慣性 모멘트 (慣性-)는 物體가 自身의 回轉運動 을 維持하려는 程度를 나타내는 物理量 으로써, 直線 運動에서의 質量 에 對應되는 量이다. 記號는 通常的으로 라틴 大文字 ${\displaystyle I}$이며, 間或 ${\displaystyle J}$로 나타내기도 한다. 慣性 모멘트는 回轉運動에서 매우 重要한 役割을 차지하는데, 慣性 모멘트를 통해서 回轉運動을 記述하는 데 꼭 必要한 角運動量 , 角速度 . 角加速度 , 돌림힘 들 사이의 關係를 이어주는 物理量이기 때문이다.

慣性 모멘트를 表現하는 方法에는 두가지, 스칼라 로 나타내는 스칼라 慣性 모멘트 와 더 高等의 텐서 로 나타내는 慣性 모멘트 텐서 , 簡單히 慣性 텐서 ( inertia tensor )를 使用한 表現이 있다. 普通 스칼라 慣性 모멘트를 簡單히 慣性 모멘트라 하기도 한다. 簡單한 回轉의 境遇에는 複雜한 慣性 텐서보다 스칼라 慣性 모멘트만으로도 各 物理量 사이의 關係를 充分히 記述할 수 있다. 하지만 스칼라 慣性 모멘트는 回轉하는 팽이 나 자이로스코프 와 같이 複雜한 回戰에 對한 物理量 사이의 關係를 記述하지 못하기 때문에, 이러한 境遇에는 慣性 텐서를 使用해 各 物理量 사이의 關係를 記述한다.

最初로 慣性 모멘트란 槪念을 使用한 사람은 레온하르트 오일러 이다. 그가 1730年에 發表한 冊 《 固體 또는 剛體 의 운동론》 ^[1] 에서 慣性 모멘트란 槪念이 처음으로 登場하고 모멘트의 主軸과 같은 이와 關聯된 여러 槪念들이 이 冊을 통해 發表되었다.

槪要 [ 編輯 ]

慣性 모멘트는 어떤 物體가 주어진 軸을 中心으로 일어나는 回轉 運動을 변화시키기 어려운 程度를 나타내는 物理量 이기도 하다. 例를 들어, 두 個의 質量이 같지만 半지름이 다른 圓板 A와 B를 생각해보자. A가 半지름이 더 크고, 둘 모두 質量 分布가 均一하다 假定하자. A는 더 큰 原版이기 때문에, 같은 角速度 로 돈다면 바깥쪽은 B보다 훨씬 더 빠르게 움직이게 된다. 때문에, A를 돌리는 것이 B를 돌리는 것보다 어렵다. 이러한 두 原版의 特性을 說明해주는 物理量이 慣性 모멘트이다. 이 境遇, A의 慣性 모멘트는 B보다 크게 된다.

텐서 形態에는 두 種類가 있다. 스칼라 形態는 簡單한 境遇에 主로 使用된다. 例를 들어, 도르래 와 같이 回轉軸이 固定되어 있는 物體는 스칼라 形態를 使用하면 簡單히 物理量 사이의 關係를 記述할 수 있다. 하지만, 回轉軸이 變하는 運動과 같은 複雜한 境遇엔 角運動量 벡터 와 角速度 벡터가 平行하지 않는 等 스칼라로 이 둘 사이의 關係를 記述하는게 不充分하기 때문에 텐서 形態를 使用한다. 이러한 境遇의 例로 자이로스코프 , 팽이 , 人工衛星 의 運動이 있다.

機械工學者들은 斷面 二次 모멘트 와 慣性 모멘트를 區別하기 위해 이를 質量 慣性 모멘트 ( mass moment of inertia )라 부르기도 한다. 이 둘을 區別하는 가장 쉬운 方法은 單位를 比較하는 것이다. 덧붙여 말하면, 慣性 모멘트는 物體가 비틀림 에 抵抗할 수 있는 能力을 나타내는 極慣性모멘트 와도 헷갈리지 않도록 注意해야 한다.

