5+3\sin x+4\cos x}}&=\int {\frac {2}{5(1+t^{2})+6t+4(1-t^{2})}}\mathrm {d} t\\&=\int {\frac {2}{(3+t)^{2}}}\mathrm {d} t\\&=-{\frac {2}{3+t}}+C=-{\frac {2}{3+\tan(x/2)}}+C\end{aligned}}}$

셋째 積分은 ${\displaystyle R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)}$를 만족시키므로, 바이어슈트라스 置換을 使用할 必要가 없다. 이는 置換 ${\displaystyle \sin x=t}$을 통해 다음과 같이 求할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\cos ^{3}x}{1+\sin ^{2}x}}\mathrm {d} x&=\int {\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t\\&=\int \left({\frac {2}{1+t^{2}}}-1\right)\mathrm {d} t\\&=2\arctan t-t+C\\&=2\arctan \sin x-\sin x+C\end{aligned}}}$

雙曲線 函數의 境遇의 예 [ 編輯 ]

다음과 같은 積分을 생각하자. ^{[4] :29, 例4}

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{1+2\cosh x}}}$

이는 쌍곡 탄젠트 反變數 置換 ${\displaystyle \tanh(x/2)=t}$를 통해 다음과 같이 求할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\mathrm {d} x}{1+2\cosh x}}&=\int {\frac {2}{1-t^{2}+2(1+t^{2})}}\mathrm {d} t\\&=\int {\frac {2}{3+t^{2}}}\mathrm {d} t\\&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan {\frac {t}{\sqrt {3}}}+C\\&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan {\frac {\tanh(x/2)}{\sqrt {3}}}+C\end{aligned}}}$

各州 [ 編輯 ]

外部 링크 [ 編輯 ]

• 李哲熙. “바이어슈트라스 置換” . 《數學노트》.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Weierstrass substitution” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• “Weierstrass substitution formulas” . 《PlanetMath》 (英語).