In
geometria
una
circonferenza
e il
luogo geometrico
di punti del
piano
equidistanti da un
punto
fisso detto
centro
. La distanza di qualsiasi punto della circonferenza dal centro si definisce
raggio
.
Le circonferenze sono
curve
chiuse semplici che dividono il piano in una superficie interna ed una esterna (infinita).
La superficie del piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferenza stessa, prende il nome di
cerchio
, per cui:
- la circonferenza e un
perimetro
(ovvero, la misura della
linea
curva chiusa),
- il cerchio e l'
area
(ovvero, la misura della
superficie
circoscritta dalla suddetta linea).
Per le altre superfici del
piano geometrico
, la lingua italiana non distingue l'area e il perimetro con due parole differenti. In
inglese
, oltre alle corrispondenti
circumference
e
circle
, la parola
disk
indica una regione del piano con alcune importanti proprieta, che puo essere chiusa, oppure aperta, se
non
contiene il cerchio che essa delimita. Nota la circonferenza di un cerchio, per qualsiasi superficie (chiusa) del piano geometrico si puo disegnare una
circonferenza inscritta
ed una
circonferenza circoscritta
.
La circonferenza e il caso particolare di una
ellisse
, in cui i due
fuochi
coincidono
in uno stesso
punto
, che e il
centro
della circonferenza: l'ellisse ha due centri (detti fuochi), la circonferenza ha invece un solo centro. Si dice quindi che la circonferenza ha
eccentricita
nulla.
Ugualmente, la formula di calcolo per l'area del cerchio e un caso particolare della formula per l'area di un'ellisse.
Mediante il
calcolo delle variazioni
si dimostra che la circonferenza e la
Figura
piana che delimita la massima area per unita di perimetro
quadrato
.
Una circonferenza e inoltre un particolare caso di
simmetria centrale
, dal momento che tutti i punti della circonferenza sono equidistanti dal centro della stessa.
La formula per trovare la lunghezza della circonferenza e:
oppure:
Dove:
- sta per lunghezza (numero) della circonferenza (luogo geometrico);
- sta per
pi greco
(
);
- sta per
raggio
del cerchio;
- sta per
diametro
del cerchio.
In
geometria analitica
una circonferenza in un piano puo essere descritta utilmente sia mediante le
coordinate cartesiane
, sia mediante le coordinate polari, sia in forma parametrica.
In un
sistema di riferimento cartesiano
, la circonferenza di centro
e raggio
e il luogo dei punti caratterizzati dall'
equazione
:
- ,
cioe e l'insieme di tutti e soli i punti che distano
da
.
Tale equazione viene ricavata dalla distanza tra due punti.
All'equazione piu generale si da spesso la forma canonica:
- ,
collegata alla precedente dalle seguenti eguaglianze:
- , equivalente a:
- , equivalente a:
- , o equivalentemente
.
Da cio segue che se
la circonferenza degenera in un solo punto,
, se
il
luogo geometrico
(nel piano cartesiano reale) descritto dall'equazione non e una circonferenza, ma l'insieme vuoto.
Se il centro della circonferenza e l'origine
, l'equazione diventa:
- .
Se la circonferenza passa per l'origine
,
e l'equazione diventa:
- .
Se la circonferenza ha centro sull'asse x,
e l'equazione diventa:
- .
Se la circonferenza ha centro sull'asse y,
e l'equazione diventa:
- .
Nelle coordinate polari
e
l'equazione della circonferenza con centro nell'origine e raggio
e evidentemente data dall'equazione:
Una circonferenza
il cui centro ha coordinate
e raggio
viene descritta con la seguente forma parametrica:
Basta usare l'equazione
.
A questo problema sono riconducibili anche i seguenti
- e noto un diametro della circonferenza: il diametro e il doppio del raggio e il centro e il
punto medio
del diametro
- sono noti due punti della circonferenza e una
retta
su cui sta il centro: l'asse di una corda passa sempre per il centro della circonferenza
- Metodo geometrico
Basta ricordare che l'asse di una corda passa sempre per il centro della circonferenza. La procedura risolutiva e la seguente:
- si costruiscono gli assi di due corde;
- si fa il sistema tra le equazioni dei due assi;
- la soluzione del sistema e il centro della circonferenza;
- a questo punto si puo calcolare il raggio.
- Metodo algebrico
Il problema ha tre incognite: i coefficienti
dell'equazione canonica della circonferenza
.
Si impone il passaggio per i tre punti dati dal problema e si ottiene un sistema lineare in tre equazioni e tre incognite
.
Elaborati in Visual Basic
- Metodo geometrico
Basta ricordare che la distanza della retta tangente dal centro e pari al raggio della circonferenza stessa. La procedura risolutiva e la seguente:
- si costruisce un fascio proprio di rette con centro il punto esterno;
- si impone che la distanza delle rette del fascio dal centro della circonferenza sia uguale al raggio.
- Metodo algebrico
Basta ricordare che in un sistema di secondo grado (retta-circonferenza) la condizione di tangenza si ha quando il sistema ammette due soluzioni reali e coincidenti, cioe quando l'
equazione associata
di secondo grado al sistema ha
.