스칼라 慣性 모멘트 [ 編輯 ]

正義 [ 編輯 ]

어떤 주어진 軸을 中心으로 回轉하는 點質量 에 對한 스칼라 慣性 모멘트는 다음과 같이 定義된다.

${\displaystyle I=mr^{2}}$

여기서

${\displaystyle m}$ : 質量

${\displaystyle r}$ : 回轉軸으로부터 點質量 까지의 距離

이다. 또한 같은 軸을 中心으로 回轉하는 n個의 點質量들에 對해서 總 慣性 모멘트는 各 點質量들의 慣性 모멘트의 合이 된다.

${\displaystyle I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}+\cdots +m_{n}r_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}}$

點質量들이 아닌 任意의 質量이 空間에 密度 ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$을 따라 分布되어 있을 때에는, 各 質點에 對한 合을 積分 으로 바꾸어 주고 다음과 같이 스칼라 慣性 모멘트를 定義할 수 있다.

${\displaystyle I=\int r^{2}\,dm=\int _{V}r^{2}\rho (\mathbf {r} )\,dV}$

여러 物體의 慣性 모멘트 [ 編輯 ]

가는 막대, 中心을 지나는 境遇 [ 編輯 ]

物體의 質量을 距離의 關係式으로 나타내면

${\displaystyle M=\rho L}$

이 質量소를 利用해 慣性모멘트를 求하기 爲해 dm 에 代入하여 計算하면 軸을 基準으로 回轉하는 막대의 한 쪽 部分의 慣性모멘트가 求해진다.

하지만 우리가 求하려는 값은 막대의 中心軸으로 回轉하는 慣性모멘트이므로 2를 곱하여 計算하면

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=2\int _{0}^{\frac {L}{2}}r^{2}\,dm\\&=2\rho \int _{0}^{\frac {L}{2}}r^{2}\,dr\\&={\frac {1}{12}}\rho L^{3}\\&={\frac {1}{12}}ML^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \therefore I={\frac {1}{12}}ML^{2}}$

가는 막대, 한쪽 끝을 지나는 軸 [ 編輯 ]

위와 같은 方法으로 求하면

${\displaystyle M=\rho L}$

${\displaystyle dm=\rho dr}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{0}^{L}r^{2}\,dm\\&=\rho \int _{0}^{L}r^{2}\,dr\\&={\frac {1}{3}}\rho L^{3}\\&={\frac {1}{3}}ML^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \therefore I={\frac {1}{3}}ML^{2}}$

直四角形 판 [ 編輯 ]

가로 세로가 各各 a, b 인 直四角形 版의 넓이는 ab이므로 이 直四角形 物體의 質量과 質量소는 다음과 같이 敍述 할 수 있다.

