軌道力學 에서 偏心 二刻 ( 英語 : eccentric anomaly )은 楕圓 케플러 軌道 를 따라 움직이는 物體의 位置를 決定하는 軌道 要素 이다. 偏心 離角은 진근점 離角 , 平均 近點 離角 과 함께 軌道에서의 物體의 位置를 說明하는 各 變數이다.

視覺的 描寫 [ 編輯 ]

楕圓을 다음과 같은 方程式으로 생각하자.

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

a 는 軌道 긴半지름 이고, b 는 짧은半지름 이다.

楕圓의 어떠한 點 P  =  P ( x ,  y )에 對한 偏心 離角에 對抗하는 各 E 가 오른쪽의 그림에 나와 있다. 偏心 二刻 E 는 楕圓의 中心에 꼭짓點 하나를 찍고 빗邊 a (軌道 긴半지름과 같다)를 그은 다음, 긴半지름 빗邊과 手織하면서 P 에 닿도록 線分을 그어 만들어진 直角三角形을 통해 觀察할 수 있다. 偏心 離角은 진근점 離角과 같은 方向에서 測定되며, 그림에는 f 로서 標示되어 있다.

위의 直角三角形에서 偏心 二刻 E 와 關聯된 座標는 다음과 같이 주어진다. ^[1]

${\displaystyle \cos E={\frac {x}{a}}}$

${\displaystyle \sin E={\frac {y}{b}}}$

둘 사이의 關係를 통해 다음과 같은 食餌 産出된다.

${\displaystyle {\left({\frac {y}{b}}\right)}^{2}=1-{\cos }^{2}E={\sin }^{2}E}$

이는 sin E = ± y / b 임을 드러낸다. 이 때 sin E = ? y / b 는 楕圓을 反對 方向으로 돌 境遇이므로 可能한 海에서 除外된다.

公式 [ 編輯 ]

半지름과 偏心 二刻 [ 編輯 ]

離心率 e 는 다음과 같이 定義된다.

${\displaystyle e={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\ }$

피타고라스의 整理 에 따라, r ( FP )을 빗邊으로 볼 境遇 다음이 成立한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=b^{2}\sin ^{2}E+(ae-a\cos E)^{2}\\&=a^{2}(1-e^{2})(1-\cos ^{2}E)+a^{2}(e^{2}-2e\cos E+\cos ^{2}E)\\&=a^{2}-2a^{2}e\cos E+a^{2}e^{2}\cos ^{2}E\\&=a^{2}(1-e\cos E)^{2}\\\end{aligned}}}$

따라서, 半지름( P 와 焦點 사이의 距離)과 偏心 離角의 關係는 다음 公式과 같다.

${\displaystyle r=a\left(1-e\cos {E}\right)}$

이 結果를 통해, 후술되듯 偏心 離角은 진근점 離角으로부터 定義될 수 있다.

진근점 離角으로부터 [ 編輯 ]

진근점 離角 銀 위의 그림에 f 로 標示되어 있는 角度이고, θ 로 表記된다. 偏心 離角과 진근점 離角은 밑에 보여지는 것과 같은 關係가 있다. ^[2]

위에서 誘導下였던 r 에 對한 方程式을 使用하여, E 의 死因과 코사인 값은 θ 로 表現될 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos E&={\frac {x}{a}}={\frac {ae+r\cos \theta }{a}}=e+(1-e\cos E)\cos \theta \ \to \ \cos E={\frac {e+\cos \theta }{1+e\cos \theta }}\\\sin E&={\sqrt {1-\cos ^{2}E}}={\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\,\sin \theta }{1+e\cos \theta }}\ .\end{aligned}}}$

따라서,

${\displaystyle \tan E={\frac {\sin E}{\cos E}}={\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta }{e+\cos \theta }}\ }$

따라서 角度 E 는 빗邊의 길이가 1 + e cos θ , 隣接邊의 길이가 e + cos θ , 그리고 반댓변의 길이가 √ 1 ? e ² sin θ 인 直角三角形의 角度이다.

또한,

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}}$

위의 r 에 對한 方程式처럼 cos  E 를 빼면 半지름을 진근점 離角을 통해서 求할 수 있다. ^[2]

${\displaystyle r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos \theta }}}$

平均 近點 離角으로부터 [ 編輯 ]

偏心 二刻 E 는 케플러 方程式에 따라 平均 近點 離角 M 過度 關係가 있다. ^[3]

${\displaystyle M=E-e\sin E}$

이 式은 M 에 對한 E 의 閉形 해를 가지지 않고, 普通 뉴턴 方法 等을 통해 푼다.

各州 [ 編輯 ]

參照

• Murray, Carl D.; & Dermott, Stanley F. (1999); Solar System Dynamics , Cambridge University Press, Cambridge, GB
• Plummer, Henry C. K. (1960); An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy , Dover Publications, New York, NY (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition)

같이 보기 [ 編輯 ]

• 楕圓
• 軌道 離心率