Questo problema e risolto ricordando che la retta tangente alla circonferenza e perpendicolare al raggio nel suo punto di tangenza. Quindi, salvo casi particolari in cui la tangente e parallela all'asse y, la procedura risolutiva e la seguente:
- si calcola il
coefficiente angolare
della retta del raggio che ha per estremo il punto di tangenza;
- si calcola il coefficiente angolare della perpendicolare a tale raggio;
- e quindi si calcola l'equazione della retta perpendicolare passante per il punto di tangenza.
Alternativamente e sufficiente usare la
formula di sdoppiamento
della circonferenza, cosi l'equazione della retta tangente alla circonferenza
nel punto
e semplicemente l'equazione
dove
sono dati.
Nel
piano complesso
una circonferenza di centro l'origine e raggio
puo essere espressa dall'equazione parametrica
per
.
Per rendersi conto che tale formula descrive una circonferenza e sufficiente considerare le equazioni parametriche descritte sopra e confrontarle con la
formula di Eulero
.
E possibile descrivere una circonferenza nello spazio come intersezione di una
sfera
S
con un piano
. Per calcolare il raggio di una circonferenza descritta nel seguente modo si puo utilizzare il
teorema di Pitagora
:
- si calcola la distanza
del piano
dal centro della sfera
S
- detto
R
il raggio della sfera
S
, il raggio
della circonferenza vale
.
- Esempio
La circonferenza
e l'intersezione del piano
con la sfera
S
di centro origine e raggio 2.
La distanza del centro della sfera dal piano vale
.
La distanza del centro della sfera dal piano e minore del raggio della sfera. Quindi il piano
interseca la sfera
S
. A questo punto il raggio
della circonferenza si calcola utilizzando il
teorema di Pitagora
:
Tutte le circonferenze sono simili; di conseguenza, la circonferenza e proporzionale al raggio:
- Lunghezza della circonferenza =
Una
retta
che incontra una circonferenza in due punti si chiama
secante
, mentre una che tocca la circonferenza in un solo punto, chiamato punto di tangenza, si chiama
tangente
. Il raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza e sempre perpendicolare alla tangente. Presi due punti sulla circonferenza, questi dividono la circonferenza in due
archi
. Se i due archi sono della stessa lunghezza si chiamano semicirconferenze. Il segmento che congiunge due punti sulla circonferenza si chiama
corda
. La corda di lunghezza massima, che passa per il centro, si chiama
diametro
, ed equivale al doppio del raggio.
Per due punti passano infinite circonferenze, ed il luogo dei loro centri e l'asse del segmento che congiunge i due punti. La perpendicolare condotta dal centro di una circonferenza a una sua corda la divide a meta. Due corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro. Se da un punto
, esterno a una circonferenza di centro
si tracciano le rette
e
a essa tangenti, i segmenti di tangente compresi tra
e i punti di contatto con la circonferenza sono congruenti e il segmento
e bisettrice dell'angolo
di vertice
.
Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza, il cui centro coincide con l'intersezione degli assi dei segmenti che congiungono i punti. L'equazione della circonferenza passante per i punti
,
,
si puo esprimere nel seguente modo:
dove l'espressione a sinistra e il
determinante
della
matrice
.
Date due circonferenze che si intersecano, si definisce
asse radicale
[1]
la
retta
passante per i due punti in comune (
punti base
). Con semplici calcoli, partendo dall'equazione canonica e indicando con apici i coefficienti della seconda circonferenza, si ottiene che questa retta ha equazione
ed e
perpendicolare
alla retta che congiunge i centri delle circonferenze. La definizione si estende facilmente al caso di circonferenze tangenti, chiamando asse radicale la retta tangente alle due circonferenze nel punto comune. Per estenderlo anche al caso in cui le circonferenze non hanno punti in comune l'asse radicale si definisce come la retta formata dai punti che hanno la stessa
potenza
rispetto alle due circonferenze. Questo concetto puo essere ulteriormente generalizzato considerando i
fasci di circonferenze
. Approccio che, tra l'altro, permette di trattare unitariamente i suddetti casi
[2]
.
Una
circonferenza topologica
si ottiene considerando un
intervallo
chiuso sulla
retta reale
e dotandolo della
topologia quoziente
che si ha identificando gli estremi.
La circonferenza e dotata di una naturale struttura di
varieta differenziabile
di dimensione 1, e uno
spazio compatto
e
connesso
ma non
semplicemente connesso
, infatti il suo
gruppo fondamentale
e il gruppo
dei
numeri interi
.
La circonferenza e naturalmente dotata della
struttura algebrica
di
gruppo
: possiamo identificare ogni punto della circonferenza con l'
angolo
che esso forma rispetto ad una semiretta prefissata (in genere l'asse delle ascisse in un
sistema di riferimento cartesiano
) e definire la
somma
di due punti individuati dagli angoli
e
come il punto individuato dall'angolo
. E immediato verificare che la circonferenza dotata di questa operazione verifica le proprieta di un gruppo e che come
gruppo
e
isomorfo
al
gruppo quoziente
.
La circonferenza e un esempio di
gruppo di Lie
.
- Circonferenza
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Treccani.it ? Enciclopedie on line
,
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Dizionario delle scienze fisiche
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, 1996.
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Istituto dell'Enciclopedia Italiana
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