${\displaystyle M=\rho ab}$

${\displaystyle dm=\rho \,da\,db}$

이때 直四角形 위의 任意의 原子의 位置를 a와 b를 利用하여 敍述하면

${\displaystyle r^{2}=a^{2}+b^{2}}$

위에서 求한 값들을 各 項에 代入하면 다음과 같은 式이 誘導된다

${\displaystyle I=\int r^{2}\,dm=\int \left(a^{2}+b^{2}\right)\rho \,da\,db}$

積分 範圍가 가로a와 세로b 두 個이므로 重積分을 하여 計算한다, 이때 위의 식은 直四角形 판의 4分의1에 該當하는 部分이므로 全體 式에 4를 곱하여 우리가 求하고자 하는 直四角形 中心을 지나는 軸으로 回轉하는 物體의 慣性모멘트를 求할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=4\rho \int _{0}^{\frac {b}{2}}\int _{0}^{\frac {a}{2}}a^{2}+b^{2}\,da\,db\\&=4\rho \int _{0}^{\frac {b}{2}}\left[{\frac {1}{3}}a^{3}+ab^{2}\right]_{0}^{\frac {a}{2}}\,db=4\rho \int _{0}^{\frac {b}{2}}\left[{\frac {1}{3}}{\frac {a^{3}}{2^{3}}}+{\frac {a}{2}}b^{2}\right]\,db\\&=4\rho \left[{\frac {1}{3}}{\frac {a^{3}}{2^{3}}}b+{\frac {a}{2}}{\frac {b^{3}}{2^{3}}}\right]_{0}^{\frac {b}{2}}=4\rho \left[{\frac {1}{3}}({\frac {a^{3}b}{2^{4}}}+{\frac {ab^{3}}{2^{4}}})\right]\\&={\frac {\rho ab}{3}}{\frac {4}{2^{4}}}\left(a^{2}+b^{2}\right)={\frac {M}{12}}\left(a^{2}+b^{2}\right)\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \therefore I={\frac {M}{12}}\left(a^{2}+b^{2}\right)}$

꽉 찬 區 [ 編輯 ]

이 디스크의 質量所와 區의 質量은

${\displaystyle M={\frac {4}{3}}\pi \rho R^{3}}$

${\displaystyle dm=\pi a^{2}\rho \,dl=\rho \pi \left(R^{2}-l^{2}\right)\,dl}$

慣性모멘트를 求하면

${\displaystyle {\begin{aligned}di&={\frac {1}{2}}\pi \left(R^{2}-l^{2}\right)\rho \left(R^{2}-l^{2}\right)\,dl\\&={\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{2}-l^{2}\right)^{2}\,dl\\&={\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{4}-2R^{2}l^{2}+l^{4}\right)\,dl\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int \,di\\&=\int _{-R}^{R}{\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{4}-2R^{2}l^{2}+l^{4}\right)\,dl\\&=\pi \rho \int _{0}^{R}\left(R^{4}-2R^{2}l^{2}+l^{4}\right)\,dl\\&=\pi \rho \left[R^{4}l-{\frac {2}{3}}R^{2}l^{3}+{\frac {1}{5}}l^{5}\right]_{0}^{R}\\&=\pi \rho \left(R^{5}-{\frac {2}{3}}R^{5}+{\frac {1}{5}}R^{5}\right)\\&={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}\\&={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho \,{\frac {2}{5}}R^{2}\\&={\frac {2}{5}}MR^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \therefore I={\frac {2}{5}}MR^{2}}$

次元 分析 [ 編輯 ]

次元 分析 을 통해 慣性 모멘트의 式을 簡單히 類推해보면 다음과 같은 式을 얻을 수 있다.

${\displaystyle I=k\cdot m\cdot {r}^{2}\,\!}$

여기서 記號의 뜻은 다음과 같다.

${\displaystyle m}$ : 質量

${\displaystyle r}$ : 質量中心 으로부터 回轉軸까지의 距離 또는 物體의 半지름과 같은 物體를 特定짓는 길이.

${\displaystyle k}$ : 慣性 常數 ( inertia constant ). 物體의 模樣에 따라 값이 바뀐다.

慣性 常數는 物體 內部에서의 質量의 配置에 따라 바뀌는 값이다. 몇 가지 例를 들어보면 다음과 같다. 이 때 基準이 되는 祝儀 位置에 따라서도 回戰慣性이 바뀔 수 있다.

• ${\displaystyle k=1}$ : 두께가 매우 얇은 圓筒 , ${\displaystyle r}$은 圓筒의 半지름
• ${\displaystyle \textstyle k={\frac {2}{5}}}$ : 꽉 찬 區 , ${\displaystyle r}$은 球의 半지름
• ${\displaystyle \textstyle k={\frac {1}{2}}}$ : 속이 꽉 찬 圓筒 또는 圓板 , ${\displaystyle r}$은 圓筒 또는 圓板의 半지름

慣性 常數의 값들은 慣性 모멘트의 目錄 에 收錄되어 있다.

平行軸 整理 [ 編輯 ]

한 番 어떤 物體의 質量 中心 을 貫通하는 回轉軸에 對한 慣性 모멘트를 求하면, 그와 平行한 回轉軸을 갖는 回轉을 하는 物體의 慣性 모멘트는 複雜한 計算 없이 아래와 같은 式을 통해 簡單히 求할 수 있다.

${\displaystyle I=I_{\textrm {cm}}+md^{2}}$

여기서

${\displaystyle \textstyle I_{\textrm {cm}}}$ : 質量 中心 을 貫通하는 回轉軸에 對한 慣性 모멘트

${\displaystyle m}$ : 質量

${\displaystyle d}$ : 두 回轉軸 사이의 距離

이다.

慣性 텐서 [ 編輯 ]

어떤 物體에 對한 스칼라 慣性 모멘트는 回轉軸에 관계되는 값이다. 때문에 같은 物體일지라 하더라도 回轉軸이 달라지면 慣性 모멘트의 값이 바뀌게 된다. 게다가 回轉軸이 繼續 變하면 이를 記述하기 더욱 어렵게 된다. 一般的으로, 모든 境遇에 對해 全部 慣性 모멘트의 값이 같으려면, 모든 軸에 對해 物體가 對稱이 되어야 한다. 하지만 慣性 모멘트 텐서 (또는 慣性 텐서 )를 使用하면 이를 하나로 簡單히 나타낼 수 있다. 慣性 텐서는 아무 基準點에 對해서나 計算할 수 있지만, 主로 質量中心을 基準으로 해서 計算된 것이 主로 쓰인다.

正義 [ 編輯 ]

慣性 텐서 ${\displaystyle \mathbf {I} }$는 計數 가 2人 對稱 텐서, 卽, 2次 對稱 텐서로 點質量 ${\displaystyle m_{k}}$들로 構成된 剛體 의 境遇 慣性 텐서의 데카르트 座標系 에서의 成分은 다음과 같이 定義한다.

${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k}m_{k}(r_{k}^{2}\delta _{ij}-r_{ki}r_{kj})\,\!}$

여기서

${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$ : x, y, 또는 z座標를 나타내는 指標, 順序대로 1, 2, 3에 對應된다.

${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$ : 어떤 基準點으로부터 ${\displaystyle k}$番째 點質量까지의 方向 벡터.

${\displaystyle \delta _{ij}}$ : 크로네커 델타

이다. 大覺項은 아래와 같이 簡單히 쓸 수도 있다.

${\displaystyle I_{xx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}(y_{k}^{2}+z_{k}^{2})}$

${\displaystyle I_{yy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}(x_{k}^{2}+z_{k}^{2})}$

${\displaystyle I_{zz}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}(x_{k}^{2}+y_{k}^{2})}$

慣性의 곱 ( products of inertia )이라 불리기도 하는 肥大各項들은 아래와 같이 쓰기도 한다.

${\displaystyle I_{xy}=I_{yx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}}$

${\displaystyle I_{xz}=I_{zx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}}$

${\displaystyle I_{yz}=I_{zy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}}$

여기서 ${\displaystyle I_{xx}}$는 x軸을 基準으로 하며 x軸을 中心으로 回轉하는 境遇의 慣性 모멘트, ${\displaystyle I_{xy}}$는 y軸을 基準으로 하며 x軸을 中心으로 回轉하는 境遇의 慣性 모멘트 等等을 말한다.

各州 [ 編輯 ]

같이 보기 [ 編輯 ]

• 慣性 모멘트의 目錄
• 돌림힘

外部 링크 [ 編輯 ]

• https://web.archive.org/web/20080701111812/http://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/torque/Q.torque.inertia.html ,
• http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mi.html